1、反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題2 / ii知識(shí)點(diǎn)歸納（一）反比例函數(shù)的概念ky = 一i, 工心二口）可以寫(xiě)成三日（上二口）的形式，注意自變量x的指數(shù)為一1在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)條件；（上口）也可以寫(xiě)成xy=k的形式，用它可以迅速地析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式;,二一工的自變量X黃口 ,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)/=-工的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）.（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)kyi.函數(shù)解析式：求出反比例函數(shù)3.反比例函數(shù)化二口這一限制y = -2. 工2 .自變量的取值范圍：

2、左口3 .圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線(xiàn).k越大，圖象的彎曲度越小，曲線(xiàn)越平直.慟越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)兩條坐標(biāo)軸是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).當(dāng)上 。時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)1t 0時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即若（a, b）在雙曲線(xiàn)的一支上,0，一外在雙曲線(xiàn)的另一支上.-T一 圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即若（a, b）在雙曲線(xiàn)的一支上,則（& ,4）和（一，一金）在雙曲線(xiàn)的另一支上.4. k的幾何意義如圖1 ,設(shè)點(diǎn)P (a, b)是雙曲線(xiàn)支上任意一

3、點(diǎn)，作 PAx軸于A點(diǎn)，PB，y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是 (三角形PAO和三角形PBO的面積都是上 ).如圖2,由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q也在雙曲線(xiàn)上，作 QC，PA的延長(zhǎng)線(xiàn)于C,則3 / 115.說(shuō)明：(1)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論._ jy 直線(xiàn)A P與雙曲線(xiàn)了的關(guān)系：當(dāng)上.*時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)； 當(dāng)仁,島3時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四)實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1 .求函數(shù)解析式的方法：(1)待定系數(shù)法；(2)根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.(五)

4、充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.例題分析1.反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().A. y=3xb.尸3 = 2冗C. 3xy=1(2)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().1111 1y =v = -fy = y = + 一A.4 犬 B./C.R-2d.耳2r 2.圖象和性質(zhì)(1)已知函數(shù)沙二伏+ 1是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么 k=.若y隨x的增大而減小，那么 k=.aby -(2)已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù)工 的圖象位于第象限.(3)若反比例函數(shù) 工經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1 , 2),則一次函數(shù)尸一匕+2的圖象一定不 經(jīng)過(guò)

5、第 象限.昨一(4)已知a b0,點(diǎn)P (a, b)在反比例函數(shù)工的圖象上，則直線(xiàn)=+七不經(jīng)過(guò)的象限是().A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限不二_(5)若P (2, 2)和Q (m, 一部)是反比例函數(shù)工圖象上的兩點(diǎn)，則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限(6)已知函數(shù)戶(hù)二,封一和 工(k，0)它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是().A.B.C.D .7、已知k10k2,則函數(shù)yk1x和y3.函數(shù)的增減性B恤外），且”3A0,則y - （七 0（1）在反比例函數(shù) 工的圖象上有兩點(diǎn) 必一當(dāng)?shù)闹禐椋ǎ?A

6、.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)-a2 -111六缶人上（-1,汨（丁典）%，力）,M （2）在函數(shù)工 （a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn) :,4 ，乙 ，則函數(shù)值乃、力、產(chǎn)=的大小關(guān)系是（）.A.巧B 巧。.吊乃=二；沙二一口天； 工； 天.y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）.A. 0tB. 1 個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)ky=-（4）已知反比例函數(shù)工的圖象與直線(xiàn)y=2x和y=x+1的圖象過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng) x0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而（填“增大”或“減小”）.5、如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是（）.A.x2 C. 1

7、x2D.x1,或 0Vx20,一4.解析式的確定（1）若尸與#成反比例，K與工5 / 11成正比例，則y是2的（）.C. 一次函數(shù)D.不能確定A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)y = -（6）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù) 工的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2, m）,則m=它們的另一個(gè)交點(diǎn)為m_ m T,一 （ -2t - 81 L , , , 一 T “2 2 4 22咱耀（7）已知反比例函數(shù)天的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)工的圖象在第二、四象限，求鵬 的值.（8）為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時(shí)間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后

8、，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克.請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息解答下列問(wèn)題：藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 ,自變量x的取值范圍是 ;藥物 燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 .研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò) 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于 3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空 氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？（1）如圖，在函數(shù)工的圖象上有三個(gè)點(diǎn) A、B、C,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線(xiàn)，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線(xiàn)段與 x軸、

9、y軸圍成的矩形的面積分別為 為、&、/，則（）.A.&b.用電工二$1取消第（1）題圖第（2）題圖1y 二一（2）如圖，A、B是函數(shù) 工的圖象上關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，AC/y軸，BC/x軸， ABC 的面積S,則（）.A . S=1B, 1S2（3）如圖，Rt AOB頂點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)7 / 11第（3）題圖第（4）題圖1（4）如圖，正比例函數(shù) y=kx （k 0）和反比例函數(shù) 1的圖象相交于 A、C兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸垂線(xiàn)交 x軸于B,連接BC,若 AB面積為S,則S=.ABx（5）如圖在RtABO中，頂點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)正與直線(xiàn)“-一X+C-D在第四象限的交點(diǎn),2軸于B且$ ABO= 2 .求這兩

10、個(gè)函數(shù)的解析式；求直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn) A、C的坐標(biāo)和 AOC勺面積.第（5）題圖6 .如圖，已知A(n, -2) , B(1 , 4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù) y= m的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)XAB與y軸交于點(diǎn)C.求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式;求4AOC的面積；求不等式kx+b- m 0的解集(直接寫(xiě)出答案).X7 .如圖，已知反比例函數(shù) y=-m-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( -1, 3), 一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C(0, x4),且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B.(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；8、如圖所示，一次函數(shù) y x m和反比例函數(shù)ym 1 , (mx1)的圖

11、象在11yP(a,3)(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P(a,3).求a的值及這兩個(gè)函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出在第一象限內(nèi)，使反 比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍. 6.綜合應(yīng)用mV =(1)如圖，一次函數(shù)“一 的圖象與反比例數(shù)工的圖象交于A、B兩點(diǎn)：A (上,1), B (1,n) .求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； 根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.9 / 11(2)如圖所示，已知一次函數(shù)(k，0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例m y 函數(shù) 工(m，0)的圖象在第一象限交于 C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D,若OA=OB=OD

12、=1 .求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.3 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 。為原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A (2, 1)、B ( - 1, -2)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C.(1)分別求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式(關(guān)系式)；(2)連接OA,求4AOC的面積.If4 .如圖，一次函數(shù) y=x+1與反比例函數(shù)y二一的圖象相交于點(diǎn) A (2, 3)和點(diǎn)B . 工(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)過(guò)點(diǎn)B作BCx軸于C,求SABC .10 / 11g5.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù) V= 一一的圖象相交于 A, B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與BK點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是2 ,如圖：(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)求4AOB的面積；(3)在y軸是否存在一點(diǎn)P使4OAP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)軸相應(yīng)位置上用Pi, P2, P3標(biāo)出符合條件的點(diǎn)P;(尺規(guī)作圖完成)若不存在，市ItJ6.如圖，反比例函數(shù) y=的圖象與一次函數(shù)常說(shuō)明理由.1 + v 、/。L / Xy=mx+b的圖象交于兩點(diǎn) A (1, 3), B (n, -1).12 / 11(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象，直接回答：當(dāng) x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；(3)連接AO、BO,求AABO的面積；(4)在反比例函數(shù)的圖象上