1、課題：雙曲線及其標準方程（一）教學目標 1.掌握雙曲線定義、標準方程及其求法； 2.掌握焦點、焦距、焦點位置與方程關系；3.認識雙曲線的變化規律.教學重點 雙曲線的定義及標準方程教學難點 雙曲線標準方程的推導教學過程1、設置情境我們已經知道，與兩定點的距離的和為常數的點的軌跡是橢圓，那么與兩定點的距離的差為非零常數的點的軌跡是怎樣的曲線呢？（用雙曲線演示模板畫出雙曲線）下面我們給出雙曲線的定義，并研究雙曲線的方程.2、探索研究雙曲線的定義：（1） 繪圖演示（2） 分析原理（3） 歸納定義（注意與橢圓比較）我們把平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數（小于 ）的點的軌跡叫做雙曲線.

2、說明常數小于 ；這兩個定點叫做雙曲線的焦點；這兩焦點的距離叫雙曲線的焦距.雙曲線的標準方程：（1）雙曲線的標準方程的推導推導過程：參見課本如圖812，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F1、F2，并且點O與線段F1F2的中點重合.設M（x,y）是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c0)，那么，焦點F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0).又設M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數2a.由定義可知，雙曲線就是集合 將方程化簡得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由雙曲線的定義可知，2c2a，即ca，所以c2a20，令c2a2=b2，其中b0，代入上式得 (a0,b0).（2）雙

3、曲線的標準方程的形式形式一： （a0,b0）說明：此方程表示焦點在x軸上的雙曲線.焦點是F1(c,0)、F2(c,0)，這里c2=a2+b2.形式二： （a0,b0）說明：此方程表示焦點在y軸上的雙曲線，焦點是F1(0，c)、F2(0， c)，這里c2=a2+b2.3、反思應用例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程（1） a=4, c=5, 焦點在x軸上；（2） 焦點為（-5，0），（5，0），且b =3（3） a=4, 經過點 ；（4） 焦點在y軸上，且過點 分析 根據已知條件求出雙曲線的標準方程中的a, b 即可，注意標準方程的形式例2（課本例） 已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1（5，0）、F

4、2（5，0），雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為： (a0,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求雙曲線的標準方程為說明：例1、2目的在于讓學生熟悉雙曲線的定義與標準方程的形式.例3、證明橢圓x2/25y2/191與雙曲線x215y215的焦點相同。 分析：分別求出橢圓及雙曲線的焦點即可例4、已知方程 表示焦點在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍隨堂練習(課本P107 2, 4) 已知方程 表示雙曲線，則實數m的取值范圍是。求適合下列條件的雙曲線的標準方程a=4,b=3，焦點

5、在x軸上；焦點為(0,6),(0,6)，經過點(2,5)焦點在x軸上，經過點 4、歸納總結數學思想方法：數形結合，待定系數法，分類討論掌握雙曲線的定義及其標準方程的推導，并利用焦點、焦距與方程關系確定雙曲線方程.5、課后作業習題 1、2、3雙曲線及其標準方程（二）教學目標 1.進一步掌握雙曲線的定義及其標準方程的求法，特別是用定義法和待定系數法；2.了解雙曲線定義及其標準方程知識在實際中的應用.教學重點 雙曲線的定義及其標準方程教學難點 雙曲線定義及其標準方程知識在實際中的應用教學過程1、復習回顧（1）雙曲線定義（2）兩種形式的標準方程根據下列條件，求雙曲線的標準方程過點P(3,15/4),Q

6、(16/3,5)，且焦點在坐標軸上； 經過點(5,2)，且焦點在x軸上；與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點，且經過點 。分析：設雙曲線方程為mx2ny21(mn0)，則解得 所求方程為x2/16y2/91小結：“巧設”方程為“為mx2ny21(mn0)”避免分兩種情況進行討論。 且焦點在x軸上，設標準方程為x2/my2/(6m)1（0m6）雙曲線經過(5,2)，25/m4/(m6)1，解得m5或m30（舍去）所求方程為x2/5y21與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點，設所求雙曲線的標準方程為 雙曲線經過點 ， ，解得4或1(舍去)所求方程為x2/12y2/81小結：注意到了與雙曲線

7、 x2/16y2/41共焦點的雙曲線系方程為 后，便有了上述巧妙的設法。已知雙曲線x2/a2y2/b21（a0,b0）, 求過它的焦點且垂直于x 軸的弦長分析：設雙曲線的一個焦點為F（c,0），過F且垂直于x軸的弦為AB，要求AB的長，只需確定弦的一個端點A或B的縱坐標即可|AB|2a2/c變：雙曲線x2/4y2/121上的點P到左焦點的距離為6，這樣的點有個。一動圓P過定點M（4，0），且與已知圓N：(x4)2y216相切，求動圓圓心P的軌跡。分析：由題意，列出動圓圓心滿足的幾何條件，若能由此條判斷出動點的軌跡是哪種曲線，則可直接求出其軌跡方程來內切時，定圓N在動圓P的內部，有|PC|PM|

8、4，外切時，有|PC|PM|4，故點P的軌跡是雙曲線x2/4y2/121。已知動圓P與定圓C1：(x5)2y249,C2：(x5)2y21 都相切，求動圓圓心的軌跡的方程分析：外切有|PC1|7r, |PC2|1r，|PC1|PC2|6，內切有|PC1|r7, |PC2|r 1，|PC2|PC1|6故點P的軌跡是雙曲線x2/9y2/1612、探索研究：例（課本）一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s.（1）爆炸點應在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800 m，并且此時聲速為340 m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A、B兩處與爆炸

9、點的距離的差，因此爆炸點應位于以A、B為焦點的雙曲線上.因為爆炸點離A處比離B處更遠，所以爆炸點應在靠近B處的一支上.（2）如圖814，建立直角坐標系xOy，使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合.設爆炸點P的坐標為（x,y），則即2a=680,a=340.又 2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x0.所求雙曲線的方程為： (x0).說明：該例表明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置.而現實生活中為了安全，我們最關心的則是爆炸點的準確位置，那么我們如何解決這個問題呢？如果再增設一個觀測點

10、C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用.如果A、B兩點同時聽到爆炸聲，說明爆炸點到A、B的距離相等，那么爆炸點應在怎樣的曲線上？AB的中垂線。4、歸納總結數學思想方法：數形結合，待定系數法，分類討論掌握雙曲線的定義及其標準方程的推導，并利用焦點、焦距與方程關系確定雙曲線方程.5、課后作業習題 4,5,6.四 雙曲線 2.11 雙曲線及其標準方程一、教學目標（一）知識教學點使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導。（二）能力訓練點在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而

11、培養學生分析、歸納、推理等能力。（三）學科滲透點本次課注意發揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識。二、教材分析1、重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程。（解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識）2、難點：雙曲線的標準方程的推導（解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比）3、疑點：雙曲線的方程是二次函數關系嗎？（解決方法：教師可以從引導學生回憶函數定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數式）三、活動設計提問

12、、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結四、教學過程 （一）復習提問 1、橢圓的定義是什么？（學生回答、教師板書） 平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓，教師要強調條件：（1）平面內；（2）到兩定點F1、F2的距離的和等于常數；（3）常數2a|F1F2|2、橢圓的標準方程是什么？（學生口答，教師板書）焦點在x軸上的橢圓標準方程為x2、a2+y2/b2=1（ab0）；焦點在y軸上的橢圓標準方程為y2/a2+x2/b2=1（abO）（二）雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？1、簡單

13、實驗（邊演示、邊說明）如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支。注意：常數要大小于|F1F2|，否則作不出圖形，這們作出的曲線就叫做雙曲線。2、設問問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？請學生回答，不能，強調“在平面內”問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|F1F2|時，無軌跡3、定義在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕

14、對值是常數（小于|F1F2|的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距）教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記。（三）雙曲線的標準方程現在來研究雙曲線的方程，我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程。這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導。標準方程的推導；（1）建系設點取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1、F2的垂直平分線為y軸（如圖2-24）建立直角坐標系設M（x，y）為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c（c0），那么F1、F2的坐標分別是（-c，

15、0）、（c，0）。又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數。（2）點的集合 由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|MF1|-| MF2|=2a=M|MF1|-| MF2|=2a（3）代數方程|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2 ，（x+c）2+y2 -（x-c）2+y2 =2a（4）化簡方程（由學生演板）將這個方程移項，兩邊平方得：（x+c）2+y2 =4a24a（x-c）2+y2 +（x-c）2+y2 化簡得：cx-a2=（x-c）2+y2 兩邊再平方，整理得：（c2-a2）x2-a2y2=a（c2-a2）（以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導。）由雙曲線定義，2

16、c2a即ca，所以c2-a20設C2-a2=b2（b0），代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2 即 x2/a2-y2/b2=1這就是雙曲線的標準方程兩種標準方程的比較（引導學生歸納）：（1）x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是F1（-c，0）、F2（c，0），這里c2=a2+b2；（2）y2/a2-x2/b2=1（a0，b0）表示焦點在y軸上的雙曲線，焦點是F1（0，-c）、F2（0，c），這里c2=a2+b2（只須將（1）方程的x、y互換即可得到）。教師指出：（1）雙曲線標準方程中，a0，b0，但a不一定大于b；（2）如果x2 項的系數是正的，那么焦

17、點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上，注意有別于橢圓能過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上。（3）雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2 。（四）練習與例題1、求滿足下列的雙曲線的標準方程：焦點F1（-3，0）、F2（3，0），且2a=4；本題由學生先練習再口答：x2/4-y2/5=1；2、證明：橢圓x2/25-y2/9=1與雙曲線x2-15y2=15的焦點相同。由學生演板完成，橢圓焦點F1（-4，0）、F2（4，0）；雙曲線焦點F1 （-4，0）、F2 （4，0）。 3、已知兩點F1（-5，0）、F2（5，0），求與它們的距離

18、的差的絕對值是6的點的軌跡方程，如果把這里的數字6改為12，其他條件不變，會出現什么情況？由教師講解：按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42 因此，所求方程是x2/32-y2/42，即x2/9-y2/16=1因為，2a=12，2c=10，且2a2c所以動點無軌跡（五）小結 1、定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡。 2、標準方程：x2/a2-y2/b2=1（，），2/a2-2/b2=1（，）、圖形（見圖2-25）4、焦點：F1（-c，0）、F2（c，0）；5、a、b、c的關系：c2=a2+b2；

19、c2=a2+b2 五、布置作業1、根據下列條件，求雙曲線的標準方程：（1）焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經過點A（-5，2）；（2）經過點P（-3，27）和Q（-62，-7），焦點在y軸上。 2、已知x2/1+k+y2/1-k=1表示雙曲線，求k的取值范圍。3、已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n（m0m+n，求其焦點坐標。作業答案：1、（1）x2/20-y2/16=1 （2）y2/25-x2/75=12、由（1+k）（1-k）0解得：k-1或k13、原方程可化為：x2/（m+n）/m+y2/（m+n）/n=1m+n/m0，m+n/n，故此曲線為焦點在y軸上的雙曲線，a2=m

20、+n/n，b2=-m+n/-m，c=a2+b2=m2-n2/mn焦點F1（0，-m2-n2/mn）、F2（0，-m2-n2/mn） 六、板書設計2.12 雙曲線的幾何性質一、教學目標（一）知識教學點使學生理解并掌握雙曲線的幾何性質，并能從雙曲線的標準方程出發，推導出這些性質，并能具體估計雙曲線的形狀特征。（二）能力訓練點在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，從而培養學生分析、歸納、推理等能力。（三）學科滲透點 使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題。二、教材分析1、重點：雙曲線的幾何性質及初步運用。（

21、解決辦法：引導學生類比橢圓的幾何性質得出，至于漸近線引導學生證明。）2、難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證。（解決辦法：先引導學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線。）3、疑點：雙曲線的漸近線的證明。（解決辦法：通過詳細講解。）三、活動設計提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結。四、教學過程（一）復習提問引人新課1、橢圓有哪些幾何性質，是如何探討的？請一同學回答。應為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的。2、雙曲線的兩種標準方程是什么？再請一同學回答，應為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為x2/a2-y2

22、/b2=1；中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程y2/a2-x2/b2=1。下面我們類比橢圓的幾何性質來研究它的幾何性質。（二）類比聯想得出性質（性質1-3）引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質的表格（讓學生回答，教師引導、啟發、訂正并板書），（三）問題之中導出漸近線（性質4） 在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計橢圓的形狀，畫出橢圓的簡圖都有很大作用，試問對雙曲線x2/a2-y2/b2=1，仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么關系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2-26）有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只

23、引起學生類比聯想。接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？請一同學回答，應為y=b/a x，并畫出兩條對角線，進一步引導學生從圖觀察得出結論：雙曲線x2/a2-y2/b2=1的各支向外延伸時，與這兩條漸近線逐漸接近。下面，我們來證明它；雙曲線在第一象限的部分可寫成：y=b/ax2-a2（xa）設M（x，y）是它上面的點，N（x，7）是直線y=b/a x上與M有相同的橫坐標的點，則y=b/a x。 y=b/ax2-a2=b/ax1-（a/x）2b/ax=y|MN|=y-y=b/a（x-x2-a2）=b/a（x-x2-a2）（x+x2-a2）/ x+x2-a2 =ab/

24、 x+x2-a2 設|MQ|是點M到直線y=b/ax的距離，則有|MQ|MN|當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON。在其他象限內也可以證明類似的情況。我們把兩條直線y=b/ax叫做雙曲線的漸近線。現在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對調而得，所以，雙曲線y2/a2-x2/b2=1的漸近線的方程是x=b/a y即y=a/b x。定義：直線y=

25、a/b x叫做雙曲線x2/a2-y2/b2=1的漸近線。這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精確地畫出雙曲線。例如：畫雙曲線x2/25-y2/16=1，先作漸近線y=4/5x，再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線。（四）順其自然介紹離心率（性質5）由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：1、雙曲線的焦距與實軸的比e=c/a叫做雙曲線的離心率，且e1。2、由于b/a=c2-a2/a= c2/a2 1=e2-1，所以e越大，b/a也越大，即漸近線y=b/ax的斜率絕對值越大，這時雙曲線的形狀就

26、從扁狹逐漸變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線的幾何性質與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變。（五）練習與例題 1、求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。請一學生演板，其他同學練習，教師巡視，練習畢予以訂正。 解：把方程化為標準方程y2/42=x2/32=1 由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3。 C=a2+b2=42+32=5焦點坐標是（0，-5），（0，5）離心率為e=c/a=5/4漸近一方程為x=3/4y，即y=4/3x2、點M（x，y）到定點

27、F（c，o）的距離和它到定直線l：x=a2/c的距離的比是常數（c/a）（ca0），求點M的軌跡（圖2-27）。本題實質上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結。解：設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合：P=M|MF|/d=c/a由此得（x-c）x2-a2y2=a2（c2-a2）設c2-a2=b2，就可化為x2/a2-y2/b2=1這就是雙曲線的標準方程。由此例不難歸納出雙曲線的第二定義。（一） 雙曲線的第二定義1、定義（由學生歸納給出）平面內點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數e=c/a（e1）時，這個點M的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線

28、的準線，常數e是雙曲線的離心率。 2、說明（1）對于雙曲線x2/a2-x2/2=1，相應于焦點F（c，0）的準線方程是x=a2/c，根據雙曲線的對稱性，相應于焦點F（-c，0）的準線方程是x=-a2/c。（2）對于雙曲線y2/a2-x2/b2=1，相應于焦點F（0，c）的準線方程是y=a2/c，相應于焦點F（0，-c）的準線方程是y=-a2/c。（二） 小結（由學生課后完成）將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結。五、布置作業1、已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。 （1）16x2-9y2=144； （2）16x2-9y2=-144。2、求雙曲線的標準方程：（1）

29、實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上；（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上；（3）離心率e=2，經過點M（-5，3）；（1） 兩條漸近線的方程是y=2/3x，經過點M（9/2，-1）。 3、求以橢圓x2/8+y2/5=1的焦點為頂點，而以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程。 4、已知雙曲線x2/4-y2/5=1上的P點到左焦點的距離等于3，求P點到兩準線及右焦點的距離。 作業答案： 1、（1）F1（-5，0），F2（5，0），e=5/3，漸近線方程為y=4/3x。 （2）（1）F1（0，-5），F2（0，5），e=5/4，漸近線方程為y=4/3x。 2、（1）x2/25-y2/16=1

30、（2）y2/9-x2/16=1（3）x2/16-y2/16=1 （4）x2/18-y2/8=1 3、x2/3-y2/5=1 4、P點到左準線的距離為2，到右準線的距離是14/3，到右焦點的距離為7。 六、板書設計2.13雙曲線的定義、標準方程以及幾何性質的應用 一、教學目標（一）知識教學點使學生進一步理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程以及幾何性質。（二）能力訓練點通過對雙曲線定義、標準方程和幾何性質的進一步研究，培養學生綜合運用雙曲線的各方面知識的能力。（三）學科滲透點 雙曲線的定義、標準方程以及幾何性質是來源于實踐的理論，同時服務于實踐，通過本次課可進行辯證唯物主義思想教育。二、教材分析

31、1、重點：雙曲線的定義、標準方程以及幾何性質的應用。（解決辦法：多加強這方面的題型訓練，使學生掌握它們的規律。）2、難點：雙曲線的焦半徑和弦長問題。（解決辦法：先證明焦半徑公式，再用它解決一些問題。）3、疑點：雙曲線的焦半徑公式的復雜性（解決辦法：將雙曲線的焦半徑用一表格小結出來。）三、活動設計復習提問、填表、講解、口答、演板、討論四、教學過程（一）復習1、定義：（請兩名學生回答，教師板書）第一定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數2a（2a|F1F2|=2c）的動點M的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點F1、F2 叫做雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距，即 |PF1|-|PF2|

32、=2a （2a|F1F2|=2a 第二定義：平面內點M與定點F的距離和它到一條定直線l的距離的比是常數e=c/a（e1）時，這個點M的軌跡是雙曲線，定點F是雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率。 2、標準方程、圖象及幾何性質（教師事先準備一塊小黑板，設計如下表格，請兩名同學填寫，其他同學糾錯，教師巡視。）3、共軛雙曲線的性質（共軛雙曲線是指以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸而得到雙曲線，參考課本例3）：（1）雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線；（2）雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點在同一圓上。（二）舉例例1 已知雙曲線漸近線方程是y=1/2x，焦點在坐標軸上，焦距

33、是10，求它的方程。分析：由于雙曲線的焦點位置未確定，所以雙曲線的方程可設兩種情形：x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 解：（由學生演板完成）設雙曲線方程為x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 ，則有：b/a=1/2 或 a/b=1/22c=10 2c=10c2=a2+b2 c2=a2+b2 即 a2=20 或 a2=5 b2=5 b2=20 故所求的雙曲線方程為x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1 再分析：在家知道已知雙曲線可以確定唯一的漸近線的方程；反之，如果已知雙曲線的漸近線方程，能否確定唯一的雙曲線方程呢？從上述解法以及共軛雙

34、曲線的性質易知：雙曲線不唯一。一般地，以x/ay/b=0為漸近線的雙曲線系x2/a2-y2/b2=（R且0）當0時，雙曲線中心在原點，焦點在x軸上；當0時，雙曲線中心在原點，焦點在y軸上。 另解：（教師講解并板書） 可設所求的雙曲線方程為x2y=0可設所求的雙曲線方程為 x2-4y2=（R且0）即x2/-y2/4=1|+|/4=C2=25， |=20，即=20所求雙曲線方程為x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1 例 2 已知F1、F2是雙曲線16x2-9y2=144的兩個焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小。 解：原方程化為x2/9-y2/16=1

35、。 a2=9， b2=16 c2=25從而|F1F2|=2c=10又由雙曲線的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=6|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|PF2| =62+232=100而|F1 F2|2 =100 |PF1|2+|PF2|2 =|F1 F2|2 F1PF2=90例3（1）證明：設P（x0，y0）為雙曲線x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1上的任意一點，F1、F2分別為左、右或下、上兩焦點，則雙曲線的焦半徑|PF|為：（2）求證：以雙曲線的任意焦半徑為直徑的圓，與以實軸為直徑的圓外切對于（1）僅就焦點在x軸上的雙曲線x2/a

36、2-y2/b2=1右支上的點P（x0，y0），左焦點半徑|PF1|進行證明，由學生演板完成。證明：作PQ垂直于左準線，垂足為Q，由雙曲線的定義可知：|PF1|/|PQ|=e |PQ|= x0 +a2/c，|PF1|/ e |PQ|= e （x0 +a2/c）exo+a對于（2）教師講解并板書：如圖2-28，設雙曲線方程為x2/a2-y2/b2=1，且設F1、F2為其左、右焦點，P（x0，y0）為雙曲線上右支上一點，則|PF1|=exo+a，|PF2|=exo-a。取F1P的中點為01，連結O1O，只須證明：以F1P為直徑的圓與實軸A1A2為直徑的圓內切。即證：|O1O|=|PF1|/2-2a=

37、 exo+a/2-2a/2= exo-a/2在PF1F2中，O1O為PF1F2 的中位線|O1O|=1/2|PF2|=1/2（exo-a）即 |O1O|=1/2（exo-a）故以雙曲線的任意焦半徑為直徑的圓，與以實軸為直徑的圓內切。例4 過點A（2，1）作直線l交雙曲線于P1、P2兩點，求P1、P2 的中點的軌跡方程。解：設直線l的方程為y=k（x-2）+1，將上述方程代入雙曲線方程x2-y2/2=1，整理得：（2-k2）x2-2k(1-2k)x-4k2 +4k-3=0當2-k20即k2時，設P1P2的中點為M（x0 ，y0），則x0=x1x2/2=k（2k-1）/k2-2y0=2（2k-1）

38、k2-2x0/k=y0 /2，即k=2x0/y0（k1/2）代入y0=2k（2k-1）/k2-2得：2x2-4x0-y2+y0=0故2-k2=0即k=2時，直線與漸近線平行，不存在中點；當k不存在時，直線x=2的弦中點M（2，0）也在軌跡上。故所求軌跡的方程為：2x2-4x-y2+y=0小結：解此題使用了求中點軌跡方程的常用方法，學了參數方程后，也可用直線的參數方程求得中點的軌跡方程。（三）練習 1、求與定點A（5，0）及定直線l：x=16/5的距離比是5：4的點的軌跡方程。由學生練習后口答完成，由雙曲線的第二定義易得軌跡方程為x2/16-y2/9=12、判定當（1）k4、（2）4k9時，方程x2/9-k+y2/4-k=1分別表示什么曲線？由學生演板。（1）k4時，9-k0，4-k0，方程表示橢圓；（2）當49時，9-k0，4-k0，方程表示雙曲線。 3、過點A（1，1）能否作直線l，交雙曲線x2-y2/2=1于P1、P2 兩點，使點B為P1P2的中點？由學生討論完成，教師給予提示，解答為：設存在直線l：y=k（x-1）+1。將上述方程代入雙曲線x2-y2/2=1，并整理得：（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2 +2k-3=0當k22即