1、第三章3-1已知二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gb36S2 9s 361試求單位階躍響應(yīng)的tr , tm , 5 % , ts的數(shù)值解：題意分析這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標的例題。解法是把給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標準形式進行對比,求出n參數(shù)，而后把 n代入性能指標公式中求出tr , tm ,%，ts 和N的數(shù)值。（弧度/秒）tg0.750.663.97（弧度/秒）1寸1241.410.72 (弧度)上升時間trtr3.14 O.720.61 秒3.97峰值時間tmtm3.97過度過程時間tsts40.75 60.89 秒(2%)ts0.70 秒0.75 6(5 %)超調(diào)量5%Il12

2、% e “100%0.75e 066100% 2.8%3-2設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)s(s 1)試求系統(tǒng)的性能指標，峰值時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。解：題意分析這是一道給定了開環(huán)傳遞函數(shù)，求二階系統(tǒng)性能指標的練習(xí)題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式與參數(shù)n）的對應(yīng)關(guān)系,然后確定用哪一組公式去求性能指標。根據(jù)題目給出條件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為GB(s)逬 JX(s) s s 1與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式S 2 nS2相比較可得nn 1，即2=1,=。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。3.63秒故，單位階躍響應(yīng)的性能指標為tm 一n100%16.4%ts(2%)40.5 1ts(5%)

3、30.5 1假設(shè)該系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的超調(diào)量%=25%，峰值時間tm =3-3如圖1所示系統(tǒng),圖1解：題意分析這是一道由性能指標反求參數(shù)的題目，關(guān)鍵是找出:K,t與n的關(guān)系；% ,tm與n的關(guān)系；通過n把% , t m與K, t聯(lián)系起來。由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為GB(S)YS RKK( s1)S2(1 K )s K與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式相比較,可得由題目給定:/l 100%25%即e *兩邊取自然對數(shù)可得0.25ln0.251.38631.386321.386320.4依據(jù)給定的峰值時間:tm0.5 (秒)所以6.85 (弧度 /秒)故可得246.95473-4已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖

4、2所示，若x(t) 2 1(t)時，試求:(1)當T =0時，系統(tǒng)的tr , tm , ts的值。當tM 0時，若使5% =20%,T應(yīng)為多大。圖2解：題意分析這是一道二階系統(tǒng)綜合練習(xí)題。(1)練習(xí)輸入信號不是單位階躍信號時，求性能指標。關(guān)鍵是求出,。的求法與例4 3-3相似。(1) 由結(jié)構(gòu)圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為GB(s)迪X(s) s 2s 50可得507.07(弧度/秒)0.14 ;2 n2-81.951.43 弧度2由于X(s)輸出的拉氏變換為s丫(S)s2則拉氏反變換為y(t)e nt2sin( dt21# /"x A 0.9951.01esin (7t81.95 )e-1T1

5、00%0.44 e 099100%64%trn V1二31 0.24 秒27.07 0.99tm3.14tsn p1327.070.99 O.45 秒ts(2)當tM0.14 7.070.14 7.070時，閉環(huán)傳遞函數(shù)2.78 秒(5%)3.71 秒(2%)Gb(s)50Y(s) _X(s) s2(20.5 )s 507507.07 (弧度/秒)0.5 得2( n 1)0.5IL 2e 以 100%20%Il12e0.2兩邊取自然對數(shù)(ln 0.21.61,可得J12石6,2 0.462(0.46 7.07 1)8.73ts0.530.46 7.070.92 秒(2%)3-5其輸出隨時間變化

6、的函數(shù)關(guān)系叫時間響應(yīng)。(1) 什么叫時間響應(yīng) 答：系統(tǒng)在外加作用的激勵下，(2) 時間響應(yīng)由哪幾部份組成各部份的定義是什么答：時間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后， 系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱瞬態(tài)響應(yīng)或者動態(tài)響應(yīng)或稱過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后，時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。(3) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線各部分反映系統(tǒng)哪些方面的性能答：時間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相對 穩(wěn)定性及響應(yīng)的快速性；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的準確性或穩(wěn)態(tài)誤差。時域瞬態(tài)響應(yīng)性能指標有哪些它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能答：延遲時間

7、td;上升時間tr ；峰值時間tm ；調(diào)節(jié)時間ts ；最大超調(diào)量.td ,tr,tm,ts反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度,%反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。3-6設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為s4 6s312s211s試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。s41126s361102 s6136(同乘6)1 s4550(同乘61)0 s36田于第一列各數(shù)均為止數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)疋。也可將特征方程式因式分解為(S2)(s3)(s2s1) 0根 s,2,S23,s3,41 j3均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-7設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為S3 2s2 s 20解：列勞斯表3s2s1s0s將特征

8、方程式因式分解為根為(s21)(s 2)0s1,2 j1,s32系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3-8單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)s(0.1s 1)(0.25s1)試求k的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程:s(0.1s 1)(0.25s20.35s30.025s列勞斯表3s2s0.0251)0.350.350.02K系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件K>0得 K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0<K<14。3-9(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義是什么答：系統(tǒng)受到外界擾動作用后，其輸出偏離平衡狀態(tài)，當擾動消失后，經(jīng)過足夠長的 時間，若系統(tǒng)又恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反

9、之系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么答：系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點均位于 半部。(3) 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么 答：輸出端定義誤差 e(t):希望輸出與實際輸出之差。輸入端定義誤差反饋信號之差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t)，當178時的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差S平面的左e(t);輸入與主,即3-10已知單位反饋隨動系統(tǒng)如圖3所示。若K 16 , T 0.25s。試求:(1)典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)暫態(tài)特性指標M P和ts(5%)；欲使Mp 16%,當T不變時,K應(yīng)取何值。R(s)Ks(Ts 1)C(s)-I>解:已知K、T值，由上式可得j 16

10、65;0.25于是，可ts30.25 8為使畔,8(rad / s)._12/KTf0.252JkT100%1.5s(5%)16 %，由公式可求得0.25e 祈 0.252100%47%0.5，即應(yīng)使由增大到,此時圖3隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K /T2 1 s s T與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較244 0.25 0.253-11控制系統(tǒng)框圖如圖 4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量M P 9.5%，且峰值時間tp 0.5s。試確定K1與的值,并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間tr和調(diào)整時間ts(* 2 1%)。-651圖4控制系統(tǒng)框圖10Ki解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳

11、遞函數(shù)為:C(s) _R(s) s2(1 10 )s 10K1系統(tǒng)的特征方程為s2(1 10)s10K1。所以由題設(shè)條件:Mp100%0.095可解得0.6,Ki2n10此6.15,trn y/110K17.854，進而求得2 n 110況0.35sts(2%)0.84cos 10.85n2,2 n 11053.100.5s0.9273rad調(diào)整時間3-12設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為1 . s°2s3 3s2 4s 502.s42 s3s2 2s 103. s5s4 3s3 3s2 2s 2試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判

12、斷穩(wěn)定性。 1.列勞斯表如下s4s3 s2s1s0勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號改變兩次, 7 -6 7 5,所以系統(tǒng)有兩個根在 s平面的右半平面。22.s4列勞斯表如下1S3s2 s1 s0 由于0( £ )2-2/ £1£是很小的正數(shù),素符號共改變兩次， 3 列勞斯表如下S51S41S30由上表可以看出， 方程式為£行第一列元素就是一個絕對值很大的負數(shù)。 所以系統(tǒng)有兩個位于右半s平面的根。將輔助方程式整個勞斯表中第一列元330s3行的各項全部為零。 為了求出s3各行的元素，將S4行的各行組成輔助A(s)= s4+

13、3s2+2s0A(s)對s求導(dǎo)數(shù)得dA(s) 34sds用上式中的各項系數(shù)作為6sS5s4S3s3行的系數(shù)，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為2s2s1s03/22/32從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號沒有改變，說明系統(tǒng)沒有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式 A(s)= s4+3s2+2(s2+1) (s2+2) =0可解得系統(tǒng)有兩對共軛虛根s1,2=± j ,s3,4=± j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3-13已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征-KC(s)*s(s 1)(s 2)R(s)方程式，然后再

14、用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。圖5控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K(S)2s3 3s22s K其閉環(huán)特征方程式為s3 + 3s2 + 2s+ K =0列勞斯表為:S3s2s1s03(6- K )/3K為使系統(tǒng)穩(wěn)定,必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即K 0和6 K 0，因此，K的取值范圍為0K 6，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為K.=6。3-14已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。10(1)G(S) s(0.1s 1)(0.5s 1)G(s)(2)210(S a) (a 0.5)s2(s 1)(s 5)試求:1 靜態(tài)位置誤差系數(shù) Kp靜態(tài)速度誤差系數(shù) Kv和靜態(tài)加速度誤差系數(shù) Ka

15、 ；2 求當輸入信號為r（t）1（t） 4tt 2時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（S）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為gg)2001 G(s) s3 12s2 20s 200其閉環(huán)特征方程為 S12s220s 200 0。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為I型,可以求得靜態(tài)誤差為:Kv lim sG(s) lims 0s 0Ka sim0s2G(s)smKp啊*）1010Sim0 s(0.1s 1)(0.5s 1)s(0.1s 1)( 0.5s 1)100s2s(0.1s 1)(0.5s所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下:ess1421 Kp KvKa101) 0判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。（S

16、）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為GG)1 G(s)10(s 0.5)432s 6s 5s 10s 5432其閉環(huán)特征方程為 s 6s 5s 10s50。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為n型,可以求得靜態(tài)誤差為：KPlim G(s)s 0lim嚴込 s 0 s2(s 1)(s 5)Kvs叫sG（s）S叫s10(s2 s0.5)(s 1)(s 5)Kasims2G(s)sm/10(s0.5)s2 (s 1)(s 5)所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下:2 2 Ka14ess 1 Kp Kv注意：該例中若取a 2，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù),也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。第四章4-1 .

17、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）Z試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 解：按下述步驟繪制概略根軌跡(1)系統(tǒng)開環(huán)有限零點為1,開環(huán)有限極點為Pi0, P22, P3實軸上的根軌跡區(qū)間為3, 2, 1,0。根軌跡的漸近線條數(shù)為2，漸近線的傾角為190, 290，漸近線與實軸的交點為mZii 11確定分離點。分離點方程為 -d-，用試探法求得d12.47 。閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如下圖1Root LocusSO24-2.5-2-1-0.5Real Axis4-2.設(shè)某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）H（s）盤弋，試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：漸近線與實軸的交點10 124.5漸近線與實軸正方向的夾角為2

18、分離點與匯合點：由s (s 10)dss(2s2 13s 20)0(s 1)2得 2s2 13s 200所以，81,22.5或 4。根軌跡如下圖童去婦c匚可鄆UJ_4-3.以知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H (s) 試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。s(s 4)(s2 4s 20)解：(1)系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為0，-4，j41實軸上的根軌跡區(qū)間為4,0。漸近線有四條a 2, a 45o,135 ,225 ,315 。根軌跡的起始角。復(fù)數(shù)開環(huán)極點p3,42 j4處P390,P490d 2 j4 01確定根軌跡的分離點。由分離點方程-d d 4 d 2 j4解得4 2,d2,32 jJ6時

19、，K=100, d1，d2，ds皆為根軌跡的分離點。(6)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 D(s) s4 8s3 36s2 80s K 0260 0。列寫勞斯表，可以求出當K=260時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為A(s) 26s2解得根軌跡與虛軸的交點J10。如下圖3J-，試繪4-4.單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為.(S)魯，k的變換范圍為0制系統(tǒng)根軌跡。-2。解：分析知道，應(yīng)繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則確定根軌跡的參數(shù): 統(tǒng)開環(huán)有限零點為1，開環(huán)有限極點為 0，實軸上的根軌跡區(qū)間為2,0,1,漸近線有一條a 0確定根軌跡的分離點，由分離點的方程d-G(s)dsK(s22s) K(s 1)(2s 2)2 2s (s 2)0，解得d1 2.732, d20.732(5) 確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(S) s2 2s Ks0。當k=-2時，閉環(huán)特征方程的根為3 2 j 。如下圖4：mw uuv' 111- !1111-!Jj1- . 11i"1/ 11fir1i2匚1?三i5ft"圖4*14-5 .以知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)1-(s a)4, a的變化范圍為1)s2(s0，試繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 D(S) s3s2-a 04即有一3s1-a410。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為1 -S 4G(s