1、正弦定理和余弦定理學習目標1 .理解正弦定理、余弦定理的公式；2 .利用角邊互化的方法解決一些三角形變量問題（最值（值域） 問題）.知識摘要正、余弦定理在4ABC中，若角A, B, C所對的邊分別是a,b, c, R為 ABC外接圓的半徑，則定理正弦定理余弦定理內容abc一人=- D= - c=2R sin Asin B sin Ca2= b2 + c22bccosA;b2 = c2+ a22cacosB；c2 = a2 + b22abcosC常見變形(1)a=2Rsin A, b=2RsinB, c=2RsinC;(2)sin A=od? sin B= OD? sin C = 2R2R2R&

2、#39;(3)a : b : c= sinA : sinB : sinC；(4)asin B = bsin A, bsin C= csin B,cos A=b2 + c2 a2 2bc 'cos B =c2 + a2 b22ac ；cos C =iasin C = csin Aa2+b2-c22ab重難點指導一、利用正弦定理解三角形例1在 ABC中，已知a = 2, b=，6, A=45°,則滿足條件的三 角形有（）A.1個 B.2個C.0個D.無法確定解析：因為一= 所以sinB = V6>=V3.sin A sin B2因為a<b,所以A<B,故角B有兩

3、個取值，所以滿足條件的三角形有2個.故選B.【感悟提升】判斷三角形解的個數的兩種方法：代數法：根據大邊對大角的性質、三角形內角和公式、正弦函數的值域等判斷.幾何圖形法：根據條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的 個數.二、利用余弦定理解三角形例2在4ABC中，三邊上的高依次為則4ABC為（）13 5 11A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形解析：設4ABC的內角A、B、C的對邊分別為a, b, c, 12 113,5,11分別為a, b, c上的高.根據三角形的面積相等可得a 1 b 1 c 1, 13511所以可設 a=13x, b=5x,c=11x(x>0

4、),2.22、2由余弦定理得cosA(5 11 132x 。，則A ,，一 2 5 11x22所以三角形為鈍角三角形，故選 C.【感悟提升】余弦定理及其變形在結構上有所不同，因此在應用它們解三角形時要根據條件靈活選擇.三、利用正、余弦定理同時解三角形例3已知a,b,c分別為ABC內角A,B,C的對邊，sin2 B 2sin Asin C ,且 a c,cos B '，貝U a.4 c 解析：因為sin2B 2sinAsinC,所以由正弦定理得b2 2ac.又因為a c,cos B -,所以余弦定理得b2 a2 c2 2ac - 2ac , 442化為2 a 5 - 2 0,解得g2.

5、ccc課本再探例(教材習題1.1B組第2題)在ABC中，如果有性質 acosA=bcosB,試問這個三角形的形狀具有什么特點？ 解：由acosA=bcosB及正弦定理得sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A =180° -2B,所有這個三角形是等腰三角形或直角三角形.【感悟提升】判斷三角形形狀的方法：( 1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀 ABC 為 直 角 三 角 形a2=b2+c2 或b2=a2+c2 或c2=a2+b2；4ABC為銳角三角形a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2；4ABC為鈍角三角形a2+b

6、2vc2或b2+c2va2或c2+a2vb2； 按等腰或等邊三角形的定義判斷.( 2)化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用A+B+C=180°這個結論.若cosA=0,則A=90° , ABC為直角三角形； 若cosAv 0,則4 ABC為鈍角三角形； 若cosA>0且cosB>0且cosC>0,則AABC為銳角三 角形 .【 變式探究】變式1(由邊化角)設 ABC 的內角A， B，C 所對的邊分別為 a, b, c,若 bcos C+ccos B= asin A,則AABC 的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定解析：由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B = sin2A, 所以 sin(B + C) = sin2A,即 sin(180° A) = sin2A, sin A=sin2A. 因為 AG (0° , 180° ),所以 sin A>0,所以 sin A=1,即 A=90故選B.變式2（由角化邊）在ABC中，若sin2 B sin2 C sin2 A ,貝U ABC 的形狀是（）A.銳角三角形 B .直角三角形 C .鈍角三角形 D.不能確定解析：根據正弦定