1、第35課等比數(shù)列及其前n項和最新考綱內(nèi)容要求ABC等比數(shù)列Va1 anq1 q抓基礎自主學習 I理教材雙基自螢團評an+ 2k, an+ 3k,為等比數(shù)列，公比為qt學情自測，T 1. （思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“V”，錯誤的打“X” ）滿足an+1 = qan（ n N +, q為常數(shù)）的數(shù)列an為等比數(shù)列.（）G為a, b的等比中項？ G2 = ab.（ ）（3）若 an為等比數(shù)列，bn= a2n-1 + a2n，貝擻列bn也是等比數(shù)列.（）n項和為Sn=（4）數(shù)列an的通項公式是an = an,則其前答案（1）x X X X2. 已知等比數(shù)列an的公比為一2則+a：+a:

2、的值是.a1 + a3 + a5a1 + a3 + a52 = 1 = 2.a2 + a4+ a6 a1 + a3 + a53. （2017揚州期末）已知等比數(shù)列an滿足a2 + 2a4, a3= a：,則該數(shù)列的 前5項和為.31an是等比數(shù)列，a2 + 2a1 = 4, 由2a3 = as,a1 2 + q = 4, 得 得 q22=a1q4,a1= 1, 解得q = 2.55-a1 q ）門一2 ）-S5= 31.1q 124. （教材改編）在 9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列, 則這兩個數(shù)為.27,81設該數(shù)列的公比為q,由題意知，33243= 9 X q , q

3、= 27,.q = 3.插入的兩個數(shù)分別為9X 3 = 27,27X 3 = 81.5. 在數(shù)列an中，a1 = 2, an+1 = 2an, Sn 為an的前 n 項和.若 Sn= 126,則6.ai = 2, an+1 = 2an,數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.n212又 VSn= 126,126,解得 n= 6. =1-2明考向題型突破| 析典例探求規(guī)鋰方法201*15111等比數(shù)列的基本運算1WV *W WW?W W W V例 (1)已知Sn是各項為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和，32 84= 16, S3 =7,貝a8=.(2)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1 + a4=

4、9, a2a3 = 8,則數(shù)列an的前n 項和等于:(1) 128 (2)2n 1 -an為等比數(shù)列，a2a4= 16, /-a3 = 4, va3= aq2= 4,a1(1 q2)422S3= 7,S2= 3,.q2(1 q )= 3(1 q)，即 3q 4q 4 = 0,1 qq2q|= 3或 q = 2.tan0,.q = 2,貝U a1 = 1 ,-a8= 27= 128.a1 + a1q3= 9,(2) 設等比數(shù)列的公比為q,則有2 3a1= 1,Ia1 q3= 8,a1 = 8,或 1q = 2.“ = 2n 1.1 2a1 = 1,又an為遞增數(shù)列，lq = 2,規(guī)律方法1等比數(shù)

5、列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1, n, q,an, Sn, 般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應用.2在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應根據(jù)公比q的情況進行分類討論，在運算過程中，應善于運用整體代換思想簡化運算.變式訓練1 在等比數(shù)列an中，a3= 7,前3項和S3= 21,則公比q的值為:(2)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若27a3-ae= 0,則至=.【導學號：62172190】1aq2= 7,(1) 1或一2 (2)28 (1)根據(jù)已知條件得2戶 + a1q + a1q = 21,1 + q+ q2電得一q2二3.整理得 2q2-q- 1= 0,1解得q = 1或q=

6、2*(2) 由題可知an為等比數(shù)列，設首項為a1,公比為q,所以a3= a1q2, a6=5 25a1 1 qa1 1 3a1q，所以 27a1q = a1q，所以 q = 3,由 Sn=，得 S6=, S3=1 q1 3a1 1 - 331 3a1 1 3 i 1 31 3 a1 1 328.L 5呢 等比數(shù)列的判定與證明卜例設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1= 1, Sn+1 = 4an + 2.(1)設bn= an +1 2an,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式.解(1)證明：由 a1 = 1 及 Sn+1 = 4an + 2,有 a1 + a2= S2= 4a1

7、+ 2,32 = 5,.b1= a2 2a1 = 3.Sn+ 1 = 4an + 2, 又S = 4an-1 + 2 n2 ,，得 an+1 = 4an- 4an-1 （n2）,-an+1 2an= 2（an 2an1）（n2）.bn = an+1 2an ,.bn = 2bn1（ n2）,故bn是首項b1 = 3,公比為2的等比數(shù)列.由（1）知 bn= an+1 2an = 3 2n 1,.an+1 an 3尹-或=4，故器是首項為2,公差為4的等差數(shù)列.勇=2+ （n 1）3 3n 1 =4，故 an= （3n 1） 2n2.規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法an+ 1(1) 定義法：若= q(q

8、為非零常數(shù)，n N +)，則an是等比數(shù)列.an(2) 等比中項法：若數(shù)列an中，anM0，且an+1 = an an+2(n N+)，則數(shù)列an 是等比數(shù)列.(3) 通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成 an = cqn(c, q均是不為0的常數(shù)，n N +)，則an是等比數(shù)列.說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于客觀題中的判定.變式訓練2(2016全國卷川)已知數(shù)列an的前n項和S= 1+ Xa,其中M 0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；若&= 32，求入解(1)證明：由題意得ai= Si = 1 +入a,1故疋 1, ai =，故 aiM 0.1入由 Sn= 1

9、+ 入 a, Sn+1= 1 + 入 a+1 得 an+1=入 a+1 入 n,即 an+1(入一1)=入 a.an + 1 入由a1工0, 20得anM0,所以石=5115因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列,1 一入1于是an =/入丄5=丄一 1 = 32.由(1)得 Sn= 1 51 .由$=i得1-5一1卜32即解得=1.卜例凸團U 等比數(shù)列的性質(zhì)及應用(1)設Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若總=3,則|6=(2017蘇州模擬)數(shù)列an的首項為a1= 1，數(shù)列bn為等比數(shù)列且 bn =歸，若 b1obn= 2 0171，則 a21 =.【導學號：62172191】an10(1)3 (2

10、)2 017.an是等比數(shù)列， S2, S4 S2, S6 S4也成等比數(shù)列.S4由S = 3 得 S4 = 3S2,設 S2 = x,貝U S4 = 3x, 即卩 x,2x, S6 3x 成等比數(shù)列,S6= 7x,S6= 7x= 7 = 3x= 3.an+ 1 Vbn = G21a2i a20 ai9a20 ai9 ai8a2得ai=b20 bi9 bi8 bi ai,又bn成等比數(shù)列， bi b2o= b2 bi9= = bio bii = 2 0170,O2i= (bi0bii)10= ? 0170)= 2 017.規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，禾U用性質(zhì)，

11、特別是性質(zhì)“若m+ n = p+ q,則am an= ap aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特 征即可找出解決問題的突破口.1變式訓練3 (1)在正項等比數(shù)列an中，a1 008 a1 009 = 100，則lg a1 + lg a+ + lg a2 016=81(2017南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前 4項的和為9,積為，則前4項倒數(shù)的和為(1) 2 016 (2) 2 (1)lg a1 + lg a2+ + lg a2 016= lg a1a2 a

12、2 016=(2)由題意得008=lg1 008lg(a1 008 a1 009)=lg(10-2)1 008= 2 016.44a1 1 q1q_923/ 2 3、2S4= 9，所以 =a .由 a1 a1q a1q a1q = (a1q )=1 q1 q a1819得a1q3= 2.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項倒數(shù)的和為 廠1 _ q1q_=3a1q q 1q4 1=丄 9 =縣=2.a1q a1a1q思想與方法1. 方程的思想等比數(shù)列中有五個量 ai, n, q, an, Sn, 般可以“知三 求二”，通過列方程（組）求解.2. 函數(shù)的思想.通項公式an = aiqn_1可化為an=冒

13、qn，因此an是關于n 的函數(shù)，即an中的各項所表示的點（n, an）在曲線y=骨qx上，是一群孤立的點.3. 分類討論思想.當q= 1時，an的前n項和Sn= nai;當1時，anai（1 qn） a1 anq的前n項和Sn=二.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分1q1q類討論，此處是?？家族e點.易錯與防范1. 特別注意q= 1時，Sn= nai這一特殊情況.2由an+i = qan, q0,并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證ai0.3在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q= 1與1分類討論， 防止因忽視q=1這一特殊情形而導致解題失誤.4. Sn，S2n Sn，S3n-S2n

14、未必成等比數(shù)列（例如：當公比q= 1且n為偶數(shù) 時，Sn， S2n Sn， Ssn S2n不成等比數(shù)列；當q 1或q= 1且n為奇數(shù)時， Sn， S2n Sn， S3n S2n 成等比數(shù)列）.課時分層訓練（三十五）A組基礎達標（建議用時：30分鐘）一、填空題1. 若三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a = 5 + 2 6，c= 5 2 6，則b= .【導學號：62172192】1a, b，c成等比數(shù)列，二 b4= ac= （5+ 2 .6）（5 2 .；6）= 1.又 b0,；b=1. 2. （2017蘇州模擬）等比數(shù)列an的公比大于1，a5 a1 = 15，a4 a2= 6，則a3=.a5

15、a1 15,目4 a2 6,4a1q a1= 15，a1q a1q = 6，得2q2 5q+ 2 0,解得q 2或q*舍去）,把q 2代入得a1 1.a3 q2 4.3在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項和，若a3= 2S2 + 1, a4 = 2+ 1,則公比q等于:a43 兩式相減得a4 a3 = 2a3,從而求得了= 3,即q = 3.a34 .數(shù)列an滿足：an+i 入a 1（n N + ,入 R且 疋0），若數(shù)列an 1是等比數(shù)列，貝U入的值等于:（ 22由an+1 X a 1,得an+i 1 入a 2入an入.由于數(shù)列an 1是等2比數(shù)列，所以X 1,得2.5設Sn為等比數(shù)列an的前n

16、項和若a1 1,且3Si,2Q, S3成等差數(shù)列，貝y an.3n1 因為 3Si,2S2, S3成等差數(shù)列，所以 4S2 3S1 + S3,即卩 4（a1 + a2） 3a1+ a1 + a2 + a3.化簡，得3,即等比數(shù)列an的公比q 3,故an 1 x 3 _n 1 13 -.6. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am+1 am-1 2am（m2）,數(shù)列an的前n項積為Tn,若T2m1 512,則m的值為.【導學號：62172193】5 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知 am+1 am 1 am 2am(m2),所以am 2,即數(shù) 列an為常數(shù)列，an 2,所以 T2m 1 2加-1 512 2

17、9,即 2m 1 9,所以 m5. 47. （2016常州期末）已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1 + a29, a3+a4 + a5 + a6 40,則a7 + a8+ a?9的值為117.an是等比數(shù)列，設公比為q,則2a3 + a4 (a1+ a2)q ,、4a5 + a6 (a1+ a2)q , 2 a3+ a4 + a5 + a6 (a1 + a2)(q + q ) 40,即4（q2 + q4） = 40,解得 q2= 9.又 q0 ,：q = 3,由 ai + a2=19,16 ,7 ,8a7 + a8 + a9 9 q + q + q36+ 37 + 38-9 二 9=81

18、二117.8. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn,公比不為1若a1 = 1,則對任意的n N +都有 an+2+ an+1 2an= 0,貝U S5=.11.an是等比數(shù)列，2-an+2+ an+1 2an an（q + q 2） 0,又 anM0,故 q2 + q 2 0,即 q 2 或 q 1（舍去）,$ 1 + 233311.9. 在正項等比數(shù)列an中，已知 a1a2a3 4, aas 12, an1anan+1324, 貝 U n .14a4a5a6a1a2a33得q3- 3 3,2an1anan+1 （a1a2a3）q3n6 4X由 4X 33n2 324,得罟一4,即 n 14.10.

19、 （2016浙江高考）設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S2 4, an+1 2Sn+ 1, n N+,貝U a1 , S5.1121 .an + 1 = 2Sn+ 1，Sn+ 1 Sn 2Sn+ 1 ,Sn+ 1 3Sn+ 1,.Sn + 1+ 3 Sn+ ?,數(shù)列Sn+ 2是公比為3的等比數(shù)列，+ 2s+23.又 S2 = 4,.Si= 1，ai= 1,S+1= Si +1 x 34 = |x 34=223S5= 121.二、解答題11設數(shù)列an的前n項和為Sn, ai= 1,且數(shù)列$是以I為公比的等比數(shù) 列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(I)求 a1 + a3+-+ ain+1.【導學號：6

20、2172194】解(1).S = a1= 1,且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列，n 1Sn = 2 -,又當 n2 時，an = Sn-Sn-1 = 2n-1 -2n-2= 2n-2.當n= 1時a1= 1,不適合上式.-an =1, n= 1,2n-2, n2.(2)a3, as,，am+1是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列,a3+ as + + a2n+1 =2 1- 4n 2 4n- 11-4 =3.a1 + a3 + + a2n+1 =2 4n 122n+J 11 + 3312已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn= 4an- 3(n N +).(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)

21、列bn滿足bn +1 = an+ bn( n N +),且bi = 2,求數(shù)列bn的通項公式.解(1)證明：依題意 Sn= 4an 3(n N +),n = 1 時，ai = 4ai 3，解得 ai= 1.因為 Sn= 4an 3,貝U Sn 1 = 4an 1 3(n2),所以當 n2 時，an = Sn Sn1 = 4an4an 1,4整理得an= an-1.4又a1 = 1M0,所以an是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.由(1)知 an= 4 n 1,由 bn+1 = an+ bn(n N +),4 n-1得 bn + 1 bn一 3.可得 bn= b1 + (b2 b1) + (b3 b

22、2) + + (bn bn-1)4-34-33-當n 1時也滿足，所以數(shù)列bn的通項公式為bn = 3 3 n 1 1(n N +).B組能力提升(建議用時：15分鐘)1.九章算術中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何 日相逢，各穿幾何？ ”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.”如果墻足夠 厚, Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則 S .12n才 + 1依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以 1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的

23、距離共為1X 1 2n1 22n 1.同理可得前n天小老鼠打洞的距離共為1X 1協(xié)12n 1，所以 $ = 2 1 + 2-?n 1 = 2 ?n 123q1q 1a1(q3- 1 fq15,.q1.+ 1.2. （2017南京一模）設Sn是等比數(shù)列an的前n項和，an0,若S6 2= 5,則S9 S6的最小值為20 設等比數(shù)列的公比為q,則q0且1.由S6 2S3 = 5可知,6, l c *3.a1 q 1 2a1 q 1 =5,q 1a1q6(q3 1 ) 5q6q 1q 1 1q T 一1 + 10=33.=5 q 1 5X 21 q310 q 1a 1 ) a1(q 1)則 S9 S

24、6=q 1當且僅當q3 = 2,即q= 3 2時取等號.S9 S6的最小值為20.3. 已知數(shù)列an滿足 ai = 5, a2 = 5, an+i = an + 6an-1(n2).(1) 求證：an+1 + 2an是等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的通項公式.解(1)證明：an+1 = an + 6an-i( n2),an+1 + 2an= 3an+ 6an-1 = 3(an+ 2an-1)( n2).a1 = 5, a2= 5,a2 + 2a1 = 15,an + 2an-1H 0( n2),an+1 + 2an= 3(n2),an + 2an-1數(shù)列an+1 + 2an是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列.(2)由得 an+1 + 2an= 15X3n-1 = 5X3n,則 an+1 = 2an+ 5X 3 ,an+1 3 + = 2(an 3 ).又.a1 3= 2,.an 3 工0,an-3n是以2為首項，一2為公比的等比數(shù)列.an 3n= 2X (2)n1,即 an = 2X ( 2)n 1 + 3n.4. 已知數(shù)列an的前n項和為S, a1 = 1,且3an+1 + 2Sn= 3(n為正整數(shù)).(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 對任意正整數(shù)n,