1、概率統計一離散型隨機變量的期望 ( 均值 ) 和方差若離散型隨機變量X 的分布列或概率分布如下：Xx1x2xnPp1p2pn1. 其中， pi0,i1,2,., n, p1p2.pn1，則稱 x1 p1 x2 p2 .xn pn 為隨機變量 X 的均值或 X 的數學期望，記為 E( X ) 或數學期望 E( X ) = x1 p1x2 p2.xn pn性質（1） E(c)c ；（2） E(aXb)aE( X )b （ a, b, c 為常數）2. ( x1)2 p1 ( x2)2 p2. (xn) 2 pn ，（其中 pi0,i 1,2,.n, p1 p2 . pn1）刻畫了隨機變量 X 與其

2、均值的平均偏離程度， 我們將其稱為離散型隨機變量X 的方差，記為 D(X)或 2方差 DX ( x)2 p( x)2 p .(x) 2 p1122nn2方差公式也可用公式 D ( X )n2 pi2EX 2(EX )2 計算xii13隨機變量 X 的方差也稱為 X 的概率分布的方差， X 的方差 D (X ) 的算術平方根稱為 X 的標準差，即D(X) 例 1. 設 X 是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求EX，DX。X1015P9二、幾何分布幾何分布（Geometric distribution ）是離散型概率分布。 其中一種定義為：在 n 次伯努利試驗 中，試驗 k 次才得到第一次成

3、功的機率。詳細的說，是：前 k-1 次皆失敗，第 k 次成功的概率。例 1. 一個口袋內裝有 5 個白球和 2 個黑球，現從中每次摸取一個球，取出黑球再放回，取出白球或取了 4 次后則停止摸球。 求取球次數 X 的數學期望與方差。例 2.某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p（0<p<1）。他有 5 發子彈，現對某一目標連續射擊，每次打一發子彈，直到擊中目標，或子彈打光為止。求他擊中目標的期望與方差。三超幾何分布對一般情形， 一批產品共 N 件，其中有 M 件不合格品， 隨機取出的 n 件產品中，不合格品數X 的分布如下表所示：X012lPCM0 CNnMCM1 CNn 1MCM2

4、 CNn 2MCMl CNn lMCNnCNnCNnCNn其中 lmin( n, M ) 網一般地，若一個隨機變量 X 的分布列為(r)CMr CNnrM ，P XCNn其中 r0，1， 2，3， ， l ， lmin( n, M ) ，則稱 X 服從超幾何分布，記為 XH (n, M , N ) ，并將 P( X r )CMr CNnrM記為 H ( r; n, M , N ) CNn一般地，根據超幾何分布的定義，可以得到E(X)nr CMr CNn rMn M r0CNnN例 1高三（1）班的聯歡會上設計了一項游戲： 在一個口袋中裝有 10 個紅球， 20 個白球，這些球除顏色外完全相同現

5、一次從中摸出 5個球，（ 1）若摸到 4 個紅球 1個白球的就中一等獎，求中一等獎的概率（ 2）若至少摸到 3 個紅球就中獎，求中獎的概率例 2. 在 10 件產品中，有 3 件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。從這 10 件產品中任取 3 件，求：（I ）取出的 3 件產品中一等品件數 X 的分布列和數學期望；（ II ）取出的 3 件產品中一等品件數多于二等品件數的概率。四二項分布1 n 次獨立重復試驗一般地，由 n 次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態， 即 A 與 A ，每次試驗中 P( A)p0 。我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努

6、利試驗。（ 1）獨立重復試驗滿足的條件 第一：每次試驗是在同樣條件下進行的；第二：各次試驗中的事件是互相獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結果。（ 2 ） n 次 獨 立 重 復 試 驗 中 事 件 A 恰 好 發 生 k 次 的 概 率P( X k) Cnk pk (1 p) n k 。2二項分布若 隨 機 變 量 X 的 分 布 列 為 P( X k)C nkp k qn， 其 中0 p 1.p q 1,k 0,1,2, ,n, 則稱 X 服從參數為 n, p 的二項分布，記作 XB(n, p) 。一般地，根據超幾何分布的定義，可以得到 E(X)=np。例 1一盒零件中有 9 個正品和 3

7、個次品，每次取一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數 X 的概率分布。例 2. 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有 6 個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是 1 .3(1)設 為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求的分布列；(2)設 為這名學生在首次停車前經過的路口數，求的分布列；(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率 .例 3. 甲乙兩人各進行3 次射擊，甲每次擊中目標的概率為1 ，乙每次擊中目標2的概率為2.3（ 1）記甲擊中目標的此時為 ，求 的分布列及數學期望；（ 2）求乙至多擊中目標 2 次的概率；（ 3）求甲恰好比乙

8、多擊中目標 2 次的概率 .五、正態分布例 1、已知隨機變量N0,2.若 P3 =0.023，則 P33 = （）A0.477B0.628C 0.954D 0.977例 2、設隨機變量 X N (3,1),若 P(X4)p , 則 P(2<X<4)=(A) 1p( B)lpCl-2pD 1p2221x i例3、已知三個正態分布密度函數i(xe(x ， i i2)2 iR21,2,3) 的圖象如圖所示，則 ()A1<2 3，1 2> 3B1>2 3，1 2< 3C12 <3，1 < 2 3D1<2 3，1 2< 3六、直方圖、列聯表、線

9、性回歸例 1、某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于 102 的產品為優質品 現用兩種新配方 （分別稱為 A 配方和B 配方）做試驗，各生產了100 件這種產品，并測量了每產品的質量指標值，得到時下面試驗結果：A 配方的頻數分布表指標值分組90 ， 94）94 ，98）98 ，102）102 ，106） 106 ，110頻數82042228B 配方的頻數分布表指標值分組90 ， 94）94 ，98）98 ，102）102 ，106） 106 ，110頻數412423210（ I ）分別估計用 A 配方， B 配方生產的產品的優質品率；（ II ）已知

10、用 B 配方生產的一種產品利潤 y（單位：元）與其質量指標值 t的關系式為2, t94y 2,94 t 102 4, t 102從用 B 配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求 X 的分布列及數學期望（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率） 例 2、電視傳媒公司為了解某地區觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100 名觀眾進行調查，其中女性有55 名下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于 40 分鐘的觀眾稱為 “體育迷”，已知“體育迷”中有 10 名女性(1) 根據已知條件完成

11、下面的 2× 2 列聯表，并據此資料判斷是否有 95%的把握認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女合計(2) 將日均收看該體育節目不低于 50 分鐘的觀眾稱為“超級體育迷” ，已知“超級體育迷”中有2 名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2 人，求至少有1 名女性觀眾的概率n adbc2附 K2abbd，cda cP( K2k)0.050.01k3.8416.635例 3、重慶市某知名中學高三年級甲班班主任近期對班上每位同學的成績作相關分析時，得到周卓婷同學的某些成績數據如下：第一次考試第二次考試第三次考試第四次考試數學總分118119121122總分年級133127121

12、119排名(1) 求總分年級名次關于數學總分的線性回歸方程(2) 若周卓婷同學想在下次的測試時考入年級前試的數學成績至少應考多少分 ( 取整數，可四舍五入ybx a100 名，預測該同學下次測) 例 4、設某大學的女生體重y( 單位： kg) 與身高 x( 單位： cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據 ( xi ，yi )( i 1,2 ， ，n) ，用最小二乘法建立的回歸方程為y0.85 x85.71 ，則下列結論中不正確的是 ()Ay 與 x 具有正的線性相關關系B回歸直線過樣本點的中心 ( x ， y )C若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加 0.85 kgD若該大學某女生

13、身高為 170 cm，則可斷定其體重必為 58.79 kg例 5、已知 x 與 y 之間的一組數據：x0123ym35.57x 0.85 ，則 m的值為 ()已求得關于 y 與 x 的線性回歸方程 y 2.1A1B0.85C0.7D 0.5例 7、下圖是我國 2008 年至 2014 年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（I ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關系，請用相關系數加以說明；（II ）建立 y 關于 t 的回歸方程（系數精確到 0.01 ），預測 2016 年我國生活垃圾無害化處理量附注：777參考數據：yi 9.32 ，ti yi 40.17 ，( yi

14、 y) 20.55 ， 72.646.i 1i 1i 1n參考公式：相關系數r(tit )( yi y )i 1，nn(tit )2(y iy) 2i 1i1回歸方程 yab 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：n(tit )( yi y)bi1，a y bt n(ti t )2i 1【鞏固練習】1、下列命題 :(1)21123;dxx2141x(2) 不等式 | x1| x3 |a 恒成立 , 則 a4 ;(3) 隨機變量 X 服從正態分布 N(1,2),則P(X 0) P(X2);(4)已 知 a,bR , 2a b1,則 218.其中正確命題的序號為ab_.、由數據x1 ，y1，x2，

15、y2 ， ， x10，y10求得線性回歸方程 x0，()ybxa，則“2()(x1x2 x10y1y2 y10y0 滿足線性回歸方程 ybxa”是“ x0 ， y0”)1010的 ()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件1. 已知箱中裝有 4 個白球和 5 個黑球 , 且規定 : 取出一個白球的 2 分, 取出一個黑球的 1 分. 現從該箱中任取 ( 無放回 , 且每球取到的機會均等 )3 個球 , 記隨機變量 X 為取出 3 球所得分數之和 .( ) 求 X的分布列 ;( ) 求 X的數學期望 E( X).2( 本小題滿分 13 分,( ) 小問 5 分,( )

16、小問 8 分.)甲、乙兩人輪流投籃 , 每人每次投一球 ,. 約定甲先投且先投中者獲勝, 一直到有人獲勝或每人都已投球3 次時投籃結束 . 設甲每次投籃投中的概率為1 , 乙3每次投籃投中的概率為1 , 且各次投籃互不影響 .2( ) 求甲獲勝的概率 ;( ) 求投籃結束時甲的投籃次數的分布列與期望3設籃球隊 A 與 B 進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝4 場則比賽宣告結束，假定 A, B 在每場比賽中獲勝的概率都是1 ，試求需要比賽場數的期望23電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況, 隨機抽取了 100 名觀眾進行調查 . 下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該

17、體育節目時間的頻率分布直方圖 ;將日均收看該體育節目時間不低于40 分鐘的觀眾稱為“體育迷”.( ) 根據已知條件完成下面的 2 2 列聯表 , 并據此資料你是否認為 “體育迷”與性別有關 ?( ) 將上述調查所得到的頻率視為概率. 現在從該地區大量電視觀眾中, 采用隨機抽樣方法每次抽取1 名觀眾 , 抽取 3 次, 記被抽取的 3 名觀眾中的 “體育迷”人數為 X. 若每次抽取的結果是相互獨立的, 求 X 的分布列 , 期望 E( X )和方差 D(X) .5. 某項選拔共有三輪考核， 每輪設有一個問題， 能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題

18、的概率分別為4 、 3、 2，且各輪問題能否正確回答互不影響 .555（）求該選手被淘汰的概率；（）該選手在選拔中回答問題的個數記為，求隨機變量 的分布列與數數期望 . （注：本小題結果可用分數表示）6. 一批產品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次從這批產品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時所需次數的概率分別布 .(1) 每次取出的產品不再放回去；（ 2）每次取出的產品仍放回去；（ 3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產品中.7. 設 b 和 c 分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量表示方程x2+bx+c=0 實根的個數（重根按一個計） （

19、 I ）求方程 x2 +bx+c=0 有實根的概率；（ II ）求的分布列和數學期望；8. 某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動 . 活動規則如下：消費額每滿 100 元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可A能地停在任一位置 . 若指針停在 A 區域返券 60 元；停在 B 區域返C60券 30 元；停在 C 區域不返券 . 例如：消費 218 元， 可轉動轉盤 2B次，所獲得的返券金額是兩次金額之和 .（ I ）若某位顧客消費 128 元，求返券金額不低于 30 元的概率；（ II ）若某位顧客恰好消費 280 元，并按規則 參與了活動， 他獲得返券的金額記為 X （

20、元），求隨機變量 X 的分布列和數學期望 .9. ( 本題滿分 12 分) 中國 黃石第三屆國際礦冶文化旅游節將于 2012 年 8 月 20日在黃石鐵山舉行，為了搞好 接待工作，組委會準備在湖北理工學院和湖北師范學院分別招募 8 名和 12 名志愿者，將這 20 名志愿者的身高編成如下莖葉圖 （單位： cm）若身高在 175cm以上（包括 175cm）定義為“高個子” ，身高在 175cm以下（不包括 175cm）定義為“非高個子” ，且只有湖北師范學院的“高個子”才能擔任“兼職導游”。（1）根據志愿者的身高編莖葉圖指出湖北湖北理工學院湖北師范學院師范學院志愿者身高的中位數；（2）如果用分層

21、抽樣的方法從“ 高個子”9158991612589和“非高個子”中抽取 5 人，再從這 5 人中選 26 5017346人，那么至少有一人是 “高個子”的概率是多少？721801119（3）若從所有“高個子”中選 3 名志愿者，用 表示所選志愿者中能擔任“兼職導游”的人數，試寫出 的分布列，并求 的數學期望 。10. 某產品按行業生產標準分成 8 個等級，等級系數 X 依次為 1,2 ， ， 8，其中 X5 為標準 A，X3 為標準 B，已知甲廠執行標準 A 生產該產品，產品的零售價為 6 元/ 件；乙廠執行標準 B 生產該產品，產品的零售價為 4 元/ 件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執

22、行標準（ I ）已知甲廠產品的等級系數X1 的概率分布列如下所示：x15678P04ab01且 X1 的數字期望 EX1 =6，求 a， b 的值；（ II ）為分析乙廠產品的等級系數 X2，從該廠生產的產品中隨機抽取 30 件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2 的數學期望 .11. 受轎車在保修期內維修費等因素的影響， 企業產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關， 某轎車制造廠生產甲、 乙兩種品牌轎車， 保修期均為2 年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨

23、機抽取50 輛，統計書數據如下：將頻率視為概率，解答下列問題：（ I ）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛， 求首次出現故障發生在保修期內的概率；（ II ）若該廠生產的轎車均能售出， 記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為 X1 ，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X 2 ，分別求 X1 ， X2 的分布列；（ III ）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由。鞏固練習答案【答案】 (2)(3)212(1)dxln x 11xln 2 , 所 以 (1) 錯 誤 .(2)不 等式| x 1| x3|的最小值

24、為4, 所以要使不等式 | x1| x3 |a 成立 , 則 a4 ,所以(2)正確.(3)正確 .(4)21(21)(2ab) 4 12b2a522b2a9,所以(4)錯abababab誤, 所以正確的為 (2)(3).解析：選 Bx0 ，y0 為這 10 組數據的平均值，又因為回歸直線ybx a必過樣本中心點 ( x ， y ) ，因此 ( x0，y0 ) 一定滿足線性回歸方程，但坐標滿足線性回歸方程的點不一定是 ( x ， y ) 1. 【解析】本題主要考察分布列 , 數學期望等知識點 .() X的可能取值有 :3,4,5,6.P(X 3)C535;P(X 4)C52C4120;C 34

25、2C 34299P(X 5)C51C4215;P(X 6)C432.C 342C 34299故, 所求 X的分布列為X3456P520101552142214214422142()所求 X的數學期望 E X為:( )E X613.i P( X i)()=3i 4【答案】( ) 見解析 ;( )13 .32. 【考點定位】本題考查離散隨機變量的分布列和期望與相互獨立事件的概率,考查運用概率知識解決實際問題的能力, 相互獨立事件是指兩事件發生的概率互不影響 , 注意應用相互獨立事件同時發生的概率公式.解: 設 Ak , Bk 分別表示甲、乙在第k 次投籃投中 , 則P Ak1 , P Bk1 ,k

26、 1,2,332(1) 記“甲獲勝”為事件 C,由互斥事件有一個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知 ,P C P A1 P A1B1A2 P A1B1A2 B2 A3P A1PA1PB1PA2PA1PB1PA2PB2PA3121122121332332311113392727(2) 的所有可能為 : 1,2,3由獨立性知 : P1P A1PA1 B112123323211222P2 P A1 B1A2P A1B1A2 B2123233292121P3 P A1B1 A2B22329綜上知 ,有分布列123P221399從而,E 1 22 23113 (次)39993. 解：（1）

27、事件“ X 4”表示， A勝4場或 B勝4場（即 B負4場或 A負4場），且兩兩互斥P(X 4)C44(1)4 (1)0C40 ( 1)0 ( 1)42 ；222216（2）事件“ X5 ”表示， A 在第 5 場中取勝且前 4 場中勝 3 場，或 B 在第5 場中取勝且前 4 場中勝 3 場（即第 5 場 A 負且 4 場中 A 負了 3 場），且這兩者又是互斥的，所以P(X 5)1 C43(1)3(1)4 31 C41(1)1(1)4 1422222216（3）類似地，事件“ X6”、 “X 7 ”的概率分別為P( X6)1 C53(1)3( 1)5 31 C52(1)2( 1)5 25

28、，22222216P( X7)1 C63(1)3(1)6 31 C63(1)3( 1)6 3522222216比賽場數的分布列為X45672455P161616162455（場）故比賽的期望為 E( X ) 45675.812516161616這就是說，在比賽雙方實力相當的情況下，平均地說， 進行 6 場才能分出勝負4. 【答案及解析】(I) 由頻率頒布直方圖可知 , 在抽取的 100 人中 , “體育迷”有 25 人, 從而 2×2 列聯表如下 :由 2×2 列聯表中數據代入公式計算, 得:因為 3.030<3.841, 所以 , 沒有理由認為“體育迷”與性別有關.

29、(II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25, 將頻率視為概率 ,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為1,由題意,4, 從而 X 的分布列為 :【點評】本題主要考查統計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列 , 期望 E( X ) 和方差 D ( X ) , 考查分析解決問題的能力、 運算求解能力 , 難度適中 . 準確讀取頻率分布直方圖中的數據是解題的關鍵 .5. （）解法一：記“該選手能正確回答第i 輪的問題”的事件為( 1，2，3)，Ai i則 P( A1)4， P(A2)3 ， P(A3)2 ，555該選手被淘汰的概率P P(A1A1 A2A2A2 A3)P

30、(A1)P(A1)P(A2 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )142433101 555555125（）解法二：記“該選手能正確回答第i 輪的問題”的事件為Ai( 1，2，3)，i則 P( A1)4， P(A2)3 ， P(A3)2 555該選手被淘汰的概率P 1 P( A1A2A3) 1 P(A1)P(A2)P(A3 )1432101 5551251 ，（） 的可能值為 1，2，3 ， P(1) P( A1)5P(2) P( A1 A2) P( A1) P( A2 )4 28 ，5525P(3) P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)43125525的分布列為123181

31、2P52525E112831257 52525256. （1）X 的所有可能值為 1，2，3，4。X 的分布列為P(X=1)=7/10 ，P(X=2)=3/10 ×7/9=7/30 ，P(X=3)=3/10 ×2/9 ×7/8=7/120 ，P(X=4)=3/10 ×2/9 ×1/8=1/120 。（ 2） X 的所有可能值為 1，2，3，4。X 的分布列為 P(X=k)= ( 3 )k 1. 7 ，k=1， 2， 3， 10 10（ 3） X 的所有可能值為 1，2，3，4。X 的分布列為P(X=1)=7/10 ，P(X=2)=3/10 &#

32、215;8/10=6/25 ，P(X=3)=3/10 ×2/10 × 9/10=27/500 ，P(X=4)=3/10 ×2/10 × 1/10=3/500 。7. 解：（ I ）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的基本事件總數為 6×6=36，滿足條件的事件是使方程有實根，則=b2-4c 0，即 b 2 c下面針對于 c 的取值進行討論當 c=1 時， b=2，3，4，5，6；當 c=2 時， b=3，4，5，6；當 c=3 時， b=4，5，6；當 c=4 時， b=4，5，6；當 c=5 時， b=5，6；當 c=6 時，

33、 b=5，6，目標事件個數為 5+4+3+3+2+2=19，因此方程 x2+bx+c=0 有實根的概率為1936（ II ）由題意知用隨機變量表示方程x2+bx+c=0 實根的個數得到 =0，1，2根據第一問做出的結果得到則 P( =0)= 17 ，P( =1)=2 = 1，P( =2)=17 ，36361836的分布列為的數學期望E =0× 17 +1× 1 +2× 17 =1，3618368. 設指針落在 A,B,C 區域分別記為事件 A,B,C.則P(A)1 , P(B)1 ,P(C)1.6323 分（）若返券金額不低于30 元，則指針落在 A 或 B 區域 .111P P( A) P(B)4 分632即消費 128 元的顧客，返券金額不低于30 元的概率是 1.2（）由題意得，該顧客可轉動轉盤 2 次.隨機變量 X 的可能值為 0， 30，60， 90，120.5 分P( X0)111;224P( X30)11