1、高等數學高等數學第四章總結第四章總結洛必達法則洛必達法則rolle定理定理lagrangelagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 cauchycauchy中值定理中值定理taylortaylor中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對對數數令令gfy 單調性單調性, ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點拐點, ,函數函數圖形的描繪圖形的描繪導數的應用導數的應用一、主要內容一、主要內容1 1、羅爾中值定理、羅爾中值定理羅爾羅爾（r rolleolle）定理）定理

2、如果函數如果函數)(xf在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且在區間端且在區間端點的函數值相等，即點的函數值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba , ,使得函數使得函數)(xf在該在該點的導數等于零，點的導數等于零， 即即0)( f 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,那那末在末在),(ba內至少有一點內至少有一點

3、)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的精確表達式的精確表達式增量增量 y 有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西（柯西（cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf及及)(xf 在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且且)(xf 在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內至少內至少 有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( ffafbfafbf 成立成立. . 推論推論.)

4、(,)(上是一個常數上是一個常數在區間在區間那末那末上的導數恒為零上的導數恒為零在區間在區間如果函數如果函數ixfixf4 4、洛必達法則、洛必達法則定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()( 注意：注意：洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.泰勒泰勒(taylor)(

5、taylor)中值定理中值定理 如果函數如果函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區間的某個開區間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階的導數階的導數, ,則則當當x在在),(ba內時內時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一的一個個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xrn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之間之間與與在在其中其中xxxxnfxrnnn 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式)()!12()

6、1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 6 6、導數的應用、導數的應用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上單調減少上單調減少在在，那末函數，那末函數內內如果在如果在上單調增加；上單調增加；在在，那末函數，那末函數內內如果在如果在可導可導內內上連續，在上連續，在在在設函數設函數baxfyxfbabaxfyx

7、fbababaxfy (1) 函數單調性的判定法函數單調性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個點的一個點內內是是內有定義內有定義在區間在區間設函數設函數xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義(2) 函

8、數的極值及其求法函數的極值及其求法 設設)(xf在在點點0 x處處具具有有導導數數,且且在在0 x處處取取得得極極值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數做函數叫叫的實根的實根即方程即方程使導數為零的點使導數為零的點xfxf 函數的極大值與極小值統稱為函數的極大值與極小值統稱為極值極值,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.極值是函數的局部性概念極值是函數的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統稱為駐點和不可導點統稱為臨界點

9、臨界點. .(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, )(xf符符 號相同號相同,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設設)(xf在在0 x處具有二階導數處具有二階導數,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)當當0

10、)(0 xf時時, 函數函數)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當當0)(0 xf時時, 函數函數)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數求導數;0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點判斷極值點該點的符號該點的符號在在在駐點左右的正負號或在駐點左右的正負號或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值步驟步驟: :1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比比較大小較大小,

11、大的那個就是最大值大的那個就是最大值,小的那個就是最小的那個就是最小值小值;注意注意: :如果區間內只有一個極值如果區間內只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值問題最大值、最小值問題實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意: :1)建立目標函數建立目標函數;2)求最值求最值;（或最?。┲担ɑ蜃钚。┲岛瘮抵导礊樗蟮淖畲蠛瘮抵导礊樗蟮淖畲簏c，則該點的點，則該點的若目標函數只有唯一駐若目標函數只有唯一駐(4) 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點定義定義;)(,2)()()2(,)(212121的的上的圖形是（向上）凹上的圖形是（向

12、上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點上任意上任意如果對如果對上連續上連續在區間在區間設設ixfxfxfxxfxxiixf ;)(,2)()()2(,212121的的上的圖形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱恒有恒有上任意兩點上任意兩點如果對區間如果對區間ixfxfxfxxfxxi ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續內連續在在如果如果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的

13、上的圖形是凹的在在則則內內若在若在導數導數內具有二階內具有二階在在上連續上連續在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 連續曲線上凹凸的分界點稱為連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內內存存在在二二階階導導數數 , 則則 點點 )(,00 xfx是是 拐拐 點點 的的 必必 要要 條條 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內二階可導的鄰域內二階可導在在設函數設函數;)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(00

14、0不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點曲線曲線是是那末那末而而且且的鄰域內三階可導的鄰域內三階可導在在設函數設函數xfyxfxxfxfxxf 利用函數特性描繪函數圖形利用函數特性描繪函數圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數確定函數)(xfy 的定義域的定義域,對函數進行對函數進行奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態的討奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態的討論論,求出函數的一階導數求出函數的一階導數)(xf和二階導數和二階導數)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在

15、函函數數定定義義域域內內的的全全部部實實根根，用用這這些些根根同同函函數數的的間間斷斷點點或或導導數數不不存存在在的的點點把把函函數數的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個個部部分分區區間間.(5) 函數圖形的描繪函數圖形的描繪第三步第三步 確定在這些部分區間內確定在這些部分區間內)(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點凸與拐點（可列表進行討論） ；可列表進行討論） ；第四步第四步 確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢他變化趨勢;第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( x

16、f和和0)( xf的的根根對對應應的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結結果果畫畫出出函函數數的的圖圖形形.例例1 1.65,6sinln的正確性的正確性上上在在驗證羅爾定理對驗證羅爾定理對 xy解解), 1, 0(,22: kkxkd.65,6上連續上連續且在且在 內處處存在內處處存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并且并且2ln 二、典型例題.65,6sinln的條件的條件上滿足羅爾定理上滿足羅爾定理在在函數函數 xy, 0cot xy由由內顯然有解內顯然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)

17、( f則則這就驗證了命題的正確性這就驗證了命題的正確性.例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數為的次數為分子關于分子關于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使內存在不同的內存在不同的在在對任意給定的正數對任意給定的正數試證試證且且內可導內可導在在上連續上連續在在設設證證,均為正數均為正數與與ba10 ba

18、a,1 , 0)(上連續上連續在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存在存在有有上分別用拉氏中值定理上分別用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 證明不等式證明不等式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf

19、則則, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數若函數證證,1 , 00 x設設有有展成一階泰勒公式展成一階泰勒公式處把處把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則有則有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 2020

20、00)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到則有則有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由 x例例6 6.,12并作函數的圖形并作函數的圖形漸近線漸近線拐點拐點區間區間凹凸凹凸極值極值的單調區間的單調區間求函數求函數 xxxy解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數奇函數y

21、)2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點的橫坐標得可能拐點的橫坐標,lim)3( yx;沒有水平漸近線沒有水平漸近線,lim01 yx又又,lim01 yx;1的鉛直漸近線的鉛直漸近線為曲線為曲線 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的鉛直漸近線的鉛直漸近線為曲線為曲線 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的斜漸近線的斜漸近線為曲線為曲線直線直線

22、yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分點分點和可能拐點的橫坐標為和可能拐點的橫坐標為駐點駐點以函數的不連續點以函數的不連續點 xxxx列表如下列表如下:x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大值極大值0拐點拐點00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3( 3xy極大值極大值, 323 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐點為拐點為xyoxy 1 1作圖作圖一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 一元函數微分學的三個中值定理的結論都有一個一元函數微分學的三個中值定理的結論都有一個共同點，即（共同點，即（ ） （a a）

23、它們都給出了點的求法它們都給出了點的求法 . . （b b） 它們都肯定了點一定存在，且給出了求的它們都肯定了點一定存在，且給出了求的方法方法. . （c c） 它們都先肯定了它們都先肯定了 點一定存在， 而且如果滿足定點一定存在， 而且如果滿足定理條件，就都可以用定理給出的公式計算的值理條件，就都可以用定理給出的公式計算的值 . . （d d） 它們只肯定了的存在，卻沒有說出的值是它們只肯定了的存在，卻沒有說出的值是什么，也沒有給出求的方法什么，也沒有給出求的方法 . . 測測 驗驗 題題2 2、 若若)(xf在在),(ba可導且可導且)()(bfaf , ,則則（ ）（a a） 至少存在一

24、點至少存在一點),(ba ，使，使0)( f；（b b） 一定不存在點一定不存在點),(ba ，使，使0)( f；（c c） 恰存在一點恰存在一點),(ba ，使，使0)( f；（d d） 對任意的對任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可導，且方程可導，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 兩個不同的根兩個不同的根 與與 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（a a） 必有；必有；（b b） 可能有；可能有；（c c） 沒有；沒有；（d d） 無法確定無法確定. . 4 4、如果、如果)(xf在在,ba連續

25、，在連續，在),(ba可導，可導，c為介于為介于 ba,之間的任一點，那么在之間的任一點，那么在),(ba（ ）找到兩點）找到兩點 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （a a）必能；）必能； （b b）可能；）可能； （c c）不能；）不能； （d d）無法確定能）無法確定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上連續，在上連續，在),(ba內可導，且內可導，且 ),(bax 時，時，0)( xf，又，又0)( af, ,則則（ ）. .（a a） )(xf在在,ba上單調增加，且上單調增加，且0)( bf；（b b） )(xf在在,ba上單調增

26、加，且上單調增加，且0)( bf；（c c） )(xf在在,ba上單調減少，且上單調減少，且0)( bf；（d d） )(xf在在,ba上單調增加，但上單調增加，但)(bf的的 正負號無法確定正負號無法確定. . 6 6、0)(0 xf是可導函數是可導函數)(xf在在0 x點點處有極值的處有極值的（ ）. .（a a） 充分條件；充分條件；（b b） 必要條件必要條件（c c） 充要條件；充要條件；（d d） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 條件條件. . 7 7、若連續函數在閉區間上有唯一的極大值和極小、若連續函數在閉區間上有唯一的極大值和極小 值，則值，則（ ）. . （a a）極大值

27、一定是最大值，且極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值； （b b）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值； （c c）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；最小值； （d d）極大值必大于極小值）極大值必大于極小值 . . 8 8、若在、若在),(ba內，函數內，函數)(xf的一階導數的一階導數0)( xf， 二階導數二階導數0)( xf, ,則函數則函數)(xf在此區間內在此區間內( ( ). ).（a a） 單調減少，曲線是凹的；單調減少，曲線是凹的；（b b） 單調減

28、少，曲線是凸的；單調減少，曲線是凸的；（c c） 單調增加，曲線是凹的；單調增加，曲線是凹的；（d d） 單調增加，曲線是凸的單調增加，曲線是凸的. . 9 9、設、設0)(lim)(lim xfxfaxax，且在點，且在點a的某的某 鄰域中鄰域中（點（點a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xf都存在，都存在， 且且0)( xf, ,則則)()(limxfxfax存在是存在是)()(limxfxfax 存在的存在的（ ）. . （a a）充分條件；）充分條件； （b b）必要條件；）必要條件； （c c）充分必要條件；）充分必要條件； （d d）既非充分也非必要條件）既非充分也非必要條件 . . 10 10、 xxxcos11coshlim0（ ）. . （a a）0 0； （b b）21 ； （c c）1 1； （d d）21. .二、求極限：二、求極限： 1 1、22limaxaxaxax （0 a） ；） ； 2 2、310)sin1