1、第二章函數的極限與連麝廠§2-1極限的概念一、數列極限 二、函數極限一、數列的極限定義：對數列&”當項數n無限增大時，一般項£無限接近于某一確定的常數A,則稱該數列*“的極限為A,記作lint xn - A 或兀“ T 4 （兀 T oo）旳T8此時也稱數列收斂，否則稱數列發散12 3例如：2 9 3 9 4 91 4 3込GT+(1蘆1"+(-1 嚴、-n(Z2T00)、收> 斂( Too)丿)發>散楓業滋的孕艮2，4，8，2"，兀=2"> QO (n >9 <,(-1嚴,占=(-1嚴趨勢否定丿,代呼 J

2、IANGSU COLLEGE OF INFORMATION TECHMOLOGY常見數列極限:腫二C (C為常數丿1(2)tim = o (p>0) ns屮(3)limg" = 0(| < 1)noo二.函數的極限1 當兀-> 00時，函f(x)的極限定義2：如果肖兀|無限增大時，對應的函數值/(切無限地趨近于某個確墻數4,則稱函數/(切在兀T時存在極限4記作x) = AX>OO定義® (1) Um /(x) = AX-> + 00(2) lim f(x) = AX- oo定理 lim/(x) = Af(x) = A= lim f(x).XT8

3、XT+8XT8例1：討論當r -»oo時，函如=arctanx的極限解:因為 lim arctanx =X-»+oO2lim arctanx = -yXT-82所以lim arctan兀不存在XTOO2、當xTXo時，函數”兀丿的極限例考察函f(x) =X-1當X T 1時，的變化趨勢y定義4.設函數f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義，若當時，對應的函數W)無限接近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數/(X)當時的極限，記作 lim fx) = A 或 /(x) > A (當 x > x0)x>xo注意：仁丿在時,函勦Y*丿的極限與“燈在兀=叫處是否有定

4、義無關2.limC = C （C為常數丿H）“姦依©峨小的才艮 理!異 JIANGSU COLLEGE OF INFORMATION TECHMOLOGY3、左極限與右極限定義5：如果當¥-»忑一時，函數“兀尿限接近于一個確定的常數A,則稱A為當x -> x0W, f(x)左極限 記作 lim /(x) = A或f (xo-O) = A)右極限：lim/dr A =/*(兀o+0)兀T對定理lim f(x) = A-X>XqJim /(x)= Km /(x) = AX>XqX>Xq兀一 1， x <0例.設函數f(x) = 0, x

5、= 0工 + 1， x >0討論兀0時/(工)的極限是否存在. 解：lim/(x)= lim(x-l) =-1兀 TOXT。lim f(x)= lim (x +1) = 1x->0+x->0+顯然所以lim f(x) lim f(x)x->0+lim/(x)不存在.例驗證lim不存XTO X證 lim XT。 XX-»O- X=lim(1) = 1xt(tXxlim =lim =liml = lXT0+ XX 左右極限存在但不相等,lim xtO X例2設/（兀）=x <0x >0，求吧m）lim/(x) = lim(l-x) = 1,兀0一xO"lim /(x) = lim(兀 $+1)=1x->0+x->0+左右極限存在且相等，故 lim f(x) = l.x>0練習：討論3x + 2*+1/(x) = * 12、Xx <0 0< x <1x =1x >1當兀->0,X ->1,X ->+00時的極限容小結1.函數極