1、第十一章 正交設(shè)計與均勻設(shè)計在方差分析一章中，我們介紹了在單因素和雙因素的各水平中“選優(yōu)”的方法，但在科研、生產(chǎn)、管理中，經(jīng)常遇到的因素更多，如何在多因素多水平中選擇最佳水平組合？正交設(shè)計和均勻設(shè)計就是解決這個問題的有力工具。§11.1 正交試驗設(shè)計設(shè)想一個因素每因素水平的求最優(yōu)水平組合問題，總共有33 27個水平組合(處理)，如果每個處理只重復(fù)次，則需要進行54次試驗，正交設(shè)計可以用較少的試驗次數(shù)（小區(qū)數(shù)）找到最優(yōu)水平組合。正交設(shè)計是利用正交表安排試驗的一種設(shè)計方法，正交表用k符號Ln(m)表示，其中k是這張表最多可以容納的因素個數(shù)，m 是每個因子的水平數(shù)，n是試驗次數(shù)。例如在正交

2、表L9(3)中，可以安排個因素，每4個因素有個水平的試驗。列號1、2、3、4是因素的代號，列號下面的1、2、3是該因素的水平代號(如右表)。當(dāng)然，無論是因素代號還是水平代號，與實際因素和水平都應(yīng)隨機對應(yīng)，正交表可以在附表14中查到。- 372 -正交表有兩個性質(zhì)：每列中每個水平出現(xiàn)的次數(shù)相等，例如上表第2列中1、2、3各出現(xiàn)3次；任意兩列同一行的有序數(shù)對出現(xiàn)次數(shù)相等，例如上表第1、2列中（1，1）只出現(xiàn)一次，其它有序數(shù)對也只出現(xiàn)一次，在表L18(37)第1、2列中（1，1）出現(xiàn)兩次，其它有序數(shù)對也只出現(xiàn)兩次。這兩個性質(zhì)稱為均勻分散性和整齊可比性，均勻分散性使選出的水平組合代表性強，整齊可比性則

3、便于試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析。一. 不考慮交互作用的正交設(shè)計及分析例1 某廠用車床對車軸進行粗加工，為提高工效，對轉(zhuǎn)速、走刀量和吃刀深度進行正交試驗，各因素及其水平如下表：試驗指標(biāo)為工時，越短越好。第一步：選擇合適的正交表。本例每因素是三水平，在正交表中查m3里的表，又因為本例是三因素，且不考慮交互作用，故選用正交表L9(34)。第二步：表頭設(shè)計。將1、2、3、4列用抓鬮的辦法對應(yīng)三個因素A、B、C，假定第一列是A因素，第二列是B因素，第三列是C因素，第四列空置。然后將每一列中的1、2、3再用抓鬮的辦法對應(yīng)三個水平，假定就是上表中的1、2、3，即第一列中的三個1都表示480轉(zhuǎn)/分，三個2都表示600

4、轉(zhuǎn)/分，三個3都表示765轉(zhuǎn)/分；第二列中的三個1都表示0.33mm/轉(zhuǎn)，。- 373 -第三步：按表中試驗號(橫著看)所指示的水平組合進行試驗，試驗號1所指示的水平組合是1，1，1，即用轉(zhuǎn)速480，走刀量0.33，吃刀深度2.5進行試驗，試驗結(jié)果是88秒，如此共進行9次試驗，假定試驗結(jié)果依次是88秒，145秒，194秒，70秒，117秒，155秒，57秒，93秒，123秒。整個試驗設(shè)計及結(jié)果如下表所示。按設(shè)計共進行次試驗，“工時”填在最后一攔。表中的T1是號水平的工時之和，例如轉(zhuǎn)速的T188+145+194427，1= 427/3142.3，極差D1=142.39151.3，其余類推。結(jié)果分

5、析：直觀分析法。由于D2>D1>D3，說明“走刀量”各水平引起的工時變化最大，“吃刀深度”最小，因此影響工時的最強烈的因素是“走刀量”，其次是“轉(zhuǎn)速”，最后是“吃刀深度”，當(dāng)然，這是相對而言的結(jié)論。另一方面，轉(zhuǎn)速的T3最小，- 374 -說明785的轉(zhuǎn)速所用工時在三個轉(zhuǎn)速里最??；走刀量的T1最小，說明0.33的走刀量所用工時在三個走刀量里最?。怀缘渡疃鹊腡1最小，說明2.5的吃刀深度所用工時在三個吃刀深度里最小，綜合起來最優(yōu)水平組合應(yīng)當(dāng)是785轉(zhuǎn)速，0.33走刀量，2.5吃刀深度是最佳水平組合。注意，這個組合在表中個試驗組合中并未出現(xiàn)。上述分析還可用一個折線圖直觀的表示出來。 方差

6、分析法H0:轉(zhuǎn)速之間無顯著差異；走刀量之間無顯著差異；吃刀深度之間無顯著差異。C=T2n=104292i2 =120640.44SS總=xi-c=15405.561222SS速=427+342+273）-c=3966.893SS走刀量1222=215+355+472）-c=11037.563- 375 -SS吃刀深度1222=336+338+368）-c=214.223SS誤差=SS總-SS轉(zhuǎn)速-SS走刀量-SS吃刀深度186.89f總=9-1=8，f轉(zhuǎn)速f走刀量f吃刀深度3-12f誤差=8-2-2-22F轉(zhuǎn)速3966.89/2186.89/2F走刀量11037.56/2186.89/2=59

7、.06=21.23,F吃刀深度214.22/2186.89/2=1.15,F0.05(2,2)=19.00在0.05水平上，三個轉(zhuǎn)速之間有顯著差異，三個走刀量之間也有顯著差異，三個吃刀深度之間無顯著差異。用新復(fù)極差法(SSR法)作多重比較(對轉(zhuǎn)速和走刀量)，用標(biāo)記字母法表示比較結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)誤S=5.58走刀量：結(jié)論 ：三個轉(zhuǎn)速之間有極顯著差異，三個走刀量之間有極顯著差異，三個吃刀深度之間無顯著差異，在最佳水平組合是785- 376 -轉(zhuǎn)速，0.33走刀量，吃刀深度可以是三個中的任一個。在計算過程中F走刀量>F速度>F吃刀深度，所以影響工時的因素次序是走刀量、轉(zhuǎn)速、吃刀深度。如果我們將

8、表中空列計算其離差平方和，得1222SS空328+357+357）-C=186.893它恰好等于剩余平方和SS誤差，這不是巧合，而是正交設(shè)計的一個性質(zhì)。二. 存在交互作用的正交設(shè)計正交設(shè)計是解決多因子試驗的一種方案，多因子試驗的特點就是可能存在交互作用。在存在交互作用的情況時，首先要把所有交互作用通過專業(yè)知識和經(jīng)驗篩選一遍，只保留可能有的交互作用。例如A、B、C三因子試驗，所有交互作用有A×B、A×C、B×C及A×B×C，一般高級交互作用A×B×C都不考慮，通過專業(yè)知識和經(jīng)驗假定只保留A×B，這時把主因子A、B、C

9、 和交互作用A×B共四個因子一起考慮來設(shè)計表頭，設(shè)計表頭時交互作用排在那一列必須根據(jù)正交表中的提示。例2 研究某種經(jīng)濟林在品種、密度、施肥量及施肥日期個因素對年產(chǎn)量的影響，每一因素取兩水平如下表所示。根據(jù)經(jīng)驗已知交互作用A×B、A×C 應(yīng)考慮，其它交互作用可不考慮。個主因子及兩個交互作用共占列，故正交表至- 377 -少要有列，查正交表知L8(27)滿足需要。先把A、B 安排在1、2 列上，由L8(27)的交互作用表知1、2列的交互作用在第列，所以把A×B 排在第列，將C 排在第列，查1、4列的交互作用在第列，所以把A×C排在第列，D可排在第或

10、第列上，我們把它排在第列上。具此就可以實際操作了，試驗指標(biāo)為年產(chǎn)量(kg / 年)，結(jié)果如下表所示。從極差大小看，影響產(chǎn)量的因素主次順序是A×C ，A，D，A×B ，C，B。在分析最佳水平組合時，由于A×C 是第一要素，所以要列出A與C的兩向表（見下表），在A與C的兩向表中，最高產(chǎn)量是A1與C2產(chǎn)生的，所以最佳水平組合中有A1與C2；在A與B兩向表中，最高產(chǎn)量是A1與B2產(chǎn)生的，所以最佳水平組合中應(yīng)有B2；D因素的T2大，取C2，綜合之，最佳水平組合是A1B2C2D2。事實上由于空列的極差反映剩余因素的變異，而表中B，A×B，C，D的極差都小于空列極差，

11、所以可以肯定它們都是不顯著的，因為較小的密度和施肥量成本較低，所以在最佳水平組合中可取B1和C1而施肥日期D的水平取舍可按其它標(biāo)準(zhǔn)決定。- 378 -進一步可作方差分析，結(jié)果如下表所示?？偤?4789.8757其中的SSAC=14(3220+3553)-22677382=13861.2等等。三. 水平數(shù)不等的試驗當(dāng)遇到各因素水平數(shù)不等的情況時，可選用水平數(shù)不等的正交表，例如L8(4124)，這個表可以安排一個因素水平，四個因素水平的試驗。如沒有現(xiàn)成的表可用，則可采用“擬水平”法，所謂擬水平，是指將較少水平的因素增加一個水平，增加的水平是原有水平中的某一個，以達到所有因素水平數(shù)相等的目的。- 3

12、79 -§11.2 均勻試驗設(shè)計在正交表中，試驗次數(shù)n是水平數(shù)m的平方的整數(shù)倍，當(dāng)m增加時，n將急劇增加，試驗次數(shù)的增加，不但提高了試驗成本，有時還使得試驗無法進行。對于m很大的試驗，均勻設(shè)計是一種很好的試驗設(shè)計方案。同正交設(shè)計一樣，均勻設(shè)計用“均勻設(shè)計表”安排試驗。均勻設(shè)計表用Un(nk)和Un*(nk)表示，其中的 n 既是水平數(shù)又是試驗次數(shù)，k是最多可容納的因素數(shù)，帶“”和不帶“”表示不同類型的均勻表，帶“”的表有更好的均勻性，應(yīng)優(yōu)先選用。每一個均勻設(shè)計表由設(shè)計表和使用表組成，例如U7(7)和U7(7)的設(shè)計表，使用表如下：4*4在設(shè)計表中，第1列的17表示試驗序號，第2行的1

13、，2，3，4- 380 -表示因素代號，表內(nèi)的17是水平代號。在使用表中，D是均勻偏差度，應(yīng)選擇較小的偏差度。k下面的2，3，4是實際的參試因素，如果有4個參試因素，只能用U7(74)表，把 4 個因素安排在4列，第1次試驗按表中的（1，2，3，6）水平組合進行，第2次試驗按表中的（2，4，6，5）進行，。如果有3個參試因素，則應(yīng)選擇U7*(74)，因為它的D = 0.2132 較小，把3個參試因素安排在U7*(74)中的2，3，4列，第1次試驗按（3，5，7）水平組合進行，第2次試驗按（6，2，6）水平組合進行，。例在啤酒生產(chǎn)的某項試驗中，選擇了如下的因素和水平。解：選用U9(93)來安排（

14、在附表16中），由它的使用表應(yīng)選1，3 兩列，試驗結(jié)果Y是吸氨量（克）列于下表均勻設(shè)計由于每個因素的水平都沒有重復(fù)，所以不能用正交- 381 -設(shè)計中的極差分析和方差分析，需要使用回歸分析，建立y與x1、x2的線性回歸方程，經(jīng)Excel計算結(jié)果如下：結(jié)論：底水量x1對吸氨量y有極顯著的負作用，底水量愈少，吸氨量愈高，底水量每減少1克，吸氨量約增加0.691克；吸氨時間x2對吸氨量y有極顯著的正作用，吸氨時間愈長，吸氨量愈高，吸氨時間每增加1分鐘，吸氨量約增加0.019克；=96.421-0.691x1+0.019x2，經(jīng)方差分析，方程是回歸方程為：y極顯著的，MSe=0.02351很小，可以用

15、方程作預(yù)報。在前面的試驗方案及結(jié)果表中可知吸氨量最高的是第2次試驗，所以137克的底水，240分鐘的時間是比較好的水平組合。如果回歸方程不顯著，說明y與x1，x2的關(guān)系不是線性，這時應(yīng)建立如下的多項式回歸方程：2=b0+b1x1+b2x2+b11x12+b22x2y+b12x1x2其中的x1x2是交互作用項，然后用逐步回歸篩選出作用顯著的項。- 382 -習(xí) 題 十 一1.合成氨最佳工藝條件試驗。根據(jù)已積累的經(jīng)驗決定選取的因素與水平如下表所示：假定各因素之間無交互作用，試驗的目的是提高氨的產(chǎn)量，選擇正交表L9(3)4，表中列號1，2，3對應(yīng)因素A，B，C；水平號對應(yīng)上表里的1，2，3九次試驗的產(chǎn)量依次為1.72，1.82，1.80，1.92，1.83，1.98，1.59，1.60，1.80。試找出最佳水平組合，并指出影響產(chǎn)量的主要因素是什么。每個因素二水平及交互作用B×C，2. 考慮A、B、C、D四個因素，A×B，B×D，試在正交表L8(2)7上進行表頭設(shè)計。3. 為了探討高頻電場處理種子后所產(chǎn)生的生物效應(yīng), 設(shè)計了以下實驗。根據(jù)以往經(jīng)驗, B 和A，C，D之間可能存在交互作用, 其它各因