1、 遞推數列通項公式之的題根研究055350 河北隆堯一中 焦景會 電話 題根 數列 滿足，求通項公式。分析 此為 型遞推數列，構造新數列，轉化成等比數列求解。解答 在 兩邊加1，得， 則數列 是首項為2，公比為2的等比數列，得 ，即 為所求。規律小結 型遞推數列，當p=1時, 數列為等差數列；當時,數列為等比數列。當時，一定存在 滿足 ， 從而得 ， 此為函數的不動點。 由 ，得是首項為 ，公比為p的等比數列，于是 , 即 ，將 代入上式， 得通項公式為 （#） 變題1 數列 滿足， ，求通項公式 。解答 將已知關系式取倒數得 ， 由（#）式 得 ，所以。規律小結 型遞推數列的通項公式的求法：

2、 令 ，得 或 為兩不動點。由于，設，則 ，此為模型。 同樣， 也可化為 模型，由（#）式 可求得。更為特殊的是p=s 時，, 設 則 是等差數列 ，故常取的倒數求解。變題2 （2006年江西理第22題）已知數列 滿足， 求通項公式。解答 ，即，又，得 ，所以 ，得 。 變題3 已知數列中，, 求的通項公式。分析 將題中遞推式變形 ，利用錯位相消法。解答 將題中遞推式表示為：， 于是 ，各式相加得 得通項公式為 。規律小結 對于型遞推數列，設 則稱數列是差數列， 則 得 所以的通項公式為 （I）. 當n=1時，也滿足(I)式。此法稱為累加錯位相消法。 變題4 數列滿足 , ， 求 。分析 遞推

3、式兩邊同除以 ，經過變量替換，可化為型遞推式。解答 在 兩邊同除以 ， 得 ，令 ，則 , 于是 則 所以 規律小結 對于型遞推數列，當f(n)是常數q時，即為模型。當f(n)是變量時，兩邊同除以 , 得 , 令, 得 求出 的通項公式，從而得。變題5（2006年全國理第22題）設數列前n項和為，n=1,2,，求通項 。解答 。因為 ，所以由題設得：，即，得 。規律小結 根據數列性質可得出遞推關系，然后再根據結構特征求通項公式。 變題6 數列 滿足，求通項公式。分析 觀察 與、與 存在的關系，思考解答方法。解答 ，各式相乘得 。規律小結 對于型遞推式， 1、若f(n)為常數, 則為等比數列。2

4、、若f(n)為變數，通項公式求解方法如下：各式兩邊分別相乘，得 （II）；當n=1時, (II)仍成立。此法稱為累積錯位相消法求數列通項。 變題7 數列中，令， （1）求數列的通項公式；（2）求。分析 利用對數運算法則，變形轉化。解：（1）由已知得 ，得。（2） 由 ， 得 規律小結 對于遞推式，當p=1時，為等比數列。當 時，對遞推式兩邊取常用對數，得, 令,得 ，此為模型。 連接練習1、 數列滿足 , ， 求 。 2、 函數 ，數列 滿足， ，（1）求的通項公式 ；（2）設 ，求 。 3、 在數列中，, , 求通項公式。4、 數列滿足 , ， 求 。5、 數列的前n項和 ，, 求 。6、 在數列 中， ， ，求 。 7、 數列中， ，求 。8、（05年重慶文22）在數列中，, , 記，求通項公式及數列的前n項和。9、（05年山東21）數列的首項，前n項和 ，且，證明數列 是等比數列。參考答案1、 由 得 ，可得；或由求。 2、 ；。 3、 兩邊同除以 n(n+1) , 得 ，令 ，得 ， 于是 ， 4、兩邊同除以，得，即，得 。5、由, 得 ， 。 6、 取對數，令，則 ，且 ， ，。7、 令 ，得 ，即兩不動點。 由 。令， 則 ， 得，所以。