1、黑體普朗克公式推導1. 空腔內的光波模式數在一個由邊界限制的空間V 內,只能存在一系列獨立的具有特定波矢k 的平面單色駐波。這種駐波稱為電磁波的模式或光波模式,以k 為標志。設空腔為立方體,如下圖 x圖1 立方體空腔沿三個坐標軸方向傳播的波分別應滿足的駐波條件是=222q z n y m x (1式中m 、n 、q 為正整數。 將xx k 2=代入(1式中,有xm k x =則在x 方向上,相鄰兩個光波矢量的間隔為: xx m x m k x =-=1( 同理,相鄰兩光波矢在三個方向的間隔為:=z k y k x k zy x (2因此每個波矢在波矢空間所占的體積元為 Vzy x k k k

2、z y x 33= (3xk y圖2 波矢空間在波矢空間中,處于k 和k d 之間的波矢k 對應的點都在以原點為圓心、k 為半徑、k d 為厚度的薄球殼內,這個球殼的體積為(k k k k k d 4d 3434233=- (4 式中k =k 、k d d =k 。根據(1式的駐波條件,k 的三個分量只能取正值,因此k d 和k d 之間的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空間所占的體積只是上述球殼的第一卦限,所以2d 8d 422kk k k V k = (5 由(3式已知每個光波矢的體積元,則在該體積內的光波模式數為V kk V V M k 223d /2= (6式中乘以2是因為每個光波矢

3、量k 都有兩個可能的偏振方向,因此光波模式數是光波矢量數的2倍。由于2=k ,d 2d 2=k ,上式可以用波長形式表示,即在體積為V 的空腔內,波長d +間隔的光波模式數為:d 84VM = (72. 黑體輻射公式黑體輻射是黑體溫度T 和輻射場波長的函數?？捎脝紊芰棵芏葋砻枋?其定義為:在單位體積內,波長附近的單位波長間隔中的電磁輻射能量,量綱為J m -4。根據量子化假設和玻色-愛因斯坦統計規律,在溫度T 的熱平衡情況下,黑體輻射分配到腔內每個模式上的平均能量為1/-=TK hc echE (8因此單色能量密度為118d /5-=T K hc e hc E V M (9 即如在空腔上有一

4、單位面積的開口,則在單位時間,半球空間輻射到此單位面積的能量為4c附錄1。 按照(9式,從黑體腔上的開口向半球空間輻射出的單色能量為1124/52-=T K hc e hc c P (10這就是溫度T 的黑體的光譜輻出度公式。 附錄1對于作用在如圖1的空腔表面的駐波,設垂直于面積A ,且立體角為d 的方向上,光通量(單位時間通過的波的能量為I 和-I ,如圖3。 A圖3設光速為c ,光運動單位距離的時間為1/c ,則在立體角內的光能密度(單位體積的光能量P 為cAIP 2= (1 在諧振腔內,光輻射強度是各向同性的,因此對與面積A 法線夾角為的入射光,光通量仍為I ,而該方向的通量為cos cos I AA II = (2 因此在整個2半球空間,一個小面積上通過的光通量如圖4 圖4 作用在一個小面積上的所有方向的光輻射則在面積A 上的總光通量為I I M =202/0d d sin cos將(1代入有P cAI M 2= (3 因為腔內各方向的輻射是均勻分布的,所以任意方向立體角d 的能量密度P 與