1、第十講 棋盤中的數(shù)學(xué)（一）什么是棋盤中的數(shù)學(xué)所謂棋盤，常見的有中國象棋棋盤（下圖（1），圍棋盤（下圖（2），還有國際象棋棋盤（下圖（3）以這些棋盤為背景而提出的問題統(tǒng)稱為棋盤問題這里面與數(shù)學(xué)推理、計算相關(guān)的棋盤問題，就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問題解決棋盤中的數(shù)學(xué)問題所使用的數(shù)學(xué)知識，統(tǒng)稱棋盤中的數(shù)學(xué)作為開篇我們先解幾道競賽中的棋盤問題例1 這是一個中國象棋盤，（下圖中小方格都是相等的正方形，“界河”的寬等于小正方形邊長）黑方有一個“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個，紅方有兩個“相”，它們只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的兩個位置問：這三個棋子（一個黑“象”和

2、兩個紅“相”）各在什么位置時，以這三個棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？解：我們設(shè)每個小方格的邊長為1單位則小方格正方形面積為1平方單位由于三個頂點(diǎn)都在長方形邊上的三角形面積至多為這個長方形面積的一半所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個頂點(diǎn)所在邊的外接長方形面積的大小就可見端倪直觀可見，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積就可以了頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于：所以頂點(diǎn)在（2，10，12）或（3，10，12）時三角形面積最大答：黑“象”在2或3的位置，兩個紅“相”分別在 10，12的位置

3、時，以這三個棋子為頂點(diǎn)的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示說明：本題是以棋盤格點(diǎn)為基礎(chǔ)組成圖形計算面積其實，這類問題所在多有，我們把mn的方格陣稱為廣義棋盤，則可以設(shè)計出許多這類的問題例2 下圖是一個圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿問：這堆棋子原有多少枚？解：第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴(kuò)大后“貼邊”的部分（如下圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之和恰是兩個相鄰自然數(shù)之

4、和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子這堆棋子總數(shù)是10212112枚答：這堆棋子原有112枚說明：本題也可以列方程求解設(shè)原正方陣每邊m枚棋子，由題意得：（m1）29m212即2m121，解得 m10所以棋子總數(shù)為10212112枚本題與圍棋盤并無本質(zhì)聯(lián)系，問題可改述為“一堆棋子若擺成一個實心方陣，剩余12粒棋子，若改擺每邊各加一枚的方陣，則差9枚棋子，問這堆棋子原有多少枚？”應(yīng)用圍棋盤顯得更加直觀、具體例3 如下左圖是一個國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入請問，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過每個格子最后返

5、回到A處？若能，請你設(shè)計一種路線，若不能，請你說明理由解：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計一條，如右圖所示例4 在88的方格棋盤中，如下圖所示，填上了一些數(shù)字1，2，3，4試將這個棋盤分成大小和形狀都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個數(shù)字分析 注意這個正方形的面積是8864個平方單位，因此切分后的每一塊的面積為16個平方單位，即由16個小方格組成解：將兩個并列在一起的“4”分開，先畫出這段劃分線，并將它分別繞中心旋轉(zhuǎn)90，180和270，得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示仿照上述方法，畫出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示從最里層開始，沿著畫出的劃分線作設(shè)想分塊，如上圖（3），這個

6、分塊中要含1，2，3，4各一個，且恰為16塊小方格將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁圖（4）所示例5 國際象棋的棋盤有64個方格，有一種威力很大的棋子叫“皇后”，當(dāng)它放在某格上時，它能吃掉此格所在的斜線和直線上對方的棋子，如下左圖上虛線所示如果有五個“皇后”放在棋盤上，就能把整個棋盤都“管”住，不論對方棋子放在哪一格，都會被吃掉請你想一想，這五個“皇后”應(yīng)該放在哪幾格上才能控制整個棋盤？解：本題是構(gòu)造性的題目用五個子管住六十四格，如上右圖所示就是一種放置皇后的方案例6 如下圖是半張棋盤，請你用兩個車、兩個馬、兩個炮、一個相和一

7、個兵這八個子放在這半個棋盤上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個點(diǎn)的控制之下（要符合象棋規(guī)則，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置馬走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）解：這仍是一個占位問題，只需要把指出的幾個子排布成所要求的陣勢即可，如下圖所示本節(jié)我們初步看到了一些棋盤問題，它們的特點(diǎn)是：以棋盤為背景提出各種問題，無論圍棋盤、中國象棋盤或是國際象棋盤更為一般的提法是mn方格上的數(shù)學(xué)問題這些問題有面積計算，圖形分割，棋子計數(shù)，棋子布局等各種類型，這些問題一般屬于智巧類的問題或更深一步的組合數(shù)學(xué)問題習(xí)題十1在44的棋盤中每一格分別填入字母A、B、C、D要求每行、每列、兩條斜線的四個格都恰有A、B、C、D各一個2把A、B、C、D四個棋子放在44的棋盤的方格里，使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子問共有多少種不同的放法？3下頁第一圖是1616棋盤，每個小正方格面積都是1，求圖中這只狗所占的圖形的面積4中國象棋規(guī)定馬走“日”字定義：在中國象棋盤上從點(diǎn)A到B馬走的最少步數(shù)稱為A與B的馬步距離，記作ABm如下圖在33的棋盤