1、平面向量部分解答題練習(xí)1、設(shè)分別是直角坐標(biāo)系軸，軸方向上的單位向量，若在同一直線是有三點(diǎn)A、B、C且。求實(shí)數(shù)的值2、如圖，ABCD是一個(gè)梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知=a,=b,試用a、b分別表示、。3、已知a=(1,2),b=(-3,2)，當(dāng)k為可值時(shí)：（1）ka+b與a-3b垂直；（2）ka+b與a-3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？4、設(shè)e1與e2是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，試求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角。5、以原點(diǎn)O和A（4，2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B=90°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和。6、已知兩個(gè)

2、向量a和b，求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab。7、已知ABC頂點(diǎn)A（0，0），B（4，8），C（6，-4），點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3，N是AC邊上的一點(diǎn)，且AMN的面積等于ABC面積的一半，求N點(diǎn)的坐標(biāo)。8、（本小題滿分12分）若，試求的夾角的的余弦值。9、（本小題滿分12分）已知的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且，。（1）求角的大小 （2）如果，求的一邊長(zhǎng)及三角形面積。10、（本小題滿分12分）將函數(shù)進(jìn)行平移，使得到的圖形與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(如圖)求平移向量及平移后的函數(shù)解析式.11、（本小題滿分12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東

3、偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？12、（本小題滿分12分）已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)使，成公差小于零的等差數(shù)列。（1）點(diǎn)的軌跡是什么曲線？（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，記為與的夾角，求13、（本小題滿分14分）已知常數(shù)，向量，經(jīng)過原點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于點(diǎn)，其中試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由14、（本小題滿分12分）設(shè)，是兩個(gè)垂直的單位向量，且，（1）若，求的值； （2）若，求的值15、已知

4、A（1，0），B（1，0）兩點(diǎn)，C點(diǎn)在直線上，且，成等差數(shù)列，記為的夾角，求tan.16、已知向量，且若 的最小值是，求的值17、已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（5，8），C（7，4），在邊AB上有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為4，在邊AC上求一點(diǎn)Q，使線段PQ把ABC分成面積相等的兩部分18、已知|1，|，若，求 · ；若、的夾角為60°，求|。19、如圖，某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°；海輪改為北偏東60°的航向再航行80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求PC間的距離。2

5、0（本題滿分12分）如圖，一艘船從點(diǎn)A出發(fā)以2km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為2 km/h求船實(shí)際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）21（本題滿分12分）已知OFQ的面積為S，且· =1 ，若S ，求向量與 的夾角的范圍22（本題滿分12分）已知點(diǎn)H（3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C23(本題滿分12分）已知向量=3i4j，=6i3j，=（5m）i（4m）j，其中i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量（1）若A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件；（2）若A

6、BC為直角三角形，且A為直角，求實(shí)數(shù)m的值 24（本題滿分12分）已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120º（1）求證(ab)c；（2）若kabc>1(kR)，求k的取值范圍 25 （本題滿分14分）已知向量a、b、c、d，及實(shí)數(shù)x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a（x23）b，d=yaxb，如果ab，cd，且|c|（1）求x、y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）及定義域；（2）（供部分考生選做）判斷f（x）的單調(diào)性，指出單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值、最小值 26、（8分）已知ABCD的頂點(diǎn)A（0，-9），B（2，6）， C（4，5），求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)

7、 27、（14分）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為DE、BF交點(diǎn)。若=，=，試以，為基底表示、 28、（14分）已知=(1,2),當(dāng)k為何值時(shí)，（1）k+與-3垂直？（2）k+與-3平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？29、（14分）求與向量 =（1，2）， =（2，1）夾角相等的單位向量的坐標(biāo)30、（12分）ABC中，若sinB=2sinAcosC，且最小角的余弦為，（1）判斷ABC的形狀 （2）求ABC最大角31、（12分）某沿海城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)觀測(cè)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市正南方向200km的海面P處，并正以20km/h的速度向北偏西方向移動(dòng)（其中）,臺(tái)風(fēng)當(dāng)前影

8、響半徑為10km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)影響？影響時(shí)間多長(zhǎng)？32、設(shè)平面三點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2，5）（1）試求向量2的模；（2）試求向量與的夾角；（3）試求與垂直的單位向量的坐標(biāo)33、如圖，已知，且|（1）用，表示，；（2）求·34、一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小時(shí)的速度航行，一燈塔M在船北偏東15°，經(jīng)40分鐘后，燈塔在船北偏東45°求船與燈塔原來的距離35、在ABCD中，對(duì)角線AC ，BD ，周長(zhǎng)為18，求這個(gè)平行四邊形的面積36、如圖，某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°方向上，

9、從城A出發(fā)有一條出路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得距C處31千米的公路上的B處有一人正沿著公路向城A走去走20千米后到達(dá)D處測(cè)得CD 21千米，這時(shí)此人距城A多少千米37、已知平面向量（7，9），若向量、滿足2，|，求、的坐標(biāo)38、已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且345延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若，用、表示向量、39、在ABC中，a b 10，而cos C是方程2 x23 x 20的一個(gè)根，求ABC周長(zhǎng)的最小值40、在ABC中，A 120°，sin B sin C 32，SABC6，求a41、如圖，在四邊ABCD中，BC a，DC 2 a，四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的度數(shù)的比為37410

10、，求AB的長(zhǎng)42、設(shè)銳角ABC的外接圓圓心為O，邊BC的中點(diǎn)為M，自頂點(diǎn)向BC引垂線，垂足為D，并在垂線上取一點(diǎn)H，與M在AO的同一側(cè)，使得AH 2 OM，若，（1）試用、表示、；（2）據(jù)（1）的結(jié)論，證明BH AC，CH AB43、試證：從任意五個(gè)向量中總可以選出兩個(gè)，使得它們之和的長(zhǎng)不超過其余三個(gè)向量之和的長(zhǎng)參考答案1、解：A、B、C三點(diǎn)在同一直線上存在唯一的實(shí)數(shù)使得消去得到由得到，代入解得或2、解 連結(jié)AC=a,=+= b+a, =-= b+a-a= b-a, =+=+= b-a,=-=a-b。3、解 （1）k·a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。當(dāng)(ka+

11、b)·(a-3b)=0時(shí)，這兩個(gè)向量垂直，由10(k-3)+(2k+2)×（-4）=0得k=19。（2）當(dāng)ka+b與a-3b平行，存在惟一的實(shí)數(shù)，使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4)得解得此時(shí)-a+b與a-3b反向。4、解 a=2e1+e2,|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,|a|=。同理得|b|=。又a·b=（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-， cos=-,=120°.5、解 如圖8，設(shè)B(x,y),則=(x,y

12、), =(x-4,y-2)。B=90°，x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。設(shè)OA的中點(diǎn)為C，則C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1)ABO為等腰直角三角形，2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。解得、得或B(1,3)或B(3,-1)，從而=(-3,1)或=（-1,-3）6、證明 如圖9，=a, =b。 （1）充分性：若，OBCA為矩形，則|a+b|=|,|a-b|=|OBCA為矩形，|=|，即|a+b|=|a-b|（2）必要性：|a+b|=|,|a-b|=,且|a+b|=|a-b|,|=|,平行四邊形OBCA為矩形，ab，即a的方向與b的方向垂

13、直。7、解 如圖10，=。M分的比為3，=，則由題設(shè)條件得=， =，=2。由定比分點(diǎn)公式得N(4,-)。8、解：由，得即（4分）， （8分），又，所以的夾角的的余弦值為。（12分）9、（1）解：因?yàn)楹停剩虼耍?所以 又由于由得，；（2）解：由正弦定理得，所以，。10、解法一：設(shè)平移公式為代入，得到，=1=把它與聯(lián)立，得 設(shè)圖形的交點(diǎn)為A（），B，由已知它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有：由方程組消去y得：. 由 又將A（），B分別代入兩式并相加，得：. 解得. 平移公式為：代入得：.解法二：由題意和平移后的圖形與交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知該圖形上所有點(diǎn)都可以找到關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在另一圖形上，因此只要找到特

14、征點(diǎn)即可.的頂點(diǎn)為，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（），即是新圖形的頂點(diǎn).由于新圖形由平移得到，所以平移向量為以下同解法一. 11、解法一：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.在時(shí)刻臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)為此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是其中若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有即答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.=2=解法二：設(shè)在時(shí)刻臺(tái)風(fēng)中心為，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為。若在時(shí)刻城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則，由余弦定理知，因?yàn)椋怨剩虼耍矗獾茫穑?2小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.12、（1）解：記，由，得，于是，成公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)

15、為，而=3=13、解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值. i=(1,0),c=(0,a), 因此，直線OP和AP的方程分別為 y=ax和ya=2ax . 消去參數(shù)，得點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程y (ya)=2a2x2 , 整理得 因?yàn)閍>0，所以得： （i）當(dāng)a=時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （ii）當(dāng)0<a<時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E和 為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； （iii）當(dāng)a>時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E和F）為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).14、（1） =m 即解得：m=-2， 6分（2）， &

16、#183;=0，即 -2+=0 1215、解：設(shè)又三者，成等差數(shù)列.6分當(dāng) ，10分 同理12分16解：a · b2分| ab |4分 cos x0，因此| ab |2 cos x f (x)a · b2ab即6分 0cos x1若0，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x0時(shí)，f (x)取得最小值1，這與已知矛盾； 8分若01，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)，f (x)取得最小值，由已知得，解得： 10分若1，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x1時(shí)，f (x)取得最小值，由已知得，解得：，這與相矛盾綜上所述，為所求 12分17設(shè) 4分 又8分，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（xQ，yQ），則，得18、解：（1） 與的夾角為0或

17、 2分 當(dāng)與的夾角為0時(shí)， · | ·| cos1××cos0 5分當(dāng)與的夾角為時(shí)， · | ·| cos1××cos 8分10分（2）|2()22·|22|·|cos|2 122×1××cos60°()23 14分 | 15分19、解：40分鐘小時(shí)小時(shí) 80分鐘小時(shí)小時(shí) 2分 AB30×20海里 BC30×40海里 4分 APB60°30°30° BAP180°60°120°

18、 5分 在APB中，由正弦定理得 7分 BP（海里）10分CBP180°60°30°90° BPC為直角三角形14分 PC2BC2BP24022800 PC（海里） 答：PC間的距離為海里。 15分20答：船實(shí)際航行速度的大小為4 km/h, 方向與流速間的夾角為60º. 21.由 · =1 ，得 ，S=又由 < S < 得 1< tan < ,故 .22設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則由，得P（0，Q（，0），由得，（3，·（x，）=0，y2=4x.由點(diǎn)Q在x軸正半軸上，得x>0.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

19、C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn).23. （1）=（3，1） ，=（2m，m），與不平行則m1 . （2）· =0 m=24（1） 只需證（ab）·c=0 （2） 將不等式兩邊平方得 k>2 或 k<0 25. 提示：（1） 由 |c| ，及a·b = 0得 x 又由cd 得 y =x33x（2）單調(diào)增區(qū)間為，1、1，單調(diào)減區(qū)間為1，1最大值為f（）=3,最小值為f（）=3 .26、（8分）已知ABCD的頂點(diǎn)A（0，-9），B（2，6）， C（4，5），求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo) 解法一：設(shè)D坐標(biāo)為（x,y），對(duì)角線AC與BD的交

20、點(diǎn)為O點(diǎn)O為A、C中點(diǎn)，易得O（），即O(2,-2) 又點(diǎn)O為B、D中點(diǎn)，則，解得，故D坐標(biāo)為(2,10)解法二：設(shè)D坐標(biāo)為（x,y），依題意得，而， 則，解得解得，故D坐標(biāo)為(2,10)AGEFBCD27、（14分）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為DE、CF交點(diǎn)。若=，=，試以，為基底表示、 解：28.（14分）已知=(1,2),當(dāng)k為何值時(shí)，（1）k+與-3垂直？（2）k+與-3平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解：k+=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)-3=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)(1)若k+與-3垂直，則（k+）（-3）0即

21、10(k-3)+(-4)(2k+2)=0，解得k=19(2)解法一：若k+與-3平行，則(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=此時(shí)k+=(-,), -3=(10,-4)，故它們反向。解法二：若k+與-3平行，設(shè)k+=(-3)=-3，解得，它們反向29、（14分）求與向量 =（1，2）， =（2，1）夾角相等的單位向量的坐標(biāo)解：設(shè)，與的夾角為，與的夾角為，依題意得 ，解得x=y，代入x2+y2=1，解得30、（12分）ABC中，若sinB=2sinAcosC，且最小角的余弦為， （1）判斷ABC的形狀 （2）求ABC最大角解：（1）由正弦定理和余弦定理可知，（其中R為外接圓半徑）化簡(jiǎn)

22、可得 即，故ABC為等腰三角形，其中AC(2)當(dāng)最小角為B時(shí)，AC為最大角，此時(shí)且，又A為銳角，故，當(dāng)最小角為A時(shí)，B為最大角，此時(shí)且，可見B為鈍角，31、（12分）某沿海城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)觀測(cè)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市正南方向200km的海面P處，并正以20km/h的速度向北偏西方向移動(dòng)（其中）,臺(tái)風(fēng)當(dāng)前影響半徑為10km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)影響？影響時(shí)間多長(zhǎng)？解：如右圖，設(shè)該市為A，經(jīng)過t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)開始影響該城市，則t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)經(jīng)過的路程PC（20t）km，臺(tái)風(fēng)半徑為CD（10+10t）km，需滿足條件：CDAC根據(jù)余弦定理可知， 整理得即 解得7小

23、時(shí)后臺(tái)風(fēng)開始影響該市，持續(xù)時(shí)間達(dá)12小時(shí)。32、【提示】、的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)與始點(diǎn)坐標(biāo)的差，求出、的坐標(biāo)后，可得2的坐標(biāo)，（1）可解，對(duì)于（2），可先求、的值，代入 cos q ，即可；對(duì)于（3），設(shè)所求向量的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意，可得關(guān)于x、y的二元方程組，解出x，y【答案】（1） （01，10）（1，1），（21，50）（1，5） 22（1，1）（1，5）（1，7） |2|（2） |，·（1）×11×54 cos q （3）設(shè)所求向量為（x，y），則x2y21 又 （20，51）（2，4），由，得2 x 4 y 0 由、，得或 （，）或（，）即為所求【點(diǎn)評(píng)

24、】本題考查向量的模，向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件以及運(yùn)算能力33、【提示】由，可判定四邊形ABCD為平行四邊形，于是利用平行四邊形的性質(zhì)可求，又，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及已知條件|可求·【答案】（1） ， 四邊形ABCD為平行四邊形 ，而 ， ，（2） ， ·（）（）22|2|20【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的加減法，基本定理、數(shù)量積及運(yùn)算律解題時(shí)注意結(jié)合平面圖形的幾何特征，尋求向量之間的聯(lián)系由題目的條件及結(jié)論可知，四邊形ABCD為菱形34、【提示】先畫船航行的示意圖，將題目的已知條件分別與三角形內(nèi)的邊、角對(duì)應(yīng)起來，從而確定三角形內(nèi)的邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理或余

25、弦定理解決【答案】如圖，設(shè)船原來的位置為A，40分鐘后的位置為B，則AB 36×24（海里）在ABM中，BAM 30°15°45°ABM 180°（45°30°）105°， AMB 180°（ABM BAM）30°由正弦定理，得AM · sin ABM· sin 105°12（）（海里）答：船與燈塔原來的距離為12（）海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查解斜三角形的應(yīng)用問題關(guān)鍵是畫出示意圖（這里必須弄清方位角的概念），建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題35、【提示一】要

26、求得平行四邊形的面積，須知兩條鄰邊及它的夾角由周長(zhǎng)為18，知兩條鄰邊的和為9，可據(jù)兩條已知的對(duì)角線，利用余弦定理求得兩條鄰邊及夾角【提示二】在AOB和BOC中利用余弦定理求解【解法一】如圖，在ABCD中，設(shè)AB x，則BC 9x，在ABC中，據(jù)余弦定理，得AC2AB2BC22 AB BC cos ABC在ABD中，據(jù)余弦定理，得BD2AB2AD22 AB · AD cos DAB由已知 AC ，BD ，DAB ABC 180°，BC AD故角 65x 2 (9x) 2 2 AB BC cos ABC，17x 2 （9x 2）2 AB BC cos ABC，二式相加，得824

27、 x236 x 162即 x29 x 200解得 x 4，或x 5，在ADB中，由余弦定理，得cos DAB sin DAB sin ABCD AB · AD sin DAB4×5×16【解法二】在AOB和BOC中，由余弦定理，得AB2OA2OB22 OA · OB cos AOB，BC2OC2OB22 OC · OB cos BOC，可設(shè) AB x，則BC 9x，而OA OC AC，OB BD，AOB BOC 180°，代入后化簡(jiǎn)，可求得x 4或x 5在ADB中，由余弦定理，得cos DAB sin DAB sin ABCD AB

28、· AD sin DAB4×5×16【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的靈活運(yùn)用36、【提示】要求AD的長(zhǎng)，在ACD中，應(yīng)用正弦定理，只需求ACD，而CDB是ACD的一個(gè)外角，CAD已知，故只需求CDB，在CDB中，已知兩邊，可利用余弦定理求角【答案】由已知，在CDB中，CD 21，DB 20，BC 31，據(jù)余弦定理，有cos CDB sin CDB 在ACD中，CAD 20°40°60°， ACD CDB CAD CDB 60° sin ACD sin（CDB 60°）sin CDB cos 60°cos CDB

29、 sin 60°×（）×由正弦定理，得AD · sin ACD 15（千米）答：此人距A城15千米【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)，主要考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用解此類應(yīng)用問題的關(guān)鍵是正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題，再根據(jù)正弦、余弦定理予以解決37、【提示】設(shè)（x1，x2），（y1，y2），由已知，可以得到含有x1，x2，y1，y2的四個(gè)關(guān)系式，建立方程組，解之即可【答案】設(shè)（x1，x2），（y1，y2）由2，得2（x1，x2）（y1，y2）（7，9），即由，得x1y1x2y20 由 |，得 x12x22y12y220 將（1

30、）式化為 y172 x1，（2）式化為 y292 x2，代入式，得 x1（72 x1）x2（92 x2）0，即 2（x12x22）7 x19 x2， 代入式，得 x12x22(72 x1) 2 (92 x2) 2，即 3（x12x22）28 x136 x2130 由、，得解之得，或分別代入（1）、（2），得或 （，），（，）或 （1，5），（5，1）即為所求【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，兩點(diǎn)間距離公式及運(yùn)算能力38、【提示】注意到，由已知345，可以得到關(guān)于、的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可對(duì)于，可利用與共線予以解決【答案】 ，又 345， 34（）5（），化簡(jiǎn)，得設(shè)t（tR），則t

31、t 又設(shè) k（kR），由 ，得k（）而 ， k（）（1k）k 由、，得解得 t 代入，有【點(diǎn)評(píng)】本題是以、為一組基底，尋求、關(guān)于、的線性分解式，主要考查了向量的加法實(shí)數(shù)與向量的積及運(yùn)算律，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量基本定理，求時(shí)，利用了以、為基底的的分解式是唯一確定的，這是求線性分解式常用的方法39、【提示】三角形周長(zhǎng)為a b c，而a b 10已知，故求ABC周長(zhǎng)的最小值就是求C的最小值，由方程的根可解得cos C的值，借助余弦定理得c與a（或b）的關(guān)系，再確定C的最小值【答案】解方程2 x23 x 20，得x 2或x |cos C|1， cos C 由余弦定理，得c2a2b22 ab

32、 cos Ca2b2ab(a b) 2ab，而 a b 10， c2100a（10a）a210 a 100(a 5)275 當(dāng)a 5時(shí)，c有最小值5 ABC的周長(zhǎng)為 105【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查余弦定理，二次函數(shù)的極值等內(nèi)容通過分析題目已知條件，將求三角形周長(zhǎng)最小值問題轉(zhuǎn)化為求c邊的最小值問題借助已知條件和余弦定理，建立了關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)最值的結(jié)論確定出c的最小值，使向量得解在解決問題的過程也考查分析問題解決問題的能力40、【提示】在ABC中，要求a的值，已知A，應(yīng)用余弦定理，只需求得b，c的長(zhǎng)由sin Bsin C 32，應(yīng)用正弦定理，可將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為b、c邊的關(guān)系，再利用

33、面積公式，得b、c的另一個(gè)關(guān)系式，解關(guān)于b、c的二元方程組，即可【答案】在ABC中，由正弦定理，得 又SABCbc sin A bc sin 120°6，于是，bc 24 由、，可得b 6，c 4（負(fù)值舍去）據(jù)余弦定理，得a2b2c22 bc cos A36162×6×4×cos 120°76， a 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查應(yīng)用正弦定理、余弦定理解斜三角形的有關(guān)知識(shí)在解三角形時(shí)，常常要將正弦定理，余弦定理交替使用，盡管有時(shí)不是直接求出結(jié)果，但為了過渡，也是很有必要的41、【提示】由于AB在ABD中，尋求使ABD有解的條件是關(guān)鍵，據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°及四個(gè)內(nèi)角之比，可求得四個(gè)內(nèi)角此時(shí)BDC便是已知兩邊BC、DC及夾角C于是這個(gè)三角形可解借