1、小波分析與信號處理小波分析與信號處理理學院 羅 永 現代信號處理從這里起步18071807年年 Fourier Fourier 提出傅里葉分析提出傅里葉分析 ， 1822 1822年發表年發表 “熱傳導解析理論熱傳導解析理論”論文論文傅里葉生于法國中部歐塞爾一個裁縫家庭，傅里葉生于法國中部歐塞爾一個裁縫家庭，9 9歲時淪為孤兒，就讀于地方軍校，歲時淪為孤兒，就讀于地方軍校，17951795年年任巴黎綜合工科大學助教，任巴黎綜合工科大學助教，17981798年隨拿破侖年隨拿破侖軍隊遠征埃及，回國后被任命為格倫諾布爾軍隊遠征埃及，回國后被任命為格倫諾布爾省省長，由于對熱傳導理論的貢獻于省省長，由于

2、對熱傳導理論的貢獻于18171817年年當選為巴黎科學院院士。當選為巴黎科學院院士。n 周期函數的傅里葉級數展開 考慮下面的熱傳導方程的求解問題( , )( , ),0, 0( ,0)( ),0(0, ),( , )txxu x tux txtu xf xxutAutB 該偏微分方程的解 表示長度為 的導體在位置 、時間 時的溫度。其中 時導體的初始溫度為 ，導體在端點 處的溫度保持不變，分別為 與 。 t( )f x0,xxx0t ( , )u x tAB0AB為方便求解，不妨設為方便求解，不妨設 。用分離法求解該微分方程，即假設用分離法求解該微分方程，即假設( , )( )( )u x t

3、Y x V tFourier的猜想周期函數的傅里葉級數展開21( , )sin()k tkku x tbekx最終得到熱傳導方程的通解為最終得到熱傳導方程的通解為那么有那么有( )( )( )( )Y x V tYx V t( )( )( )( )V tYxcV tY t( )sin(),kkY xbkxkZ Z2( )tV td e帶入原方程得帶入原方程得2( )( )0,0,(0)0,( )0YxY xxYY求解后得求解后得當當 時有時有0t 1( )sin()kkf xbkx從而可得函數從而可得函數 的傅里葉級數展開。的傅里葉級數展開。( )f xFourier的猜想傅傅里葉變換分析的直

4、觀說明 ：把一個信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和：把一個信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。50511f t ( )t5050.50.5g t ( )t4202421121.2991.299h t ( )55t 一個周期函數可以表示為加權的正弦和余弦和的形式n 19101910年年 Haar Haar 提出最簡單的小波提出最簡單的小波 others 01t1/2 1,-1/2t0 1,(t),1, 0t1(t)0, others 最早的小波類型早于小波概念的提出小波分析發展歷史小波變換就是將小波變換就是將 “ “ 原始信號原始信號 s ” s ” 變換變換 成成“ “ 小波小波 系數

5、系數 w ” w ” ，w=ww=wa a , w, wd d 包括近似包括近似( (approximation)approximation)系數系數w wa a 與細節與細節( (detail)detail)系數系數w wd d近似系數近似系數w wa a-平均成分（低頻）平均成分（低頻）細節系數細節系數w wd d-變化成分（高頻）變化成分（高頻） 小波變換基本原理小波分解和小波基小波分解和小波基 小波基小波基D D小波基小波基A A原始信號原始信號小波系數小波系數w wd d小波系數小波系數w wa a正變換正變換：原始信號在每個小波基張成的子空間上投影，獲：原始信號在每個小波基張成的子

6、空間上投影，獲得得 “ “小波系數小波系數”分量分量反變換反變換：所有：所有“小波分解小波分解” ” 合成原始信號合成原始信號原信號原信號= =小波系數小波系數 w wa a 小波基小波基A+A+小波系數小波系數 w wd d 小波基小波基D D基于Matlab小波工具箱的小波分解信號分解與重構n 小波多分辨率分析小波多分辨率分析 當在某一個分辨度檢測不到的現象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。參考：M. Vetterli,”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995n 小波多分辨率分析小波多分辨率分析 時間時間A時間時間B小波

7、的時間和頻率特性運用小波基，可以提取信號中的運用小波基，可以提取信號中的“指定時間指定時間”和和“指定頻率指定頻率”的變化。的變化。n 時間：提取信號中時間：提取信號中“指定時間指定時間”（時間（時間A A或時間或時間B B）的變化。顧名思義的變化。顧名思義，小波在某時間發生的小的波動。，小波在某時間發生的小的波動。n 頻率：提取信號中時間頻率：提取信號中時間A A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間信號中時間B B的比較快速變化，稱較高頻率成分。的比較快速變化，稱較高頻率成分。小波基性質“時頻局域性” 圖解：Fourier變換的基（上）小波變

8、換基（中）和時間采樣基（下）的比較 傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基小波基表示發生的時間和頻率小波基表示發生的時間和頻率小波基性質小波變換小波圖像分解與重構Fourier變換頻率分析 MOMMOwf,log2小波的3 個特點n 時頻分析功能時頻分析功能小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發生的時間。示發生的時間。 可以分析確定時間發生的現象。（傅里可以分析確定時間發生的現象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質）葉變換只具有頻率分析的性質）n 多分辨率分析多分辨率分析 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨

9、度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）n 運算速度運算速度 小波變換比快速小波變換比快速FourierFourier變換還要快一個數量級變換還要快一個數量級。信號長度為。信號長度為M M時，時， FourierFourier變換（左）和小波變換（右變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：）計算復雜性分別如下公式：小波變換的優勢反映傅立葉變換缺點的一個例子：傅立葉變換的缺點：n 用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。域信息。n 傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信

10、號頻率成分傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。的變化情況。n 傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩信號的突變成分傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩信號的突變成分。傅立葉變換與小波變換比較解決傅立葉變換缺點的方法：小波基可以通過給定濾波系數生成小波基（尺度函數和小波函數）可以通過給定濾波系數小波基（尺度函數和小波函數）可以通過給定濾波系數生成。生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。對稱的，有的是非對稱的。小波的近似系數和細節系數可以通過濾波系數直接導出，小波的近似系數和細節系數可以通過濾波系數

11、直接導出，而不需要確切知道小波基函數，這是而不需要確切知道小波基函數，這是 I. Daubechies 等的等的重要發現，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基礎。重要發現，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基礎。 小波變換的分類：n 連續小波變換連續小波變換 時間、控制窗口大小的參數和時移參數都連時間、控制窗口大小的參數和時移參數都連續的小波變換。續的小波變換。n 離散參數小波變換（二進小波變換）離散參數小波變換（二進小波變換） 時間連續，控制窗口大小的參數和時移參數時間連續，控制窗口大小的參數和時移參數離散的小波變換。離散的小波變換。n 離散小波變換離散小波變換 時間、控制窗口大小的參數和時

12、移參數都離時間、控制窗口大小的參數和時移參數都離散的小波變換。散的小波變換。小波變換分類MATLABMATLAB小波工具箱小波工具箱安裝安裝MatlabR2009MatlabR2009列出在列出在MATLABMATLAB中已有的小波函數。中已有的小波函數。wavemngr(wavemngr( readread ) )輸出結果：輸出結果：ansansHaarHaarhaarhaarDaubechiesDaubechiesdbdbSymletsSymletssymsymCoifletsCoifletscoifcoifBiorSplinesBiorSplinesbiorbiorReverseBior

13、ReverseBiorrbiorbioMeyerMeyermeyrmeyrDMeyerDMeyerdmeydmeyGaussianGaussiangausgausMexican_hatMexican_hatmexhmexhMorletMorletmorlmorlComplexGaussianComplexGaussiancgaucgauShannonShannonshanshanFrequencyBFrequencyBSplineSplinefbspfbspComplexMorletComplexMorletcmorcmor% %下面列出在下面列出在MATLABMATLAB中存在的所有小波函數

14、中存在的所有小波函數wavemngr(wavemngr( readread ，1)1)輸出結果：輸出結果：ansansHaarHaarhaarhaarDaubechiesDaubechiesdbdbdb1db1db2db2 db3db3 db4db4db5db5db6db6 db7db7 db8db8db9db9db10db10dbdb* * *SymletsSymlets symsym-sym2sym2sym3sym3sym4sym4sym5sym5sym6sym6sym7sym7sym8sym8symsym* * *CoifletsCoifletscoifcoif-coif1coif1coif2coif2coif3coif3coif4coif4coif5coif5BiorSplinesBiorSplinesbiorbior-bior1.1bior1.1 bior1.3bior1.3bior1.5bior1.5bior2.2bior2.2bior2.4bior2.4 bior2.6bior2.6bior2.8bior2.8bior3.1bior3.1bior3.