1、42.2 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 42.3 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 第四章圓與方程第四章圓與方程 1.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法 2.能利用直線與能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 3體會(huì)用體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想思想 第四章圓與方程第四章圓與方程 1圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓有五種位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系，分別是分別是_、_、_、_、_ 2圓與圓位置關(guān)系的判定圓與圓位置關(guān)系的判定 (1)幾何法幾何法 若兩圓的半徑分別為若兩圓的半徑分別為 r1、r

2、2，兩圓的圓心距為兩圓的圓心距為 d，則兩圓的位置則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：關(guān)系的判斷方法如下： 外離外離外切外切相交相交內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含位置位置關(guān)系關(guān)系 外外 離離 外外 切切 相相 交交 內(nèi)內(nèi) 切切 內(nèi)內(nèi) 含含 圖圖 示示 d 與與r1、r2的的關(guān)系關(guān)系 d _ d _ |r1r2|d _ d_(r1r2) 0d _(r1r2) r1r2r1r2r1r2|r1r2|r1r2|(2)代數(shù)法代數(shù)法 聯(lián)立兩圓的方程組成方程組聯(lián)立兩圓的方程組成方程組， 則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：系如下： 方程組解的個(gè)數(shù)方程組解的個(gè)數(shù) 2 組組 1 組組 0 組組 兩

3、圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) _個(gè)個(gè) _個(gè)個(gè) _個(gè)個(gè) 兩圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系 _ _或或_ _或或_ 210相交相交內(nèi)切內(nèi)切外切外切內(nèi)含內(nèi)含外離外離 1判一判判一判(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”“”) (1)兩圓方程聯(lián)立兩圓方程聯(lián)立，若方程組有兩個(gè)解若方程組有兩個(gè)解，則兩圓相交則兩圓相交( ) (2)若兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)若兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離則兩圓一定外離( ) (3)若兩圓外切若兩圓外切，則兩圓則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，反之也成立有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，反之也成立( ) (4)若兩圓有公共點(diǎn)若兩圓有公共點(diǎn)，則則|r1r2|dr1r2.( ) 答案：答案：(1)

4、 (2) (3) (4) 2圓圓 O1：(x1)2y21 和圓和圓 O2：x2(y2)24 的位置關(guān)系的位置關(guān)系是是( ) A外離外離 B相交相交 C外切外切 D內(nèi)切內(nèi)切 解析：解析：選選 B.因?yàn)閮蓤A心距因?yàn)閮蓤A心距|O1O2| 5，且且 21 5r1r2，即兩圓外離即兩圓外離，因此它們有因此它們有 4 條公切線條公切線 (2)設(shè)兩圓設(shè)兩圓 C1、C2的半徑分別為的半徑分別為 r1、r2， 則則 r1r23，r1r21， 所以所以|r1r2| （r1r2）24r1r2 3241 5， 當(dāng)當(dāng) C1與與 C2外切時(shí)外切時(shí)，d3； 當(dāng)當(dāng) C1與與 C2外離時(shí)外離時(shí)，d3； 當(dāng)當(dāng) C1與與 C2內(nèi)切

5、時(shí)內(nèi)切時(shí)，d 5； 當(dāng)當(dāng) C1與與 C2內(nèi)含時(shí)內(nèi)含時(shí)，0d1)相交相交，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) r 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：(1)因?yàn)閳A因?yàn)閳A O1的圓心坐標(biāo)的圓心坐標(biāo) O1(a，0)，半徑為半徑為 r11， 圓圓 O2的圓心坐標(biāo)的圓心坐標(biāo) O2(0，b)，半徑為半徑為 r21，所以，所以|O1O2| a2b22r1r2，故兩圓故兩圓 O1與與 O2外切外切 (2)因?yàn)閮蓤A的圓心距為因?yàn)閮蓤A的圓心距為 d5，又因?yàn)閮蓤A相交又因?yàn)閮蓤A相交， 所以所以 |r1|5，所以所以 4r0)， 因?yàn)閳A因?yàn)閳A C 與圓與圓 C1：x2y22x0 相外切相外切， 所所以以 b2（a1）2r1. 又因?yàn)閳A

6、又因?yàn)閳A C 與直線與直線 x 3y0 相切于相切于 A(3， 3)， 所以所以|a 3b|2r， b 3a3 3. 由由解得解得 a4，b0，r2或或 a0，b4 3，r6.故圓故圓 C 的方程為的方程為(x4)2y24 或或 x2(y4 3)236. (1)定性定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論 (2)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí)內(nèi)切時(shí)

7、)或兩圓半徑之和或兩圓半徑之和(外切時(shí)外切時(shí))的問(wèn)題的問(wèn)題 2.求與圓求與圓 C1：(x2)2(y1)24 相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) A(4，1)，且半徑為且半徑為 1 的圓的圓 C2的方程的方程 解：法一：解：法一：由圓由圓 C1：(x2)2(y1)24， 知圓心為知圓心為 C1(2，1)， 則過(guò)點(diǎn)則過(guò)點(diǎn) A(4，1)和圓心和圓心 C1(2，1)的直線的方程為的直線的方程為 y1， 設(shè)所求圓的設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為 C2(x0，1)， 由由|AC2|1，即即|x04|1，得得 x03 或或 x05， 所以所求圓的方程為所以所求圓的方程為(x5)2(y1)21 或或(x3)2(y1)21. 法

8、二：法二：設(shè)所求圓的圓心為設(shè)所求圓的圓心為 C2(a，b)， 所以所以 （a4）2（b1）21， 若兩圓外切若兩圓外切，則有則有 （a2）2（b1）23， 聯(lián)立聯(lián)立解得解得 a5，b1， 所以所求圓的方程為所以所求圓的方程為( (x5)2(y1)21； 若兩圓內(nèi)切若兩圓內(nèi)切，則有則有 （a2）2（b1）21， 聯(lián)立聯(lián)立解得解得 a3，b1， 所以所求圓的方程為所以所求圓的方程為(x3)2(y1)21. 所以所求圓的方程為所以所求圓的方程為(x5)2(y1)21 或或(x3)2(y1)21. 探究探究點(diǎn)三點(diǎn)三 兩圓相交與公共弦長(zhǎng)問(wèn)題兩圓相交與公共弦長(zhǎng)問(wèn)題 (1)若圓若圓x2y24與圓與圓 x2y

9、22ay60(a0)的公共弦的公共弦長(zhǎng)為長(zhǎng)為 2 3，則則 a 的值為的值為( ) A1 B2 C3 D4 (2)已知圓已知圓 C1：x2y22x6y10，圓圓 C2：x2y24x2y110，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng) 解解 (1)選選 A.兩個(gè)圓的方程作差可以得到公共弦所在直線方程兩個(gè)圓的方程作差可以得到公共弦所在直線方程為為y1a.所以圓所以圓x2y24的圓心的圓心(0， 0)到直線到直線y1a的距離的距離d 1a.根據(jù)半徑長(zhǎng)、弦心距和半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形根據(jù)半徑長(zhǎng)、弦心距和半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，得得 d22（ 3）21，即即 1a1.解得

10、解得 a1. (2)設(shè)兩圓的交點(diǎn)為設(shè)兩圓的交點(diǎn)為 A(x1，y1)，B(x2，y2) 則有則有 x2y22x6y10，x2y24x2y110. 由由，得得 3x4y60.因?yàn)橐驗(yàn)?A，B 兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，所以所以 3x4y60 為兩圓公共弦所在直線的方程易知圓為兩圓公共弦所在直線的方程易知圓 C1的圓的圓心坐標(biāo)為心坐標(biāo)為(1，3)，半徑半徑 r3， 則圓心則圓心 C1到公共弦的距離為：到公共弦的距離為：d|（1）3436|32（4）295，所所以以|AB|2 r2d2232 952245， 即兩圓的公共弦長(zhǎng)為即兩圓的公共弦長(zhǎng)為245，公共弦所在的直線方程為公共弦所在的

11、直線方程為 3x4y60. 處理兩圓相交問(wèn)題的方法處理兩圓相交問(wèn)題的方法 (1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程得兩圓公共弦所在直線方程， 但必須注意只有當(dāng)兩但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù) (2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解； 二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程再用距離公式求解； 二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，

12、 再再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解 3.(1)兩圓相交于兩點(diǎn)兩圓相交于兩點(diǎn) A(1，3)和和 B(m，1)，兩圓兩圓圓心都在直線圓心都在直線 xyc0 上上，則則 mc 的值為的值為_(kāi) (2)求過(guò)兩圓求過(guò)兩圓 x2y225 和和(x1)2(y1)216 的交點(diǎn)且面積最的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程小的圓的方程 解：解： (1)由題意知由題意知， 兩圓公共弦兩圓公共弦 AB 的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為 ym14xm2181， 又因?yàn)閮蓤A圓心都在直線又因?yàn)閮蓤A圓心都在直線 xyc0 上上， 所以兩所以兩直線重合直線重合，

13、 xcm14xm2181， 即方程兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即方程兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，則則 m5，c2，所以所以 mc3.故填故填 3. (2)圓圓 x2y225 和和(x1)2(y1)216 的公共弦的公共弦所在直線的方所在直線的方程為程為 x2y225(x1)2(y1)2160， 即即 2x2y110，過(guò)直線過(guò)直線 2x2y110 與圓與圓 x2y225 的交點(diǎn)的圓系方程為的交點(diǎn)的圓系方程為 x2y225(2x2y11)0，即即 x2y22x2y(1125)0. 依題意依題意，欲使所求圓面積最小欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小只需圓半徑最小，則兩圓的公共則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑弦必為所求圓的直

14、徑，圓心圓心(，)必在公共弦所在直線必在公共弦所在直線 2x2y110 上即上即22110，則則 114，代回圓系方代回圓系方程得所求圓方程為程得所求圓方程為 x1142 y1142798. 探究點(diǎn)四探究點(diǎn)四 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 已知隧道的截面是半徑為已知隧道的截面是半徑為 4.0 m 的半圓的半圓，車輛只能在道車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為一輛寬為 2.7 m、高為、高為 2.5 m 的貨車能不能的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？假設(shè)貨車的最大寬度為駛?cè)脒@個(gè)隧道？假設(shè)貨車的最大寬度為 2 m， 那么要正常駛?cè)朐撃敲匆ｑ側(cè)朐撍淼浪淼溃涇嚨淖畲蟾叨葹槎?/p>

15、少？貨車的最大高度為多少？ 解解 以隧道截面以隧道截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓直，半圓直徑所在直線為徑所在直線為x 軸軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則半圓方程為則半圓方程為 x2y216(y0) 將將 x2.7 代入代入 x2y216(y0)，得：得： y162.72 8.712.5， 即在離中心線即在離中心線 2.7 m 處處，隧道高度高于貨車的高度隧道高度高于貨車的高度， 所以貨車能駛?cè)脒@個(gè)隧道所以貨車能駛?cè)脒@個(gè)隧道 將將 x2 代入代入 x2y216(y0)，得得 y2 3， 所以貨車要駛?cè)朐撍淼浪载涇囈側(cè)朐撍淼溃畲蟾叨葹樽畲蟾?/p>

16、度為 2 3 m. (1)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；然后通過(guò)代將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題； 最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題； 最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義， 得到得到幾何問(wèn)題的結(jié)論幾何問(wèn)題的結(jié)論 (2)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 4.一艘輪船沿直線返回港口的途中一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)接到氣象臺(tái)預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西臺(tái)風(fēng)

17、中心位于輪船正西 70 km 處處，受影響的范圍是半徑受影響的范圍是半徑為為 30 km 的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域，已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北 40 km 處處，如果這艘輪船不改變航線如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？ 解：解：以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向以東西方向?yàn)闉?x 軸建立平面直角坐標(biāo)系軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示如圖所示)，其中取其中取 10 km 為單位長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，則受臺(tái)風(fēng)影響則受臺(tái)風(fēng)影響的的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為 x2y29，港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為港口所對(duì)應(yīng)

18、的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)，輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，0)，則輪船航線所在直線則輪船航線所在直線 l 的方程為的方程為x7y41，即即4x7y280.圓心圓心(0，0)到直線到直線 4x7y280 的距離的距離 d|28|42722865，而半徑而半徑 r3.因?yàn)橐驗(yàn)?dr，所以直線與圓相離所以直線與圓相離，所所以以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響 1兩圓的公切線問(wèn)題兩圓的公切線問(wèn)題 (1)公切線的條公切線的條數(shù)判斷因兩圓位置關(guān)系變化而變化數(shù)判斷因兩圓位置關(guān)系變化而變化 兩圓外離時(shí)有兩圓外離時(shí)有 4 條條，其中其中 2 條內(nèi)公切線條內(nèi)公切線，

19、2 條外公切線；條外公切線； 兩圓外切時(shí)有兩圓外切時(shí)有 3 條條，其中其中 1 條內(nèi)公切線條內(nèi)公切線，2 條外公切線；條外公切線； 兩圓相交時(shí)有兩圓相交時(shí)有 2 條條，只有只有 2 條外公切線；條外公切線； 兩圓內(nèi)切時(shí)有兩圓內(nèi)切時(shí)有 1 條條，只有只有 1 條外公切線；條外公切線； 兩圓內(nèi)含時(shí)無(wú)公切線兩圓內(nèi)含時(shí)無(wú)公切線 (2)公切線的求法：公切線的求法：由于公切線與兩圓都相切由于公切線與兩圓都相切，所以圓心到切線所以圓心到切線的距離都等于圓的半徑的距離都等于圓的半徑，故可設(shè)公切線方程為故可設(shè)公切線方程為 ykxb(注意斜注意斜率不存在的情況率不存在的情況)由兩圓心到直線的距離分別等于兩圓半徑由

20、兩圓心到直線的距離分別等于兩圓半徑，聯(lián)立方程組即可求解聯(lián)立方程組即可求解 (3)公切線的長(zhǎng)度：公切線的長(zhǎng)度： 一定要結(jié)合幾何圖形一定要結(jié)合幾何圖形， 利用構(gòu)造直角三角形利用構(gòu)造直角三角形，兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離公式等方法靈活求解公式等方法靈活求解 2兩圓相交時(shí)公共弦問(wèn)題兩圓相交時(shí)公共弦問(wèn)題 (1)設(shè)圓設(shè)圓 O1：x2y2D1xE1yF10， 圓圓 O2：x2y2D2xE2yF20. 則兩圓相交公共弦所在直線方程為：則兩圓相交公共弦所在直線方程為： (x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，即即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0. (2)求兩圓的公共弦長(zhǎng)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直

21、線與圓相交求相交弦長(zhǎng)問(wèn)求兩圓的公共弦長(zhǎng)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求相交弦長(zhǎng)問(wèn)題題，從而得以解決從而得以解決，如圖如圖，利用利用圓圓 O1，首先求出首先求出 O1點(diǎn)到相交弦點(diǎn)到相交弦所在直線的距離所在直線的距離 d，而而|AC|12|AB|， 所以所以14|AB|2r21d2，即即|AB|2 r21d2，從而得以解決從而得以解決 3與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用及幾何證明問(wèn)題中坐標(biāo)系的建立與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用及幾何證明問(wèn)題中坐標(biāo)系的建立 要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 也就是說(shuō)也就是說(shuō)， 建立的坐標(biāo)系使曲線方程越簡(jiǎn)建立的坐標(biāo)系使曲線方程越簡(jiǎn)單越好單越好， 如在圓中建立坐標(biāo)系如在圓中建立坐標(biāo)系， 盡量使圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)或坐標(biāo)軸盡量使圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上上 1已知圓已知圓 x2y24x6y0 和圓和圓 x2y26x0 交于交于 A、B 兩兩點(diǎn)點(diǎn)，則則 AB 的垂直平分線方程是的垂直平分線方程是( ) Axy30 B2xy50 C3xy90 D4x3y70 解析：解析：