1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)一向量及其線性運(yùn)算1、向量,向量相等,單位向量,零向量,向量平行、共線、共面；2、線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；b bx ,by ,bz3、 空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限,向量的坐標(biāo)分解式；4、 利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)a ax,ay,az,那么 a b ax bx,ay by ,az bz, a ax, ay, az；5、向量的模、方向角、投影：1 向量的模：r&y2z2 ；2 兩點(diǎn)間的距離公式： AB| x2 *2 y2 yi2 z23 方向角：非零向量與三個坐標(biāo)軸的正向的夾角,xyz4)方向余弦:cos 一, cos 言,cos 一rrr222co

2、s cos cos 15投影：Prjua a cos ,其中為向量a與u的夾角一數(shù)雖積,向用1、數(shù)用R： ab | a b cos21)a a a2)a ba b 0a baxbxx xayby a2、向用R: Ca b大小：a 1bsin ,方向:1) aa 02)a/ ba b 0zbza ,b , c符合右手規(guī)那么axbxjaybyaz bz運(yùn)算律：反交換律(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz 面上曲線 C : f ( y, z) 0 ,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周：f (y, Jx2 z2) 0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周：f ( Vx2, z) 03、柱面：的柱面F

3、(x,y) 0F (x, y) 0表示母線平行于z軸,準(zhǔn)線為 z 04、二次曲面22x y21橢圓錐面：/2z222x y z212橢球面：2k2ca b c222x y z21旋轉(zhuǎn)橢球面：_2-2-a a c222x yz3 單葉雙曲面：2. 2a b2 c222x yz4) 雙葉雙曲面：2. 2a b22x y2 c5橢圓拋物面：-2.2ab:xz22y6雙曲拋物面馬鞍面： a22x y2 b2117) 橢圓柱面：a2b222x y8雙曲柱面：仁2.2ab29拋物柱面：xay四空間曲線及具方程F (x, y,z)1、一般方程：c /0G(x, y,z)0xx(t)xa cos t2、參數(shù)方

4、程：yy(t),如螺旋線：ya sin tzz(t)zbt3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F(x,y,z) 0H (x, y)c /、八,消去z ,得到曲線在面xoy上的投影d A2 B2 C2G(x, y,z) 0z 01、點(diǎn)法程：A(x xo) B(y V0) C(z法向量:n (A,B,C),過點(diǎn)(x0, ye z0)2、一般程：Ax By Cz D 0x y z截距式方程：1 a b c3、兩平面的夾角：(A,Bi,Ci) , % (A2,B2,C2)AA2B1B2 C1C2|rev.COSTATB12C12 萩 B；C；12A1A2B1B2C1C20/A 互魚1 2a2b2c24、點(diǎn) P

5、0(x0,y0, z0)到平面 Ax By Cz D(五)平面及其方程zo)0的距離:Ax0 By0 Cz0 D(六)空間直線及其方程1、一般式方程:A1xB1 y C1z D102、對稱式點(diǎn)向式方程:xX0y y0 z Z0m n p方向向量:s m,n, p,過點(diǎn)X0, y0, Z0x x0 mt3、參數(shù)式方程：yy0nt4、兩直線的夾角:Si (m1,ni, Pi) , S2 (m2,n2,P2),cosmm n1n2p1p2222222,m1 n1 p1 、m2 n2 p2m1m2n1n2p1 p20L1/L2m nipim2n2 p2A2XB？yC2Z D205、直線與平面的夾角：直

6、線與它在平面上的投影的夾角,sinAm Bn Cp. 'A2 B2 C2 . m2 n2 p2L/ Am Bn Cp 0ABCL m n p第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一根本概念高等數(shù)學(xué)下知識點(diǎn)1、距離,鄰域,內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),邊界點(diǎn),聚點(diǎn),開集,閉集,連通集,區(qū)域,閉區(qū)域,有界集,無界集.2、多元函數(shù)：z f x, y,圖形:3、極限：x,y!吧,y°fX,y第9頁共20頁4、連續(xù)：x,y!虬y0fX,y心"5、偏導(dǎo)數(shù):f(Xox, y°) f(x°,y.)fx (x°, yo) lim x 0xf (x0,y0) llm 冷冒.y) f(

7、xo,yo)yy 0y6、方向?qū)?shù)：T "4coscos其中,為i的方向角.xy7、 梯度：z f(x,y),那么 gradf(x°,y°) fx(x0,y°)i fy(x0,y°)j8、全微分：設(shè) z f (x, y),那么 dz dx -Zdyx y(二) 性質(zhì)1、函數(shù)可微,偏導(dǎo)連續(xù),偏導(dǎo)存在,函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系:1、'I偏導(dǎo)數(shù)存在2、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、微分法1定義：2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒敲醇僭O(shè) z f u,v,u ux, y,v vx,y,那么zz uz vzzuz vxu x

8、v x 'yuyv y3隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo),然后解方程組三應(yīng)用1、極值1無條件極值：求函數(shù)z f x, y的極值fx0解方程組ffy0求出所有駐點(diǎn),對于每一個駐點(diǎn)x°,y.,令A(yù) fxx(xo,yo) , Bfxy(xo,yo), Cfyy(xo,yo), 假設(shè)AC B2 o , A o,函數(shù)有極小值,假設(shè)AC B2 o , A o,函數(shù)有極大值; 假設(shè)AC B2 O,函數(shù)沒有極值； 假設(shè)AC B2 O ,不定 2條件極值：求函數(shù)z f x,y在條件x, y.下的極值令：L(x, y) f (x, y) (x, y) Lagrange 函數(shù)Lx 0解方程組Ly 0(x,

9、y) 0高等數(shù)學(xué)(下)知識點(diǎn)2、幾何應(yīng)用 1)曲線的切線與法平面出線：yx(t)M(xo,y0,zo)(對應(yīng)參數(shù)為t.)處的y,那么上一點(diǎn)z(t)x x. y y. z z.切線方程為：x(to) y(to)z(to)法平面方程為：x(to)(xx°)y(to)(yyo) z(t°)(zz°) O2)曲面的切平面與法線曲面：F (x, y,z) O,貝U上一點(diǎn)M(xo,yo,zo)處的切平面方程為:Fx(x°, yo,z°)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y°) Fz(x°, y°,zo)(z zo)

10、O法線方程為:x x°Fx(xo,y°,z)y y°Fy(xo,yo,z°)z z°Fz(xo,yo,z°)第十章重積分(一)二重積分1、 定義：f(x,y)dlim°f( k, Q kDk 12、性質(zhì)：(6條)3、幾何意義：曲頂柱體的體積.4、計算：1) 直角坐標(biāo)第8頁共2O頁高等數(shù)學(xué)下知識點(diǎn)第13頁共20頁(x,y)i(x)a2(x)b2)f (x, y)dxdy(x,y)i(y)cf (x, y)dxdy極坐標(biāo)i(bdxa2(x)f (x,y)dy1(x)2(y) ddc dy i(y)2(y)f (x,y)d x2(

11、)f (x, y)dxdyD2()i()f ( cos , sin ) d 三重積分1、定義:f (x,y,z)dvnlim f(k, k, k) vk0 k i2、性質(zhì):3、計算:1)直角坐標(biāo)f (x, y,z)dvDdxdyz2(x, y)zi(x,y) f(x,y,z)dz“先一后二2)f (x, y,z)dv柱面坐標(biāo)bdza DZf (x, y,z)dxdy“先二后一 cossinf (x, y, z)d vf(cossin , z) d d dz3)球面坐標(biāo)r sincosr sinsinr cosf (x, y, z)d vf (r sin cos ,r sinsin,r cos

12、)r2sin drd d三應(yīng)用曲面 S: z f(x, y),(x, y) D 的面積:A D 1(x)2 (一；)2dxdy第十一章曲線積分與曲面積分(一)對弧長的曲線積分n1、定義：L f(x,y)ds 既 f( i, i) §0 i 12、性質(zhì)：1) L f (x,y) (x,y)ds L f (x, y)ds Lg(x, y)ds.2) | f(x,y)ds f (x,y)ds f (x, y)ds.(L L1 L2).LLiL23)在 L上,假設(shè) f (x, y) g(x, y),那么 Lf(x,y)dsLg(x, y)ds.高等數(shù)學(xué)(下)知識點(diǎn)4) Lds I( 1為曲線

13、弧L的長度)3、計算:x(t),設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為(t ),y(t),其中(t), (t)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 2(t)2(t) 0,那么Lf(x,y)ds f (t), (t)K 2(t)2(t)dt ,()(二)對坐標(biāo)的曲線積分1、定義：設(shè)L為xoy面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,函數(shù)P(x, y) , Q(x, y)在L上有界,定義L P(x,y)dx lim0LQ(x, y)dynlim Q( k, k) 0 k 1yk.向量形式:dr LP(x, y)dxQ(x,y)dydr2、性質(zhì):用L表示L的反向弧,貝U L F (x,y) dr lF (

14、x, y)3、計算:設(shè)P(x, y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為x (t),(t:),其中(t), (t)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且y (t),2(t)2(t) 0,那么,P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt4、兩類曲線積分之間的關(guān)系:x(t)設(shè)平面有向曲線弧為L ：, L上點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角為:ycos,2(t)2(t)cosJ 2(t)2(t)'第21頁共20頁2、G為一個單連通區(qū)域,函數(shù)Q _P x y曲線積分 Pdx Qdy在g內(nèi)與路徑無關(guān)L那么 l Pdx Qdy L(P

15、cos Qcos )ds.(三)格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D是由分段光滑正向曲線 L圍成,函數(shù)P(x, y),Q(x,y)在Q Pd上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),那么有x 3 dxdy ° Pdx QdyP(x,y),Q(x,y)在G上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),那么曲線積分？Pdx Qdy 0LP(x,y)dx Q(x,y)dy在G內(nèi)為某一個函數(shù)u(x, y)的全微分(四) 對面積的曲面積分1、定義:設(shè) 為光滑曲面,函數(shù)f(x,y,z)是定義在 上的一個有界函數(shù), n定義 f (x,y,z)dS 既 f ( i , i , i) Si2、計算：“ 一單二投三代入:z z(x,y) , (x,

16、y)孔,那么 22f(x,y,z)dS fx,y,z(x,y)h 1 z* (x,y) zy (x, y)dxdy Dx y(五) 對坐標(biāo)的曲面積分1、 預(yù)備知識：曲面的側(cè),曲面在平面上的投影,流量2、定義：設(shè) 為有向光滑曲面,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定義在 上的有界函數(shù),R(x,y,z)dxdy lim.R( i , i, J( SJxy同理, P(x, y, z)d ydz lim.P( i, i, i)(3、Q(x, y, z)d zdxlimo.R(i)( S)性質(zhì):Pdydz QdzdxRdxdyPdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzd

17、x Rdxdy2)表示與 取相反側(cè)的有向曲面,貝URdxdy Rdxdy4、 計算：一一“ 一投二代三定號:z z(x,y), (x,y) Dxy, z z(x, y)在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),R(x,y,z)在 上連續(xù),那么 R(x,y,z)dxdy 嘰 Rx, y,z(x,y)dxdy,為上側(cè)取“ + , 為下側(cè)取“-.5、兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos dS其中,為有向曲面 在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向角.(六) 高斯公式1、高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成,的方向取外側(cè),函數(shù)P,Q,R在上有連續(xù)的一階

18、偏導(dǎo)數(shù),那么有R 一一一 一dxdydz 一 Pd ydz zQdzdxRdxd y2、通量與散度向量場APdydz Qdzdxdxdydz Pcos(P,Q,R)通過曲RdxdyQcosRcos d S定側(cè)的通量為：P Q散度:divA x y斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線, 的側(cè)與 的正向符合右手法那么,P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連 續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),那么有RQPRQP八- dydzdzdx d dxdy 二 Pdx Qdy Rdzyzzxxy為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作：dydzd zd xdxd

19、yxyzPQR環(huán)流量與旋度° Pdx Qd y Rdz2、高等數(shù)學(xué)下知識點(diǎn)環(huán)流量：向量場A P,Q,R沿著有向閉曲線的環(huán)流量為.Pdx Qdy Rdz旋度：rotAR_QPR_QPy,zz, xxy第31頁共20頁第十二章無窮級數(shù)一常數(shù)項級數(shù)1、定義：1無窮級數(shù)：Un U1 U2 U3Unn 1n局部和：Sn化 U1 U2 U3Un,正項級數(shù)：Un , Un 0n 1交錯級數(shù)：伊昂,Un 0n 12級數(shù)收斂：假設(shè)啊& S存在,那么稱級數(shù)n1Un收斂,否那么稱級數(shù)n1Un發(fā)散3條件收斂:Un收斂,而Un發(fā)散;絕對收斂：Un收斂.n 12、性質(zhì)：1改變有限項不影響級數(shù)的收斂性;2

20、)級數(shù) an ,bn收斂,那么an bn收斂;3級數(shù) an收斂,那么任意加括號后仍然收斂;n 14必要條件：級數(shù)Un收斂n 1limun 0.注意：不是充分條件！ n3、審斂法正項級數(shù)： Un , Un 0 n 11定義：lim § S存在；n2Un收斂 Sn有界； n 13 比較審斂法：Un ,Vn為正項級數(shù),且Un Vn n 1,2,3,假設(shè) Vn收斂,那么 Un收斂；假設(shè)n 1Un發(fā)散,那么Vn發(fā)散.1n 14比較法的推論:Un,Vn為正項級數(shù),假設(shè)存在正整數(shù) m ,當(dāng)n m時,UnkVn,而 Vn收斂,貝u %收斂；假設(shè)存在正整數(shù) m,當(dāng)nm 時,Un kVn,而Vn發(fā)散,那

21、么 Un發(fā)散.5比較法的極限形式:Un ,、n為正項級數(shù),假設(shè)啊1 01),而Vn收斂,貝Un收斂；假設(shè)limUn 0或啊*n 1n 1VnVn,而,n發(fā)散,那么Un發(fā)6)Un 1比值法：Un為正項級數(shù),設(shè)lim 1 ,那么當(dāng)l 1時,級數(shù) Un收斂;那么當(dāng)l 1時,級數(shù) Un發(fā)散；當(dāng)l 1時,級數(shù)Un可能收斂也可能發(fā)散7)根值法：Un為正項級數(shù),設(shè)imUn 1 ,那么當(dāng)l 1時,級數(shù) Un收斂；那么1時,級數(shù)Un發(fā)散；當(dāng)l 1時,級數(shù) ,n可能收斂也可能發(fā)散.8極限審斂法：Un為正項級數(shù),假設(shè)nim n Un 0或nim n Un,那么級數(shù) Unn 1發(fā)散；假設(shè)存在p 1 ,使得lim np

22、 Un l (0 ln,那么級數(shù) Un收斂.n 1交錯級數(shù):萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù):(1)nUn , Un 0滿足：Un1Un (n 1,2,3,),n 1且nim Un 0,那么級數(shù) 1nUn收斂任意項級數(shù)：Un絕對收斂,那么收斂.常見典型級數(shù)：幾何級數(shù)：P -級數(shù):收斂,|q| 1naqn 0 發(fā)散,|q| 11 收斂,p 1n 1nP 發(fā)散,P 1二函數(shù)項級數(shù)1、定義：函數(shù)項級數(shù)UnX,收斂域,收斂半徑,和函數(shù);n 1n2、籍級數(shù)：QanXan 1R 0, 收斂半徑的求法：!im 偵,那么收斂半徑3、泰勒級數(shù)f (X.)f(x)(x X.)n 0 n!f (n 1)()lim Rn(x) lim-(x x°)n 1 0nn (n 1)!展開步驟：(直接展開法)1) 求出 f(n)(x), n 1,2,3,；2) 求出