1、實用標準恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數學中的一個重點、難點問題。這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個固定的思想方法去處理，一直困擾著學生，感到不知如何下手。在此為了更好的準確地把握快速解決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規處理。一、函數法（一）構造一次函數利用一次函數的圖象或單調性來解決對于一次函數f ( x)kxb(k0), x m, n 有：f ( x)0恒成立k 0或 k 0f (m) 0;f ( m) 0f ( n) 0f (n) 0f ( x)0恒成立f (m)0f (n)0例 1 若不等

2、式 2x1mx 2m 對滿足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的范 圍。解析：將不等式化為：m( x21)( 2x1)0 ，構造一次型函數：g(m)( x21)m(2 x1)原命題等價于對滿足2m2 的 m ，使 g( m)0 恒成立。g ( 2) 02(x21) (2x 1) 0由函數圖象是一條線段，知應2( x2g (2) 01) (2x 1) 0解得17x13，所以 x 的范圍是 x ( 1 7 ,13 ) 。2222精彩文檔實用標準小結：解題的關鍵是將看來是解關于x 的不等式問題轉化為以m 為變量， x 為參數的一次函數恒成立問題，再利用一次函數的圖象或單調性解題。練習 :(1)若不

3、等式 ax10 對 x1,2 恒成立，求實數a 的取值范圍。（2）對于 0p 4 的一切實數，不等式 x 2px 4x p 3 恒成立，求 x 的取值范圍。（答案：或）（二）構造二次函數利用二次函數的圖像與性質及二次方程根的分布來解決。對于二次函數f ( x)ax2bxc0(a0) 有：（ 1） f (x)0在xR 上恒成立a0且0 ；（ 2） f (x)0在xR 上恒成立a0且0（ 3）當 a0 時，若 f (x)0在, 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0若 f ( x)0在 ,f ()0 上恒成立)0f (f ()0（ 4）當 a0時，若f ( x)0在,

4、上恒成立f ()0若 f ( x)0在 , 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0精彩文檔實用標準例 2 若關于 x 的二次 不等式： ax2(a1) xa10 的解集為 R ，求 a 的取值范圍 .解：由題意知，要使原不等式的解集為R ，即對一切實數x 原不等式都成立。a 0a0a0只須(a1)24a( a 1) 03a22a 1 00a011或1a. a 的取值范圍是aa3,133說明 ：1、本題若無 “ 二次 不等式” 的條件，還應考慮 a0 的情況，但對本題講 a0時式子不恒成立。 2、只有定義在 R上的恒二次不等式才能實施判別式法；否則，易造成失解。練習：

5、 1、 已知函數ymx26m8 的定義域為R，求實數 m 的取值范圍。mx（答案 0 m 1）2 、 已知函數 f (x)x22kx2在( 1,) 時 f ( x)k 恒成立，求實數 k 的取值范圍。 （答案 3 k1）提示：構造一個新函數 F ( x) f ( x) k 是解題的關鍵，再利用二次函數的圖象性質進行分類討論，使問題得到圓滿解決。（三）、利用函數的最值-分離參數法或值域法若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊即分離參變量 ，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。注意參數的端點值能否

6、取到需檢驗。類型一： “ af (x) ”型一、（恒成立）精彩文檔實用標準（ 1） xD , f ( x) m 恒成立f (x)min m ；（ 2）xD , f ( x)m 恒成立mf (x)max ；二、（能成立、有解） ：（ 1）xD , f ( x)m 能成立mf ( x)在 D內有解f ( x)maxm ；（ 2）xD , f ( x)m 能成立mf ( x)在 D內有解mf (x) min ；三、（恰成立）（ 1）不等式（ 2）不等式fxA 在區間 D 上恰成立不等式fxA的解集為 D ；fxB 在區間 D 上恰成立不等式fxB的解集為 D.四、（方程有解）方程 mf ( x) 在

7、某個區間上有解，只需求出f (x) 在區間上的值域A 使 mA 。例 3：設 f ( x)lg 12xa4x, 其中 aR ，如果 x(.1)時， f (x) 恒有意義，求 a3的取值范圍。解：如果 x(.1) 時， f (x) 恒有意義不等式 12 xa 4x0 對 x (,1) 恒成立a12x(2x2x.1)恒成立。4x2) ， x (令 t2x ， g(t)(tt 2 ) ，又 x (.1) ，則 t( 1 ,)2ag(t ) 對 t1) 恒成立，又g(t) 在 t1) 上為減函數，( ,22g(t) maxg( 1)3，a3244例 4：若關于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空

8、集，則實數a 的取值范圍。解： 設fx x2axa . 則關于x 的不等 式23的解集 不是空 集()xaxa精彩文檔實用標準f ( x)3在 R 上能成立f ( x) min3 ,即 f ( x) min4aa 23，解得 a6或 a24例 5 不等式 kx 2k20 有解，求 k 的取值范圍。解：不等式kx2k2 0有解k ( x21)2能 成 立k2能 成 立2x 2 1k() max2， 所以 k(,2) 。2x1x1t例 6（ 2008 年上海）已知函數f ( x) 22| x | 若不等式2f (2 t )+mf ( t ) 0 對于 t 1,2恒成立，求實數m的取值范圍解：本題可

9、通過變量分離來解決當 t1,2時，t2t1t12 (222t)m(22t )0即 m(2 2t1)(2 4t1) ， 22t10 ， m(22t1) t1,2 ， (22t1)17,5故 m 的取值范圍是 5,)例 7（1990 年全國）設f (x)lg1x2 x3xn(n1) xn x a ，其中 a 為實數， n為任意給定的自然數，且n2 ，如果 f ( x) 當 x(，1 時有意義，求a 的取值范圍解：本題即為對于x(， 11210 恒成立，有 xx(n)xxan這里有三種元素交織在一起，結構復雜，難以下手，若考慮到求a 的范圍，可先將 a分離出來，得 a( 1) x(2 ) x( n1

10、) x ( n2) ，對于 x(， 1 恒成立nnn構 造 函 數 g( x)( 1) x( 2) x( n 1) x ， 則 問 題 轉 化 為 求 函 數 g( x) 在nnn( k ) x (k 1， 2， ， n 1) 在x (，1 上 的 值 域 ， 由 于 函 數 u( x)n精彩文檔實用標準x(，1 上是單調增函數，則 g( x) 在 (，1上為單調增函數于是有g( x) 的最大值為 g(1)1 (n2從而可得 a1 (n 1)2如何在區間 D 上求函數 f(x) 的最大值或者最小值問題 , 我們可以通過習題的實際取合理有效的方法進行求解, 通常可以考慮利用函數的單調性、函數的圖

11、像、二次函數的配方法、三角函數的有界性、均值定理、函數求導等等方法求函數f （x）的最值1) ，, 采類型二：“ f xg (x) ”型（1）xD , f (x)g( x)恒成立f (x)的圖象恒在 g( x)的圖象的上方f ( x) ming( x)max ( xD )恒成立h(x)f ( x)g (x)0恒成立。例 8 已知 f(x)= lg(x+1) ， g(x)=lg(2x+t) ，若當 x 0,1 時， f(x) g(x) 恒成立，求實數 t 的取值范圍 .解f(x) g(x) 在x 0,1恒 成 立 ， 即在x 0,1恒 成 立在 0,1上的最大值小于或等于零.令，. x 0,1

12、， F (x) 0，即 F(x) 在0,1 上單調遞減， F(0) 是最大值 . f(x) F(0)=1-t 0，即 t 1.類型三：“ f x1g( x2 ) ”型（恒成立和能成立交叉）：精彩文檔實用標準（ 1） x1 D, x2E, f (x1 ) g ( x2 ) 成立f ( x1) min g( x2 )f ( x1 ) ming( x2 )f ( x1 )ming ( x)min；例 9 已知兩個函數f ( x) 8x216xk, g ( x) 2x35x 24x ，其中 k 為實數。（ 1）對任意 x3,3，都有 f( x)g( x) 成立，求 k 的取值范圍；（ 2）存在 x3,

13、3 ，使 f (x)g( x) 成立，求 k 的取值范圍；（ 3）對任意 x1, x23,3 ，都有 f (x1 )g ( x2 ) ，求 k 的取值范圍。解析：（ 1）設 h(x)g( x)f ( x)2x33x212xk 問題轉化為 x3,3時，h(x)0 恒成立，故 h( x) min0 。令 h' ( x)6x26x120 ，得 x1或 x2 。由 h(1)7k ,h(2)20k, h(3)k45, h(3)k9 ，故 h( x)min45k由 k450k45 。（ 2）據 題 意 ： 存 在 x3,3， 使 f ( x)g( x)成 立h(x) g( x)f ( x)0 在x

14、3,3有解，故 h( x)max0，由（ 1）知 h( x) maxk7，于是得 k7 。（ 3）分析：它與（1 ）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區別。對任意x1 , x23,3 ，都有 f (x1)g (x2 ) 成立，不等式的左右兩端函數的自變量不同，x1 ,x2的取值在3,3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：f (x)maxg( x) min , x3,3 ，由'( )6x210x40 ，得或2，易得x1xg( x)min g ( 3)21g x3又 f (x) 8( x1) 28k ， x3,3.故 f (x)maxf (3)120k ，令 120k

15、21k 141 。精彩文檔實用標準例 10：（ 2010 山東）已知函數 f (x)ln xax 1 a 1 (aR) .1x( ) 當 af ( x) 的單調性；時，討論21（）設g ( x) x22bx4.x1(0, 2)x21,2時，若對任意，存在，使當 a4f (x1) g( x2 ) ，求實數 b 取值范圍 .解析： ( ) 當 a0時，函數f (x) 在(0,1) 單調遞減， (1,) 單調遞增；當 a1時 x1 x2， h( x)0 恒成立，此時f( x)0 ，函數 f ( x) 在2(0,) 單調遞減；當 0a1時，函數 f ( x) 在 (0,1) 單調遞減， (1,11)

16、單調遞增，( 12a1,) 單調遞減 .a1（）當 a時， f (x) 在（ 0， 1）上是減函數，在（ 1， 2）上是增函數， 4所以對任意 x1(0,2)，有 f (x1)f (1)- 1，2又已知存在 x21,2，使 f ( x1 )g ( x2 )，所以1g(x2 ) ，x21,2 ，（）2b) 2b2 , x 1,2又 g(x) ( x4當 b1時， g(x)ming(1) 52b0 與（）矛盾；當 b1,2 時， g(x)min g(1)4b20也與（）矛盾；當 b2 時， g( x) ming(2) 84b1 ,b17.28綜上，實數 b 的取值范圍是 17 ,) .8例 11

17、已知函數，若對任意 x，x -2,2，都有12f(x 1) g(x2) ，求 c 的范圍 .解 因為對任意的 x， x -2,2，都有 f(x) g(x) 成立，1212 f(x)max g(x)min.精彩文檔實用標準 f (x)=x 2-2x-3 ，令 f (x) 0 得 x 3 或 x -1 ； f (x) 0 得-1 x 3. f(x) 在 -2,-1為增函數，在 -1,2為減函數 . f(-1)=3 ， f(2)=-6 ， f(x)max=3. . c -24.類型四：“ f ( x1 )f xf ( x2 ) ”型例 12：已知函數，若對任意x R，都有 f(x 1) f(x)f(

18、x 2) 成立，則|x 1-x 2| 的最小值為 _.解 對任意xR，不等式f(x 1) f(x) f(x 2) 恒成立， f(x 1) ， f(x 2) 分別是 f(x) 的最小值和最大值 .對于函數y=sinx ，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是，即半個周期.又函數的周期為4， |x 1-x 2| 的最小值為 2.類型五：例 13 (2005湖北 ) 在 y=2x， y=log 2 x， y=x 2， y=cosx 這四個函數中，當0 x1x2 1 時，使恒成立的函數的個數是()A.0B.1C.2D.3精彩文檔實用標準解 本題實質就是考察函數的凸凹性，即滿足條件的函數，應是凸函數的性

19、質，畫草圖即知y=log 2x 符合題意 .類型六： . “ 0”型例 14已知函數 f(x)定義域為 -1,1， f(1)=1 ，若 m， n -1,1， m+n 0 時，都有2對所有 x-1,1 ， a -1,1恒成立，求實數t 的，若 f(x) t -2at+1取值范圍 .解 任取 -1 x1 x21，則.由已知 0，又 x1-x 20， f(x 1)-f(x2) 0，即 f(x) 在 -1,1 上為增函數 . f(1)=1 ， x -1,1 ，恒有 f(x) 1.要使 f(x) t 2-2at+1 對所有 x -1,1 ， a-1,1 恒成立，即要 t 2-2at+1 1 恒成立，故

20、t 2-2at 0 恒成立 .令 g(a)=t2-2at ，只須 g(-1) 0 且 g(1) 0，精彩文檔實用標準解得 t -2 或 t=0 或 t 2.評注形如不等式“ 0”或“ 0”恒成立，實際上是函數的單調性的另一種表現形式，在解題時要注意此種類型不等式所蘊涵的重要信息.類型七：“ |f(x1) f(x2)| t(t為常數 ) ”型例 15 已知函數 f(x)=-x4+2x3，則對任意 t 1，t 2 -,2(t1 t 2) 都有 |f(x1)-f(x2)| _恒成立，當且僅當t 1=_， t 2=_時取等號 .解 因為 |f(x1)-f(x2)| |f(x)max-f(x)min|

21、恒成立，由， x-,2 ，易求得，. |f(x 1)-f(x2)| 2.類型八：“ |f(x1)-f(x)| |x -x | ”型212例 16 已知函數f(x)=x3+ax+b，對于 x1,x 2 (0,)(x 1 x2) 時總有 |f(x1)-f(x2)|x 1-x 2| 成立，求實數a 的范圍 .解 由 f(x)=x3+ax+b，得 f (x)=3x 2+a，當 x(0,) 時， a f (x) 1+a.精彩文檔實用標準 |f(x1)-f(x2)| |x 1-x 2| ，-1 a 0.評注由導數的幾何意義知道，函數y=f(x)圖像上任意兩點P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2)

22、連線的斜率(x 1 x2) 的取值范圍， 就是曲線上任一點切線的斜率( 如果有的話 ) 的范圍，利用這個結論，可以解決形如 |f(x 1)-f(x 2)| m|x1-x 2| 或 |f(x 1 )-f(x 2)| m|x 1-x 2|(m 0) 型的不等式恒成立問題 .（四）數形結合法數學家華羅庚曾說過： “數缺形時少直觀，形缺數時難入微” ，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系 , 對一些不能把數放在一側的，可以利用構造對應兩個函數的圖象法求解。1） f (x)g (x)函數 f (x) 圖象恒在函數g( x) 圖象

23、上方；2） f (x)g(x)函數 f ( x) 圖象恒在函數g ( x) 圖象下上方。例 17已知 a0, a1, f ( x)x2a x ,當 x( 1,1)時 , 有 f (x)1 恒成立 ，求實數 a2的取值范圍。解析：由 f (x)x2a x1 ，得 x2 1a x ，構造出兩個函數并在同一直角坐22標 系 中 作 出 它 們 的 圖 象 ， 如 果 兩 個 函 數 分 別 在 x 1和 x1處相交，則由121a及 (1) 21a 1得到 a 分別等于 2 和 0.5 ，并作出函數 y2 x 及 y( 1 ) x2212的圖象，所以，要想使函數x2a x 在區間 x(1,1) 中恒成

24、立， 只須 y2x 在區21間 x(1,1) 對應的圖象在 yx2在區間 x( 1,1) 對應圖象的上面即可。當2精彩文檔實用標準1a1時, 只有 a 2 才 能 保 證 ， 而 0 a 1時，只有 a 才 可 以 ， 所 以 2a 1 ,1)(1,2 。24例 18 設 f ( x)x 24x ,g ( x)x1 a , 若恒有 f (x)g( x) 成立 , 求實數 a3的取值范圍 .y分析：在同一直角坐標系中作出f ( x) 及 g ( x)的圖象如圖所示，f (x) 的圖象是半圓 (x2)2y 24( y 0)g(x) 的圖象是平行的直線系4x3y3 3a0 。-2-4x要使 f ( x)g( x) 恒成立，-4O則圓心 ( 2,0) 到直線 4x3 y33a0 的距離滿足d833a255解得 a5或 a（舍去 )3練習：若對任意xR , 不等式 xax 恒成立，求實數a 的取值范圍。 1 a 1練習：1、已知二次函數滿足 f (0)1，而且 f (x 1)f ( x) 2x ，請解決下列問題（ 1）求二次函數的解析式。f ( x)x2x1（ 2）若 f (x)2xm 在區間 1,1上恒成立，求 m 的取值范圍。 (,1)（ 3）若 f (x)2xm 在區間 1,1上恒成立，求 m 的取值范圍。1,5（ 4）若 f (x)2xm 在區間