1、第一講：空間幾何中的向量方法坐標運算與法向量、空間向量的坐標運算1.若 a =(a1,a2,a3), b-Wbb)，則(1)a b =佝 ma? d,a3 b3)；(2) a b = ( ai bi, a2 'b2 ,a3 -'b3 )；(3) a = ( a1, a2, a3),廠三 R ；(4) a b = a1b1a2b2 a3b3 ；(5)(6)a _ b = a1b1a2b2=.a a a ' a? ' a3 ；(8)cos：a,b =aba2b2a3b3a/b：= 3 = bi,a2 = b2,a3 = b3,(b = 0, '二 R)；已知

2、 a =(2, -3,5),b =(七,1, -4),求 a b,a -b,8a,a b,的坐標2.若 A(X1,力，乙)，B(X2, y2, Z2),則 AB 二區 - %,勺-乙) 練習1:已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分別是AB,PC的中點，且PA=AD=1， 求向量MN的坐標.二、空間直角坐標系中平面法向量的求法1、方程法利用直線與平面垂直的判定定理構造三元一次方程組，由于有三個未知數，兩個方程， 要設定一個變量的值才能求解，這是一種基本的方法，容易接受，但運算稍繁，要使法 向量簡潔，設值可靈活，法向量有無數個，他們是共線向量，取一個就可以。例1 已知AB'=

3、(2, 2,1), AC =(4,5,3),求平面ABC的法向量。1x =一解：設jx,y,z)，則由得*駕0即2X 2y 0 h AC=0 4x + 5y+3z=0x啤1不妨設 z=1，得 2，取 n =(,-1,1)y=-12'yZ1X1Z1X1y1衛2 Z2J X2 Z2JX2y2其中行列式2. 矢量積公式yi乙y2Z2a =(Xi, %,乙)，13 =(X2,y2,Z2),a b 二= %Z2 -2乙,法向量取與向量a><b共線的即可。a = (2 2 1)用這一方法解答例1，先把平面內的兩個向量坐標對齊寫也=(4,5,3)蒙住第一列，把后兩列看成一個二階行列式，計

4、算2 3-1 5=1就是向量a b的x坐標，蒙住第二列，把前后兩列看成一個二階行列式，計算-2 3-4 1=-2，作4 4為a b的y坐標，蒙住第三列，把前兩列看成一個二階行列式，計算2 5-4 2 = 2作一耳4斗為z坐標，所以 a b =(1,-2,2)，可以取 n =(1,-2,2)，它與前面方程法求得的1n =, -1,1)是共線向量。優點：操作步驟清晰，容易記住，開始覺得不習慣，多練幾次后，速度快、結果準。例2 已知A(3,0,0) ,B(0,4,0) ,C(0,0,2)，試求平面ABC的一個法向量練習：已知平面：經過三點A(1,2,3)、B(2,0,-1) C(3, - 2,0)試

5、求平面的一個法向量第二講：立體幾何的向量方法平行與垂直一、平行設直線i,m的方向向量分別為a,b，平面:的法向量分別為u,v，貝y(1) 線線平行：/m= 二 ;(2) 線面平行：l 二 ；(3) 面面平行： otP二導；例1:四棱錐P - ABCD，底面ABCD是正方形，PD _底面ABCD , PD = DC , E是PC的中點，求證：PA /平面EDB .二、垂直1、線線垂直設直線l的方向向量分別為 a= c,a2,a3，設直線m的方向向量分別為 b=九鳥4 ,則l丄m呂二二2、線面垂直4*設直線l的方向向量分別為 a= a1,a2,a3，設平面-：的法向量分別為u= u1,u2,u3

6、,則I丄a = 二3、面面垂直設平面的法向量分別為U=：U1,U2,U3，設平面的法向量分別為VhV1,V2,V3，則CC 丄 0 二 二 二 (一) 證明線線垂直例2：已知正三棱柱 ABC -A1B1C1的各棱長都為1, M是底面上BC邊上的中點，N是側1棱CG上的點，且CN CG，求證：AB1 _ MN .4變式1：已知正三棱柱 ABC -A1B1C1的各棱長都為 1，若側棱CC1的中點 D，求證：AB1 A1D .(二) 證明線面垂直第三講：立體幾何的向量方法-角度例2：如圖所示，在正方體 ABCD -A1B1C1D1中，0為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：AiO _ 平面 G

7、BD .變式訓練2：如圖所示，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，E、F分別是BB|, D1B1的中點,求證：EF _ 平面 BiAC.（三）證明面面垂直例 3:在 四 面 體 AB BEF _平面ABC CD 中AB _ 平面 B C D 二 B,C : C 屯 B C,二分別是AC、AD的中點，求證：平面 BEF _平面ABC .變式訓練3:在正棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是三角形PAB的重心，E、F 分別是BC、PB上的點，且BE : FB=1:2，求證：平面 GEF _平面PBC .一、空間向量三種角的向量求解方法II441、 異面直線所成的角：設異面直線1(2的方向

8、向量分別為 a和b，貝U h與12夾角二滿足，其中0的范圍是.II442、 線面角：設直線l的方向向量為a和平面:-的法向量為n ,貝U直線I與平面:-的夾角二滿足，其中日的范圍是.3、 二面角：設平面:-的法向量為n ,設平面：的法向量為 m，則平面:-與平面：所成二面角日滿足，其中0的范圍是.二、典型例題例1：在Rt ABC中，.BCA =90：，現將:ABC沿著平面的法向量平移到A1B1C1的位置，已知BC二CA=CC1，取AB,、AG的中點D1、F1，求BD1與AF1所成角的余弦值練習1：正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1,求B1C1與面AB1C所成角的余弦值例3.在四棱錐P

9、-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD _底面ABCD , PD=DC , E是PC的中點，作EF _ PB交PB于F,求二面角C-PB-D的大小.練習2：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，.DAB = 60； ,AB = 2AD ,PD _ 底面 ABCD .證明：PA_BD.若PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值.練習3:在四棱錐 P-ABCD，底面ABCD為矩形，PA _底面ABCD，AP = AB = 2,BC =2 2, E,F分別是AD，PC的中點.證明：PC_平面BEF.求平面BEF與平面BAP的夾角大小第四講：立體幾何的向量方法-距離(1) 點面距離的向量公式I4平面的法向量為n，點P是平面:-外的一點，點 A為平面內的一點，則點 P到平面a的距離d等于;(2) 線面、面面距離的向量公式Ir平面/直線l，平面:-的方向量為n，點M三：，P l，平面與直線I間的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即 d=;(3) 異面直線的距離向量公式I設向量n與異面直線 a b都垂直，M a,b，則兩異面直線 a、b間的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即 d =.例1:正方形ABCD的邊長為4