1、-.常考題型 題型一： 題型二： 題型三： 題型四： 題型五： 題型六： 題型七： 題型八： 題型九： 題型十：題型一:存在性問題（存在點(diǎn)，存在直線ykx m ,存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形）二.熱點(diǎn)問題1.定義與軌跡方程問題 交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題 弦長(zhǎng)及面積問題 對(duì)稱問題 范圍問題 存在性問題 最值問題 定值，定點(diǎn)，定直線問題，圓）2.3.4.5.6.7.8.圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線常考題型和熱點(diǎn)問題數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 弦的垂直平分線問題動(dòng)弦過定點(diǎn)問題過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題共線向量問題面積問題弦或弦長(zhǎng)為定值的問題角度問題四點(diǎn)共線問

2、題范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）第二部分知識(shí)儲(chǔ)備1.2.與一元二次方程ax2判別式:b2 4ac韋達(dá)定理:若一元二次方程bx2axc 0(abx c0）相關(guān)的知識(shí)（三個(gè)“二次”問題）0（a0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根Xl,X2，則X, X2-a3.求根公式:若一元二次方程2axbx c0（a0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根Xi，X2，則2a二.與直線相關(guān)的知識(shí)斜截式，截距式,兩點(diǎn)式，一般式1.直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式,2.與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率:y tan ,0,);點(diǎn)到直線的距離公式：d空5普（一般式）或d滬（斜截式）k23.弦長(zhǎng)公式：直線y kx b 上兩點(diǎn) A(xi,yi), B(X2,y2)

3、間的距離:k2xiX2J(1 k2)(Xi X2)2 4XiX2(或AByi y2)4.兩直線ii: yik1x1b,l2：y2 k2X2 b2的位置關(guān)系:iiI2ki k2 h /I2 匕blb?5.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:已知兩點(diǎn)A（X1，y1）,B（X2，y2），若點(diǎn)M X, y線段AB的中點(diǎn)，則y y22三.圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，文理要求有所不同。 文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,

4、y1.2.3.圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者的關(guān)系，P的幾何意義等4.2b22 b2圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓，雙曲線 蘭一，拋物線2paa焦點(diǎn)三角形的面積：P在橢圓上時(shí)b2 tan-P在雙曲線上時(shí)SvF1PF2四.常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識(shí) 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等 三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性質(zhì)不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等1.2.3.4.5.五.不同

5、類型的大題（1）圓錐曲線與圓例1.（本小題共14 分）732 2O,b 0)的離心率為，右準(zhǔn)線方程為X已知雙曲線C:篤爲(wèi)1(aa b(I)求雙曲線C的方程;(n)設(shè)直線I是圓O: X22上動(dòng)點(diǎn)P(X0,y0)(X0y00)處的切線,I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B ,證明AOB的大小為定值運(yùn)算能力.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、(I)由題意，得cc，解得a1,c屁73 b222，所求雙曲線 C的方程為X21.2(n)點(diǎn) p xo,yo Xoyo0在圓X2圓在點(diǎn)P Xo,yo處的切線方程為yoXo一 Xy

6、oXo化簡(jiǎn)得XoXyoy 2.XoX2y2Yov22yo23xo 44xox 8 2x2 O ,切線I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且 OXo2 ,2 3x040 ,且設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Xi, yi , X2,y2 , cos AOB4Xo ,X1X23x2 4uuu uuuOA OB uuu8 2x23xo 4，tuu，且22216x0 4 3x0 4 8 2x00 ,uuu uuuOA OB X1X2OA OB1丫2X1X2 2XoX12X0X2,yoX1X2x04 2x0 x-i X22X0X1X28 2X23xo 48x23xo 4Xo 8 2x03xo8 2xo3x2 48

7、2xo3x00.AOB的大小為90 .【解法2】(I)同解法1.2上，圓在點(diǎn)PXo, yo處的切線方2(n)點(diǎn) P xo,yo XdYo 0 在圓 X程為yX x0，化簡(jiǎn)得XoXyoyXoX2y_2yoy 21 及 Xoy02X2 4x0x8 2x13x248yoX 822xo 0切線I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,X22 ,Xi,yi,X2, y2,則 x1x28 2xo3Xn，y1y22x083xo 42youur uuu- OA OB X1X2yiy2o ,AOB的大小為9o .2 且 Xoyo2Xo2,o22yo 2，從而當(dāng)3xo 4 0時(shí)，方程和方程的判別式均大于零)練習(xí)1:已知點(diǎn)

8、A是橢圓2C:x-9的左頂點(diǎn)，直線I: X my 1(m R)與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，與X16軸相交于點(diǎn)B.且當(dāng)m 0時(shí)， AEF的面積為竺.3(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線 AE , AF與直線x 3分別交于M ,N兩點(diǎn)，試判斷以 MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B ?并請(qǐng)說明理由.(2)圓錐曲線與圖形形狀問題x2例2.1已知A, B, C是橢圓W: 一 + y2= 1上的三個(gè)點(diǎn)，4(1) 當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形 OABC為菱形時(shí)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).求此菱形的面積;(2) 當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.x2解：(1)橢圓W + y2= 1的右頂點(diǎn)B的坐

9、標(biāo)為(2,0).4因?yàn)樗倪呅?OAB呦菱形，所以 AC與 OB相互垂直平分.所以可設(shè)A(1 , m，代入橢圓方程得 丄+ m= 1，即 作 .42所以菱形OABC勺面積是 丄I OB -1 AC = 1 X2X2| m =73.2 2(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是 W勺頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y= kx +刑心0, m0).2424由 x y '消 y 并整理得(1 + 4k2) X2 + 8kmx+ 4吊4= 0.y kx m設(shè) A(X1, y1) , C(X2, y2),4km1 4k2，y1 y22所以AC的中點(diǎn)為M 4km2，-1 4k 1

10、4k則 X1 X22m1 4k2 .因?yàn)镸為AC和0B的交點(diǎn)，所以直線 0B的斜率為14k因?yàn)?k 丄M 1，所以AC與 OB不垂直. 4kOAB(不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以所以當(dāng)點(diǎn)B不是 W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OAB(不可能是菱形.x2練習(xí)1:已知橢圓C:a2占1(abb 0)過點(diǎn)(J2 , 1)，且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)M (x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P(p,0)是X軸上的定點(diǎn)，求MP的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C : X2 2y24 ,(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)0為原點(diǎn)，

11、若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且0A 0B，求直線AB2與圓X2y2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論2 2 解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 乂42b罷則c罷，離心率e直線2 2 _AB與圓X y 2相切.證明如下:法一:設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為UJU因?yàn)镺A丄OB，所以O(shè)AXo yot 2，其中UJUOB o，即 tXo 2yoXo解得Xo當(dāng)Xo t時(shí)，yot2-，代入橢圓C的方程，得2故直線AB的方程為X.圓心O到直線AB的距離d2此時(shí)直線AB與圓X2y 2相切.當(dāng)Xo t時(shí)，直線AB的方程為yt,Xot即 yo 2 XXo t y 2xotyo0.圓心0到直線AB的距離2xotyo|Jxoo此時(shí)直線

12、AB與圓X22y 2相切.2yoXot22y24 Xo2XoXoXo4-2y2 4yo yo =2=Xo2yoXof X4 8x1 16法二:由題意知,直線 OA的斜率存在，設(shè)為 k，則直線OA的方程為y kx , OA丄OB,當(dāng)k 0時(shí)，A 2 0，易知B 0 2，此時(shí)直線AB的方程為x原點(diǎn)到直線 AB的距離為罷，此時(shí)直線AB與圓x22相切;當(dāng)k 0時(shí)，直線0B的方程為y lx，k聯(lián)立2:y24得點(diǎn)A的坐標(biāo)C2k7l 2k2山 2k22kJ1 2k21x聯(lián)立k得點(diǎn)B的坐標(biāo)2由點(diǎn)A的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，無(wú)妨取點(diǎn)A2k2k進(jìn)行計(jì)算,于是直線AB的方程為:2y 2x2kJ1 2k22kk 4l2k21

13、 kjl 2k2x 2k ,即 k 2k2 x 1kjl 2k2 y 2k220，1 kj1 2k2此時(shí)直線AB與圓2相切。綜上知，直線AB 一定與圓2相切.法三:當(dāng)k 0時(shí)，A 2 0，易知此時(shí) |0A|2 |0B|lABl疙號(hào)2逅，原點(diǎn)到直線AB的距離d2 222此時(shí)直線 AB與圓x k22原點(diǎn)到直線AB的距離 y22相切;當(dāng)k 0時(shí)，直線OB的方程為y1kx，2J1 k2，設(shè) A B x2 y2，則 lOA EW, |0B| J1 lyy聯(lián)立2xkx 2 得點(diǎn)A的坐標(biāo)2y 42k2J1 2k2 Jl 2k22k于是|oAJ1 2k21 2,I OB 2jl k2 ,所以d(4 1 k24

14、 1 k22-/rk / 2k22 血 1 k2J1 2k22J1 k2近,直線AB與圓y22相切;綜上知，直線AB 一定與圓2y 2相切練習(xí)1：已知橢圓C : x2a£b21(a b 0)過點(diǎn)(0,1),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的 近 倍.過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)若直線AB垂直于x軸，判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系， 并說明理由;(川)若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線 AB的斜率k的取值范圍.(4)圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在3x軸上，離心率為 ，且橢圓C上的點(diǎn)到2兩個(gè)焦點(diǎn)的

15、距離之和為4(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線I與橢圓交于點(diǎn) M，與y軸交于點(diǎn)N ,過原點(diǎn)與I平行的直線與橢圓交于點(diǎn) P 證明:| AM | | AN | 2|OP|2 解：(I)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2a2令 1(a b 0),b224,解得a 2, b 1 c由題意知 一a2a2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x y2(n)設(shè)直線AM的方程為：y k(x2)，則 N(0,2k) y k(x 由x2 4y22)，得(1+4k2)x24,2 216k x 16k4 0 (*)設(shè) A( 2,0),M (Xi, yj，則2 , Xi是方程(*)的兩個(gè)根,所以M (晉命-I w

16、I 1/2 8k2 2 8k2、2/ 4k|AM| «1 Akz)(1J/16 16k24k2)Q(1 4k2)24J1 k21 4k2| AN | J4 4k2 2J1 k2 |AM|AN|422Z8(1 k2)1 4k24k2設(shè)直線OP的方程為：ykx y kx,由；2 4y2 4 得(14k2)x2設(shè) P(x0,y0)，則 x0241 4k22y。4k21 4k所以lOPf泮,2|OP|28k21 4k_2所以 |AM | |AN | 2|OP| X 2例4.2:已知橢圓C a2y_b21(a>b>0)的離心率為 ,A( a,0 ) ,B(0,b) , O( 0,

17、20), OAB的面積為1.PA與丫軸交于點(diǎn) M直線PB與X軸交于點(diǎn)No(I )求橢圓C的方程； (I I)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn),求證:AN ? BM為定值。L9.門）得.”焉WP =*皿=1“，mjHf? = feZ + 屛J E”®解得#乙21山1橢圏方畀為呂+/= = 1.u" Kifliiai上血P的電杯為(2m-溫劭斕).乂已期則11線卩a的力程為SlRffv=-_ x - 2)- 2x=0-就可以得判MA唯標(biāo)為(6三呂 冋樣可以旳到N的坐標(biāo)為筈尋2咖瑁一2血決諾嚴(yán)(Stn J -C站號(hào)F (-23?野X2練習(xí)1 :已知橢圓C : -ya2 y b21(a b 0)

18、的離心率為乎橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為(I)求橢圓C的方程;(n )已知?jiǎng)又本€y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)1 7uuur uur-,求斜率k的值；若點(diǎn)M ( ,0),求證:MA MB為定值.2 3練習(xí)2：已知拋物線C : y2 = 2 px ( p> 0),其焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB (不垂直于x軸) 過點(diǎn)F且拋物線C交于A , B兩點(diǎn)，直線OA與OB的斜率之積為P .(1 )求拋物線C的方程;(2 )若 M為線段AB的中點(diǎn)，射線OM交拋物線C于點(diǎn)D，求證：芻>2練習(xí)3:動(dòng)點(diǎn)P(x, y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與

19、它到定直線l:x 4的距離之比為 丄.2(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(n) 已知定點(diǎn)A( 2,0) , B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)Q(4,t)在直線I上，作直線 AQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為 M，作直線BQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N，證明：M , N,F三點(diǎn)共線.(5)圓錐曲線最值問題2已知橢圓C :篤-a1(a b 0)的離心率為 ，橢圓C與y軸交于A, B兩點(diǎn), b2|ab|求橢圓C的方程;(n)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè).直線PA, PB與直線X 4分別相交于M , N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E, F，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF I的最大值.解：(I)由題

20、意可得,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 1.(n)設(shè) P(X0,y0)(OX02), A(0,1), B(0, 1),y。 1所以kPAX0，直線PA的方程為y丿X 1 ,Xo同理：直線PB的方程為yy。1X04(yo 1)直線PA與直線X 4的交點(diǎn)為M(4,- 1),X0直線PB與直線x 4的交點(diǎn)為N(4,如衛(wèi)Xo1),線段MN的中點(diǎn)(4,X0所以圓的方程為(X 4)2 (y4y0、2X024 2)2 (1 )2,X0因?yàn)樗?,則(X4)22X0(1X027)，10分2X04y2所以y0 111分(X4)2 8X0因?yàn)檫@個(gè)圓與X軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以8-X080,解得 x0(,2.

21、812分設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,0),(x2,0)叮咅X2 | 28X0X014分2 2練習(xí)1：已知橢圓C a b21a b的-個(gè)焦點(diǎn)為F(2, 0)，離心率為至3。過焦點(diǎn)F的直線I與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，線段 交橢圓于M , N兩點(diǎn)。(1) 求橢圓C的方程；(2) 求四邊形AMBN面積的最大值。AB中點(diǎn)為D，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過0，D的直線所以該圓被X軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2.練習(xí)2：已知橢圓C : mx2 3my21(m 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26, 0為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的方程和離心率;(n)設(shè)點(diǎn) A(3,0)，動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若|BA|BP|，求四邊形OPAB面積的最小值.(6)圓錐曲線存在性問題X2 y2,72例6.已知橢圓C : 篤爲(wèi) 1 a b O的離心率為 '土，點(diǎn)P 0,1和點(diǎn)A m, n m 0 ab2都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M .(I)求橢圓C的方程，并求點(diǎn) M的坐標(biāo)(用m n表示);(n