1、9、約數(shù)與倍數(shù)【約數(shù)問題】例1用1155個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，有 中不同的拼法。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：不論拼成怎樣的長(zhǎng)方形，它們的面積都是1155。而長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬。所以，只要將 1155分成兩個(gè)整數(shù)的積，看 看有多少種方法。一般來說，約數(shù)都是成對(duì)地出現(xiàn)。1155的約數(shù)共有16個(gè)。16- 2=8 （對(duì)）。所以，有8種不同的拼法。例2說明：360這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)？這些約數(shù)之和是多少？（全國(guó)第三屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析：將360分解質(zhì)因數(shù)，得360=2X 2X 2X 3X 3X 5=23X 32X 5。所以，360的約數(shù)個(gè)數(shù)是：（3+1）X（ 2+

2、1）X（ 1+1） =24 （個(gè)）這24個(gè)約數(shù)的和是:2-13-15-1例3 一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)當(dāng)然有許 多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾？（全國(guó)第一屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析：這個(gè)數(shù)是 2X 2X 2X 2X 2X 3X 3X 3X 5X 5X 7。把兩位數(shù)從99、98、開始，逐一進(jìn)行分解：99=3X 3X 11； 98=2 X 7X 7;97 是質(zhì)數(shù)；96=2 X 2X 2X 2X 2X 3。發(fā)現(xiàn)，96是上面數(shù)的約數(shù)。所以，兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是 96。例4有8個(gè)不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個(gè)是 。（北京市第一屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

3、試題）講析：一個(gè)自然數(shù)N,當(dāng)分解質(zhì)因數(shù)為：N二昇1 寸-屮尙仏時(shí) N的約數(shù)個(gè)數(shù)是G十1） X（隔+1） xx （十+1） °因?yàn)?8=1 X 8=2X 4=2X 2X 2，所以，所求自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，可能為：27，或 23X 3，或 2X 3X 5，不難得出，最小的一個(gè)是24。【倍數(shù)問題】例1 6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個(gè)圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有 。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)?枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與 3

4、0枚2分的一樣高。6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分 的一樣高。因此，36枚1分的硬幣高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高 度。它們共有：1 X 36+2 X 30+5X 25=221 （分）。4元4角2分=442 （分），442十22仁2。所以，1分的硬幣共36X 2=72 （枚），2分的硬幣共30X 2=60 （枚）, 5分的硬幣共25X 2=50 （枚），即總共有182枚。例2從1、2、11、12中至多能選出 數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的 2 倍。（1990 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：1、 3、 5、 7、 9、 1

5、1 是奇數(shù)，不可能是任何整數(shù)的 2倍。剩下的數(shù) 有 2、 4、 6、 8、 10、 12 六個(gè)數(shù)，且 6是 3的 2 倍， 10是 5的 2倍。如取 2，則 4、 8、 1 2就都不能取；如取 4，則 2、 8不能取，故只可取 12；如取 8，則 2、 4不能取，故只可取 8。所以至多能選取 8 個(gè)數(shù)。例 3 小明的兩個(gè)衣服口袋中各有 1 3張卡片，每張卡片上分別寫著 1、 2、3、13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積， 可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被 6 整除的乘積共有 個(gè)。（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)?=2X 3,所以能被6整除的

6、因數(shù)中，至少含有一個(gè) 2和一個(gè)3當(dāng)一邊取6,另一邊取1、2、13時(shí)均成立，有13個(gè)積；當(dāng)一邊取 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13，另一邊取 12時(shí)，有 7個(gè)積；當(dāng)一邊取 10，另一邊取 9時(shí)，有 1 個(gè)積。所以，不相等的乘積中，被 6整除的共有：13+7+1=21（個(gè)）。例4設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的自然數(shù)。如果它們的最小公倍數(shù)是72,那么a與b之和可以有中不同的值。（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)?72=23X 32，它共有約數(shù)（3+1）X（ 2+1） =12 （個(gè)）這 12個(gè)約數(shù)，每個(gè)約數(shù)與 72 的最小公倍數(shù)都是 72， a、 b 之和有 12種不 同的值；當(dāng)a=2"x 32=36時(shí)，b可取23=8或23x 3=24，a、b之和有2種不同的值；當(dāng)a=