1、精心整理用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)定義：方程f(x) =x的根稱(chēng)為函數(shù)f(X)的不動(dòng)點(diǎn)利用遞推數(shù)列f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系an = f(anG所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)法定理1:若f(x) =ax b(a = 0,a =1), p是f (x)的不動(dòng)點(diǎn)，an滿(mǎn)足遞推關(guān)系an二f (anJ),(n1)，則 a* - p二a(an j - p)，即a* - p是公比為a的等比數(shù)列.證明：因?yàn)閜是f (x)的不動(dòng)點(diǎn)-b - p - -ap 由 a* =a a*b得a* - p = a anb - p = a(an-p)J" i ' U f所以

2、an - p是公比為a的等比數(shù)列.定理2 :設(shè)f(x)二竺空(c = 0,ad-bc = 0)，a*滿(mǎn)足遞推關(guān) 系a*二f(a*),n 1，初 值條件ex +dai = f (ai )(1):若f(x)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q，則弘一卩十a(chǎn)nP (這里k = apc)an _ q a*_ qa _qc(2):若f(x)只有唯一不動(dòng)點(diǎn) p，貝U1一=一1 + k (這里k=亠乞) anP a*4 pa + d證明：由 f (x) = x得 f (x) = ax = x，所以 ex2 +(d - a)x b = 0 ex + dpd b 2p (1)因?yàn)閜,q是不動(dòng)點(diǎn)，所以巴+(d a)pb =

3、0n彳a pc，所以-eq +(d-a)q-b = 0 口 _ qd -bI a - qcaan4 b p an - p _ can J d a* -qaa*4 bnqcan4 d(a _ pc)anj b _ pd(a_qc)anj b _qda 一 Pd _bnVa - pca pc a - pc a*一 p.=a-qcqd-b aqc an-qan一 _a _qca _qc，則an -pan -qa*4 - Pa*- q(2)因?yàn)?p 是方程 cx2 ' (d -a)x -b = 0 的唯一解，所以 cp2 (d -a) p -b = 0精心整理精心整理所以 b _ pd 二 c

4、p 2 2 2un 1 -為aunbunc x/eqf)aun(bexjunc %faun(b e)un(ea)%b% _ 2_ 2 22山1 -X2aunbunc x2(eUnf)aun(b-ex2)unc-x2faun(b-ex2)un(e-a)x2-bx2于是，1 X-i-匚豐0二方程組有唯一解b = 0,e = 2a - ap ,aan i bacaT-p(a cp)an 二 b pd2(a-cp)an cp -ap (a-cp)(an_1can jd所以canJ dan - Pa _cp1 c(anj - p) d cp c a _ cpn Jan一 pd cpan d. P an_

5、112c+I - p a d令k =a +d+ kan - Pan 丄P例1:設(shè)an滿(mǎn)足a1 =10 1an 2,nN*，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式例2：數(shù)列an滿(mǎn)足下列關(guān)系：2印=2a, an卑=2a -電,a式0，求數(shù)列 ®的通項(xiàng)公式anan定理3：設(shè)函數(shù)f(x)3exb；c(a = 0, e = 0)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)X1,X2,且由Un .1f (Un)確定著數(shù)列Un,那么當(dāng)且僅當(dāng)b =0,e = 2a時(shí)，兒1花=(Un花)2 Un* - X2Un - X2證明：幕xk是f (x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).Xk = axk2 +bxk +c exk f一 Xk2= (ea)Xk -bXk(k=

6、1,2)例3：已知數(shù)列 an中，3 =2,an 1二an2 22 an,n N*,求數(shù)列an的通項(xiàng).其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項(xiàng)的幾種情形，還可以解決如下問(wèn)題例4：已知 a10,a1 1 且 an 1an4 6an2124an (an1),求數(shù)列an的通項(xiàng).x1 x2 + 6x2 +1f(x) =X得f (X)的不動(dòng)點(diǎn)為解：作函數(shù)為f (x)淪普 1 ,解方程4x(x2 +1)精心整理精心整理、3.3Xi = -1,X2 =1,X3i,X4 i .取 p=1,q = -1，作如下代換：334n 丄4n_1_逐次迭代后，得：an =佝ni g ni佝 +1) 一- (ai -1)-

7、已知曲線(xiàn)Cn :x2 一2 nx y2 =0( n =1,2J|) 從點(diǎn)P(一 1,0)向曲線(xiàn)Cn引斜率為人(人-0)的切線(xiàn)In，切 點(diǎn)為 Pn(Xn，yn) (1)求數(shù)列人與的通項(xiàng)公式;(2)證明：x1 x3 X5 川 x2njL v F Xn <a/2sin蘭Y 1 + Xnyn設(shè)p, q為實(shí)數(shù)，：，：是方程X2 - px q =0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列Xn滿(mǎn)足x p , X2二p2 - q ,Xn = pXn-qXn/ ( n = 3,4,).(1)證明：g+P = p，=q ； ( 2)求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式；(3)1若p =1 , q =-，求Xn的前n項(xiàng)和Sn .4已知函數(shù)f (x) =x2 +x -1 , a, P是方程f (x) = 0的兩個(gè)根(u > P ), f "(x)是f (x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)ai =1 , an 卅=an _ jn (n= 1,2,11).，-f (an)(1) 求 :, 1 的值；(2) 證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an ：；(3) 記bn in an, n=1,2,|()，求數(shù)列 匕？的前n項(xiàng)和Snan "13陜西文21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列：an滿(mǎn)足，a1=1a 2, an+ 2=色 空，nN .2i 令bn=an1-an，證明:bn是等比數(shù)列；(II)求0的通項(xiàng)公式。山東文20.(本小題滿(mǎn)