1、Nanjing University of Technology材料力學課堂教學軟件材料力學課堂教學軟件(11)第第1111章章 能量法能量法 材料力學 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 11.2 11.2 互等定理互等定理 11.3 11.3 虛位移原理虛位移原理 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 第第1111章章 能量法能量法 第第1111章章 能量法能量法 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 作用在彈性桿件上的力，作用在彈性桿件

2、上的力，緩慢增加緩慢增加，變形固體每一瞬間處于平，變形固體每一瞬間處于平衡狀態，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在衡狀態，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為這種情形下，力所作的功為變力功變力功。 對于材料滿足對于材料滿足胡克定律胡克定律、又在、又在小變形條件小變形條件下工作的彈性桿件，下工作的彈性桿件，作用在桿件上的作用在桿件上的力與位移成線性關系力與位移成線性關系。 這時，力所作的這時，力所作的變力功變力功為為 FPOFP021PFW FP一、一、作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功 11.1

3、 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態下保持平衡，這彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態下保持平衡，這時，時，如果某種外界因素使這一變形狀態發生改變如果某種外界因素使這一變形狀態發生改變，作用在彈性體上的，作用在彈性體上的力，由于加力點的位移，也作功，此功為力，由于加力點的位移，也作功，此功為常力功常力功。注：注： 力和位移都是力和位移都是廣義廣義的。的。FP可以是可以是一個力一個力，也可以是，也可以是一個力偶一個力偶。1. 當當FP是一個力時，對應的位移是一個力時，對應的位移和和都是都是線位移線位移；2. 當當FP是一個力偶時，對應的位

4、移是一個力偶時，對應的位移和和都是都是角位移角位移。 FPFPFWP21PFW 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 ( (功能原理功能原理）能量法：能量法：從功和能的角度出發，分析桿件的內力和位移。從功和能的角度出發，分析桿件的內力和位移。WV 二、二、功能原理功能原理 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 物體在外力作用下發生變形，物體的應變能在數值物體在外力作用下發生變形，物體的應變能在數值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即 桿件在外力作用下發生彈性變形時，外力功轉變為桿件在外力作用下發生彈性變形時

5、，外力功轉變為一種能量，儲存于桿件內，這種能量稱為一種能量，儲存于桿件內，這種能量稱為彈性應變能彈性應變能，簡稱簡稱應變能應變能。等截面桿件拉伸和壓縮時的應變能為等截面桿件拉伸和壓縮時的應變能為 1.1.微段的應變能為微段的應變能為 dx+ dxdxFNFN EAxxFxddN EAlFEAxxFxxFVll22dd212N02N0N xxFWVd21ddN三、三、桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 FPOFN(x)(dx)微段的軸向變形微段的軸向變形 (d(dx ) )為為微段兩截面繞中性軸相對轉過的角微段兩截面繞中性軸相對轉過的角度度d

6、dq q為為等截面梁彎曲時的應變能表達式等截面梁彎曲時的應變能表達式 dx忽略剪力影響，微段的應變能為忽略剪力影響，微段的應變能為 MMdq qdxMdWdV21 dxEIxMdq EIlMEIdxxMdxMVll22212020q 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 FPOM(x)dq微段兩截面繞桿軸線的相對扭微段兩截面繞桿軸線的相對扭轉角轉角d d 等截面圓軸扭轉時的應變能表達式等截面圓軸扭轉時的應變能表達式 微段的應變能為微段的應變能為 dMxMx dxMdWdVx21 pxlpxlxGIlMGIdxxMdxMV22212020 xGIxMxddP 11.1 11.1

7、桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 FPOMx(x)d 在小變形時，桿件同時有在小變形時，桿件同時有軸力軸力、彎矩彎矩和和扭矩扭矩作用時，作用時，由于這三種內力分量引起的變形是互相獨立的由于這三種內力分量引起的變形是互相獨立的，因而總，因而總應變能為：應變能為： 注意：注意：1. 應用條件：應用條件：小變形條件小變形條件，線彈性線彈性。2. 此處是應變能各種應變能之和，而不是疊加。此處是應變能各種應變能之和，而不是疊加。 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 3. 計算外力作功時，注意變力作功與常力作功的區別。計算外力作功時，注意變力作功與常力作功的區別。 4. 應變能應變能V

8、只與外力的最終值有關，而與加載過程和加載只與外力的最終值有關，而與加載過程和加載次序無關。次序無關。 xGIxMxEIxMxEAxFVlpxlld2d2d2222N例題例題1 1 如圖示懸臂梁受到力如圖示懸臂梁受到力F作用，該梁長度為作用，該梁長度為l，截面，截面為圓形，直徑為為圓形，直徑為d，且，且l =5d。材料的彈性模量為。材料的彈性模量為E。 試求：試求：該梁的應變能該梁的應變能V。 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 解：解：梁受到拉伸與彎曲的組合作用梁受到拉伸與彎曲的組合作用因為因為A=d2/4，I=d4/64，l=5d，則，則應變能為應變能為軸力軸力FN=Fco

9、s45，彎矩，彎矩M(x)=Fxsin45 xEIxMxEAxFVlld2d222N EIlFEAlFxEIFxEAlFxEIxMEAlFll124d245sin245cosd223222222NEdFV28 .213 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 圖示懸臂梁。圖示懸臂梁。 試求：試求：懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由端端B的撓度。的撓度。xABFPl例題例題2 2 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 解：解：圖示懸臂梁為彎曲變形圖示懸臂梁為彎曲變形EIlFxEIxFxEIxMVll6d2)(d2)(32P2P2

10、BwFWVP21xABFPl 11.1 11.1 桿件的彈性應變能桿件的彈性應變能 xFxMP應變能為應變能為根據根據功能原理功能原理自由端自由端B的撓度為的撓度為EIlFFEIlFFVwB3262/3PP32PP 11.2 11.2 互等定理互等定理 第第1111章章 能量法能量法 FP 系統系統FS1FS2FSn S1 S2 SnFS 系統系統 SP1 SP2 SP mnnFFFSS2S2S1S1S212121 mmFFFSPP2SP2P1SP1P mmFFFVPP2P2P1PP1212121 FP1FPm P1 P2 PmFP2 11.2 11.2 互等定理互等定理 一、一、功的互等定理

11、功的互等定理 FP 系統系統FS 系統系統FP1FP2FPm P1 P2 Pm PS1 PS2 PSn S1 S2 S nFS2FS1FSnnnFFFVSS2S2S1S1S212121 mmFFFPSS2PS2S1PS1S mmFFFPPP22P1PP1212121 11.2 11.2 互等定理互等定理 FP1FPm P1 P2 PmFP2FS1FS2FSn S1 S2 SP1 SP2 SP mFP1FP2FPm P1 P2 Pm PS1 PS2 PSn S1 S2 S nFS2FS1FSn 小變形、線彈性小變形、線彈性范圍加載的情形下，最后的應變能范圍加載的情形下，最后的應變能V 只與荷載的

12、最終值有關，與加載順序無關。只與荷載的最終值有關，與加載順序無關。 11.2 11.2 互等定理互等定理 nnFFFSS2S2S1S1S212121 mmFFFPSS2PS2S1PS1S mmFFFVPPP22P1PP1212121 nnFFFSS2S2S1S1S212121 mmFFFSPP2SP2P1SP1P mmFFFVPP2P2P1PP1212121 11.2 11.2 互等定理互等定理 mmFFFSPP2SP2P1SP1P S1PS1S2PS2SPSnnF F F jjiiFFPSS SPP 11.2 11.2 互等定理互等定理 功的互等定理功的互等定理：一個力系的力在另一個力系引起

13、一個力系的力在另一個力系引起的相應的位移上所作之功等于另一個力系的力在這一的相應的位移上所作之功等于另一個力系的力在這一個力系引起的相應的位移上所作之功。個力系引起的相應的位移上所作之功。如果如果二、位移互等定理二、位移互等定理 11.2 11.2 互等定理互等定理 當力系當力系FS 系統系統和和FP 系統系統中各自中各自只有一個力只有一個力時，時，則由功的互等定理則由功的互等定理PSSSPPFF注意：注意：力是廣義的，位移也是廣義的。力是廣義的，位移也是廣義的。SPFF則有則有PSSP這就是這就是位移互等定理位移互等定理。 11.2 11.2 互等定理互等定理 11.2 11.2 互等定理互

14、等定理 第第1111章章 能量法能量法 11.3 11.3 虛位移原理虛位移原理 11.3 11.3 虛位移原理虛位移原理 一、虛位移原理一、虛位移原理 對于對于剛體剛體，虛位移原理為：如作用在，虛位移原理為：如作用在剛體上的平衡剛體上的平衡力系力系，當給剛體，當給剛體一微小虛位移一微小虛位移時，如果仍然保持平衡，時，如果仍然保持平衡，則該力系中所有的力（包括力偶）在各自的則該力系中所有的力（包括力偶）在各自的虛位移上所虛位移上所作之總功等于零作之總功等于零。Fi作用在第作用在第i個質點上的主動力；個質點上的主動力；0RFrFiiiWri該質點的該質點的虛位移虛位移。 注：注：1. 虛位移并不

15、是任意的：（虛位移并不是任意的：（1）必須是）必須是微小的微小的；（；（2）必）必須是須是約束條件所許可的約束條件所許可的；2.力在虛位移上所作的功稱為力在虛位移上所作的功稱為虛功虛功，它是，它是常力功常力功。 11.3 11.3 虛位移原理虛位移原理 對于對于變形體變形體，虛位移原理為：在外部力系作用下的變，虛位移原理為：在外部力系作用下的變形體，當形體，當給其與約束條件一致的虛變形時給其與約束條件一致的虛變形時，如果依然保持，如果依然保持平衡，則平衡，則外力外力在在虛位移虛位移上作的虛功上作的虛功等于等于內力內力在其相應在其相應虛位虛位移移上所作虛功。上所作虛功。1. 虛位移原理的應用條件

16、虛位移原理的應用條件僅為小變形僅為小變形。2. 虛位移原理虛位移原理既適用于線性物理關系，也適用于非線既適用于線性物理關系，也適用于非線 性物理關系性物理關系。虛位移原理的應用條件：虛位移原理的應用條件：注意：虛位移原理是很多能量原理的基礎。注意：虛位移原理是很多能量原理的基礎。彈性體平衡 We Wi即：即： We Wi 0 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 第第1111章章 能量法能量法 以承受均布力的懸臂梁為例，點以承受均布力的懸臂梁為例，點A處沿鉛處沿鉛垂方向的位移？垂方向的位移？A 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 b. 在新建結構中所要

17、求的那一點、沿在新建結構中所要求的那一點、沿所要求的位移方向所要求的位移方向施加單位力施加單位力。2. 將將原來結構的真實位移原來結構的真實位移作為單位荷載系作為單位荷載系統結構中的虛位移，并應用虛位移原理：統結構中的虛位移，并應用虛位移原理： 為了確定點為了確定點A處沿鉛垂方向的位移，步驟如下：處沿鉛垂方向的位移，步驟如下：A a. 建立與原系統建立與原系統完全相同的結構完全相同的結構。 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 1. 建立一個建立一個單位荷載系統單位荷載系統。lAMqd1d dq q所要求位移的梁在原荷載作用下，微段截面相互轉過的角度。所要求位移的梁在原荷載

18、作用下，微段截面相互轉過的角度。 單位荷載系統中梁橫截面上的彎矩（內力）單位荷載系統中梁橫截面上的彎矩（內力）M11在線彈性范圍內：在線彈性范圍內：xEIMdd qdAlMMxEI這是桿件橫截面上只有這是桿件橫截面上只有彎矩彎矩一個內力分量的情形。一個內力分量的情形。llxxlxGIMMxEIMMxEAFFdddPNN桿件橫截面同時存在桿件橫截面同時存在彎矩彎矩、扭矩扭矩和和軸力軸力時，則有時，則有 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 dAlMMxEI 這就是確定結構上任意點、沿任意方向位移的這就是確定結構上任意點、沿任意方向位移的莫爾積分莫爾積分（Mohrs integ

19、ration），又稱為），又稱為單位荷載法單位荷載法（unit-load method）。）。結構在外荷載作用下橫截面上的軸力、彎矩和扭矩；結構在外荷載作用下橫截面上的軸力、彎矩和扭矩；xMMF、N結構在單位力作用下橫截面上的軸力、彎矩和扭矩。結構在單位力作用下橫截面上的軸力、彎矩和扭矩。 xMMF、N注意：注意：工程中經常遇到的承受彎曲和扭轉的細長桿件，剪力的虛工程中經常遇到的承受彎曲和扭轉的細長桿件，剪力的虛功比彎曲和扭轉的要小得多，經常忽略不計。當彎矩很大時，軸功比彎曲和扭轉的要小得多，經常忽略不計。當彎矩很大時，軸力的影響也可略去不計。力的影響也可略去不計。 可用于確定可用于確定直桿直

20、桿、曲桿曲桿及其系統上任意點、沿任意方向的線及其系統上任意點、沿任意方向的線位移和角位移。位移和角位移。 小變形小變形，線彈性線彈性莫爾積分的應用條件莫爾積分的應用條件莫爾積分的應用范圍莫爾積分的應用范圍 莫爾方法中的單位力是廣義力，可以是力，也可以是力偶。莫爾方法中的單位力是廣義力，可以是力，也可以是力偶。 與之相對應的位移也是廣義的，既可以是線位移，也可以是角與之相對應的位移也是廣義的，既可以是線位移，也可以是角位移。位移。（利用了彈性變形與彎矩、扭矩、軸力的線彈性關系式。）（利用了彈性變形與彎矩、扭矩、軸力的線彈性關系式。） 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 若要

21、求的是兩點若要求的是兩點 ( (或兩截面或兩截面) ) 間的相對位移，則在兩點間的相對位移，則在兩點( (或兩截面或兩截面) )處同時施加一對方向相反的單位力。處同時施加一對方向相反的單位力。 當所求的位移為線位移時，單位力為集中力；當所求位當所求的位移為線位移時，單位力為集中力；當所求位移為角位移時，單位力為集中力偶。移為角位移時，單位力為集中力偶。 單位力和單位力偶的數值均為單位力和單位力偶的數值均為1 1。 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 一個力一個力一個力偶一個力偶一對力一對力一對力偶一對力偶一個一個線位移線位移一個一個角位移角位移相對線位移相對線位移相對角位

22、移相對角位移例 題 3 半徑為半徑為R的四分之一圓弧的四分之一圓弧形平面曲桿，形平面曲桿，A端固定，端固定，B端承端承受鉛垂平面內的荷載的作用。受鉛垂平面內的荷載的作用。曲桿彎曲剛度為曲桿彎曲剛度為EI。若。若F、R、EI等均為已知。等均為已知。 求：求：B點的垂直位移與水平點的垂直位移與水平位移。位移。RABF 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 (不考慮軸向力和剪力的影響不考慮軸向力和剪力的影響)解：解：1. 建立單位荷載系統。建立單位荷載系統。求鉛垂位移時單位荷載加在求鉛垂位移時單位荷載加在B點的鉛點的鉛垂方向；求水平位移時單位荷載加在垂方向；求水平位移時單位荷載加

23、在B點的水平方向。點的水平方向。RAB1RAB1 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 2. 建立荷載引起的彎矩方程：建立荷載引起的彎矩方程：qORFFNFQMRABFOsinMFRq 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 3. 建立單位荷載引起的彎矩方程：建立單位荷載引起的彎矩方程：RAB1qOR1MNFQF1sinMRq qOR1MNFQFRAB11 (cos )MRRq 4. 應用莫爾積分計算位移：應用莫爾積分計算位移：RABFORAB1sinMFRq1sinMRq sBydsEIMM 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 EI

24、FREIFRdEIFRdEIMRM42sin212sinsin30220232320qqqqqq4. 應用莫爾積分計算位移：應用莫爾積分計算位移：RAB11 (cos )MRRq RABFOsinMFRq2020cos1sinqqqqdEIRRFRdEIMRMdsEIMMsBx 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 EIFREIFRdEIFR22cos41cos2sin2sin21sin30223203qqqqqq 在圖示結構中，桿的彎曲剛度在圖示結構中，桿的彎曲剛度均為均為EI，FP、 EI均已知。均已知。A、B兩點的相對位移。兩點的相對位移。 (不考慮軸向力和剪力的影響

25、不考慮軸向力和剪力的影響) 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 解：解：1. 分析單位荷載系統：分析單位荷載系統：加什么單位力？加什么單位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？2.建立荷載與單位力引起的建立荷載與單位力引起的 內力表達式：內力表達式：要不要分段？怎樣分段？要不要分段？怎樣分段？建立坐標系？建立坐標系？充分利用對稱性？充分利用對稱性？ 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 1.建立單位荷載系統：建立單位荷載系統：2.建立荷載與單位力引起的內力表達式：建立荷載與單位力引起的內力表達式：ili zi zi ziABxEIMMd2

26、31)2,()(P2RxRECRxFM)0 ,(01RxCAM)20 ,()sin1 (P3qqGERFMRxxM011RxRxM21220)sin2(3qqRM 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 25323d23P31EIRFxEIMMili zi zi ziAB3. 應用莫爾積分計算相對位移（由于采用了應用莫爾積分計算相對位移（由于采用了對稱性，需要將結構一半所求的位移乘二。）對稱性，需要將結構一半所求的位移乘二。） 11.4 11.4 計算位移的莫爾積分計算位移的莫爾積分 )2,()(P2RxRECRxFM)0 ,(01RxCAM)20 ,()sin1 (P3qq

27、GERFMRxxM011RxRxM21220)sin2(3qqRM 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 第第1111章章 能量法能量法 等截面直桿等截面直桿( (EA、GIP、EI=const. .) ) 前前 提提 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 等為線性函數等為線性函數 xMMF,NMCA MEI)d(tand1xMxxMaEIxxaMEId)tan(1lxEIMMdlxMMEId1Ad1tan ()CaAx AEI1(tan )CaxAEICM tanxaxMM以彎曲問題為例以彎曲問題為例當當EIconst.時時且當且當 等為線性函

28、數時等為線性函數時M 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 ACM荷載內力圖的面積荷載內力圖的面積荷載內力圖形心坐標下，單位力內力圖上的數值。荷載內力圖形心坐標下，單位力內力圖上的數值。前提：前提：應用條件：應用條件： 對荷載內力圖的要求：對荷載內力圖的要求： 直線？曲線？直線？曲線？ 要不要分段？要不要分段？ 對單位荷載內力圖的要求：對單位荷載內力圖的要求： 直線？曲線？直線？曲線？ 要不要分段？要不要分段？ 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 CA MEIlxEIMMd 等截面直桿等截面直桿( (EA、GIP、EI=const. .) )

29、或或 只要一個為直線只要一個為直線 xMMF,NxMMF,NMM tanxaxM41iCiiCEIMAEIMAEIMACC表表11-1 幾種基本圖形的面積與形心坐標幾種基本圖形的面積與形心坐標簡支梁受力如圖簡支梁受力如圖a所示。若所示。若F、a、EI等均為已知。等均為已知。試求：試求：用圖乘法確定用圖乘法確定C點的撓度。點的撓度。 例 題 5 5 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 FFCDABE3a/2aaa 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 FFCDABE3a/2aaa解：解：1.1.畫出梁的彎矩圖畫出梁的彎矩圖F/3F/3Fa/3Fa

30、/3CAE12.2.建立單位載荷系統，建立單位載荷系統，畫出單位載荷作用下梁畫出單位載荷作用下梁的彎矩圖的彎矩圖 3a/43.3.圖乘法圖乘法C1C232343321aaaaMC632121FaFaaA12322122FaFaaA1272343672aaaaMCFFCDABE3a/2aaaF/3F/3Fa/3Fa/3CAE13a/4C1C23.3.圖乘法圖乘法32343322aaaaMC632121FaFaaA12322122FaFaaA1272343672aaaaMC 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 C312223FaAA12723aMMCCC3314aMMCC

31、6214FaAA32343322aaaaMC632121FaFaaA12322122FaFaaA1272343672aaaaMC12223FaAA12723aMMCC314aMMCC6214FaAA 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 41iCiiCEIMA1271236127123612222aFaaFaaFaaFaEI0 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 FFCDABE3a/2aaaF/3F/3Fa/3Fa/3CAE13a/4C1C2C3C34.4.討論：討論：a. 根據反對稱性，根據反對稱性，C點的點的撓度等于零。撓度等于零。b. 同

32、側為正，異側為負。同側為正，異側為負。0CCA MEIlxEIMMd例 題 6 6 剛架受力如圖所示，已知：剛架受力如圖所示，已知：橫桿彎曲剛度為橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿彎，豎桿彎曲剛度為曲剛度為EI，拉伸剛度為，拉伸剛度為EA，荷載集度荷載集度q，長度，長度l。 求：求：1. B點的水平位移點的水平位移; 2. 分析軸力對分析軸力對B處水平位處水平位移的影響。移的影響。 FP=qlqACBll 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 荷載系統荷載系統解：解：1.1.計算彎矩引起的位移計算彎矩引起的位移 a. 在在B處沿水平方向施加單位力，建立單位力系統。處沿水平方向施

33、加單位力，建立單位力系統。ACBll單位荷載系統單位荷載系統1 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 FP=qlqACBllC2C1b.繪制剛架在荷載作用下的彎矩圖。繪制剛架在荷載作用下的彎矩圖。qACBFP=qlACBMqMP為了便于計算曲線彎矩圖為了便于計算曲線彎矩圖面積面積和確定和確定形心位置形心位置應用疊加原理應用疊加原理ql2ql2C3 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 荷載系統荷載系統FP=qlqACBllc. 畫出單位荷載系統的彎矩圖。畫出單位荷載系統的彎矩圖。ll 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法

34、ACBll單位荷載系統單位荷載系統1111ACBd. 應用圖乘法應用圖乘法C2C1BACll1EIllql232212EIllql32212FP=qlACBMPql2ql22EIEI 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 31iiiCiiBHIEMA)(24174EIqlEIllql232212EIllql32212EIlql228323BACll1qACBMqC3 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 d. 應用圖乘法應用圖乘法31iiiCiiBHIEMAa. 繪制原荷載系統的軸力圖。繪制原荷載系統的軸力圖。C2C1FP=qlACBMPql2q

35、l2qACBMqC3 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 ACBACBql/2ql2. 分析軸力對分析軸力對B處水平位移的影響。處水平位移的影響。 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 ACBll單位荷載系統單位荷載系統1111ACB1b. 畫出單位荷載系統的軸力圖。畫出單位荷載系統的軸力圖。 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 21NiiiCiiBHAEFAEAql122ACBql/2ACBqlACB1EAql12EAql2221712AlIBHBH將軸力與彎矩引起的位移進行比較，則有將軸力與彎矩引起的位移進行比較，

36、則有對于矩形截面，有對于矩形截面，有 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 當當l/h10時，上述比值為時，上述比值為0.0006，即軸力引起的位移小于彎矩引起，即軸力引起的位移小于彎矩引起位移的位移的0.1。 由此可見，在細長桿的情形下，忽略軸力的影響不會對計算結果產由此可見，在細長桿的情形下，忽略軸力的影響不會對計算結果產生明顯的誤差。生明顯的誤差。 EAqlIEFAiiiCiiBH2221NEIqlIEMAiiiCiiBH2417431223171121712lhAlbhBHBH 前前 提提 11.5 11.5 直桿莫爾積分的圖乘法直桿莫爾積分的圖乘法 注意事項注

37、意事項 單位荷載的彎矩圖斜率發生變化時，圖形互乘時單位荷載的彎矩圖斜率發生變化時，圖形互乘時需要分段進行。需要分段進行。 如果如果荷載彎矩圖和單位荷載的彎矩圖均為直線，荷載彎矩圖和單位荷載的彎矩圖均為直線，那么也可以用這樣表達式。那么也可以用這樣表達式。EIMAEIMACC 等截面直桿等截面直桿( (EA、GIP、EI=const. .) ) 或或 只要一個為直線只要一個為直線 xMMF,NxMMF,N 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 第第1111章章 能量法能量法 一、卡氏定理一、卡氏定理(Castigliano s Theorem) 卡氏定理：卡氏定理：構件或結構的構件或結構的應變能

38、應變能對于某一個荷載的對于某一個荷載的一一階偏導數階偏導數，等于這一荷載的，等于這一荷載的作用點處作用點處、沿著這一荷載作用沿著這一荷載作用方向上方向上的位移。其數學表達式為的位移。其數學表達式為FP1FP2FPm12mP1P2PnVVFFF,12P1P2PnnVVVFFF, 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 上述各式中上述各式中FPi和和分別為廣義力和廣義位移。分別為廣義力和廣義位移。 各種受力形式下的應變能都是以內力分量的形式出現，各種受力形式下的應變能都是以內力分量的形式出現，而內力分量又都是外加荷載的函數。而內力分量又都是外加荷載的函數。 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 12

39、P1P2PnnVVVFFF,222NPddd222xlliFMMVxxxEAEIGI 因此，應變能對荷載的偏導數都是以內力分量對荷載偏因此，應變能對荷載的偏導數都是以內力分量對荷載偏導數形式出現的。導數形式出現的。 各種受力形式下，卡氏定理的形式為：各種受力形式下，卡氏定理的形式為： 對于軸向拉伸或壓縮：對于軸向拉伸或壓縮： 2NNNPPPdd2iiiillVFFFxxFFEAEA F對于圓軸扭轉：對于圓軸扭轉： 2PPPPPdd2xxxiiiillVMMMxxFFGIGIF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 12P1P2PnnVVVFFF,對于平面彎曲：對于平面彎曲： 2PPPdd2ii

40、iillVMMMxxFFEIEIF對于組合受力與變形的情形：對于組合受力與變形的情形： NNPPPPPPddddyxxzzziiiiyizillllMVFFMMMMMxxxxFEA FGIFEIFEIF怎樣應用卡氏定理確定任意點、沿任意方向的位移？討論：討論：如何應用卡氏定理求解沒有外力作用的點之位如何應用卡氏定理求解沒有外力作用的點之位移（或所求的位移與加力方向不一致）呢？移（或所求的位移與加力方向不一致）呢？ 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 在所求位移的點、沿著所求位移的方向假設一個力在所求位移的點、沿著所求位移的方向假設一個力（廣義力）；（廣義力）；寫出所有力（包括荷載和假設力）作

41、用下的應變能寫出所有力（包括荷載和假設力）作用下的應變能的表達式，并將其對假設力求偏導數；的表達式，并將其對假設力求偏導數；令其中的假設力等于零，便得到所要求的位移。令其中的假設力等于零，便得到所要求的位移。 適用范圍：適用范圍：小變形小變形，線彈性線彈性。 例題 7 7PF2l2lAB解：解：1求求A點的撓度：點的撓度： 因為因為A點有力點有力FP作用，所作用，所以可以直接應用平面彎曲時以可以直接應用平面彎曲時的卡氏定理表達式的卡氏定理表達式 2PPP00dd2llAVMMMxxFFEIEIF 懸臂梁在自由端受有集中力懸臂梁在自由端受有集中力FP,梁的長度為梁的長度為l、彎曲、彎曲剛度為剛度

42、為EI。若。若FP、l、 EI等均已知，并且忽略剪力影響，等均已知，并且忽略剪力影響，試求：試求： 1.自由端自由端A處的撓度；處的撓度；2.梁中點梁中點B處的撓度。處的撓度。 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 PF2l2lABxO寫出彎矩方程寫出彎矩方程 PP00M xF xxlMxxlF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 2PPP00dd2llAVMMMxxFFEIEIF3PPP00dd3llAF xF lMMxxxEIFEIEI 解解： 2求中點求中點B處的撓度：處的撓度： 由于由于B處沒有外力作用，處沒有外力作用，所為不能直接應用卡氏定理。所為不能直接應用卡氏定理。為了應用卡氏

43、定理，必須在為了應用卡氏定理，必須在B處作用一假想力處作用一假想力F P ， ABxO寫出梁的彎矩方程：寫出梁的彎矩方程： P02lM xF xx P002MlxF PP22llM xF xFxxl P22MllxxlF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 221122PPPP002ddd2lllBlMMMMVMxxxFFEIEIFEIFPP210d22llllxF xFxxEI 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 P02lM xF xx P002MlxF PP22llM xF xFxxl P22MllxxlF 令令P0F 32PPP21150d248lBlF lF xF lxxEIEI補

44、充例題補充例題 1 外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁。梁材料為線彈性體。求梁材料為線彈性體。求梁C截面和截面和D截面的撓度。截面的撓度。0AF解：解：PFB2ABCPaPDaaBF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 x1x2x3法一法一: :01 PxM)()()(axPxM 22BD：PxxM 33)(xPxM 33)(ABCPaPDaaBF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 AC：01 )(xMCB：)()(axPxM 22EIPadxxPxEIdxaxaxPEIaaDCww321)()二法二: :AC：xPPxM1

45、2112 )(2111xPxM )(P1P22321PPFB221PPFA2121xPxM )(ABCPaPDaaBFAFx1 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 CB：)()(axPxPPxM 21221222222xPxM )(P1P2axPxM 2212)(x2ABCPaPDaaBFAF 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 BD：xPxM233 )(xPxM 323)(P1P2013 PxM)(ABCPaPDaaBFAFx3 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 xPPxM12112 )()()(axPxPPxM 2122122xPxM233 )(axPxM 2212)(013 Px

46、M)( EIPadxPxMEIxMdxPxMEIxMdxPxMEIxMwaaaaC12)()()()()()(3313032122211101PPP 212111xPxM )(ABCPaPDaaBFAFP1P2 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 xPPxM12112 )()()(axPxPPxM 2122122xPxM233 )(2222xPxM )(xPxM 323)(2121xPxM )(PPP 21ABCPaPDaaBFAFP1P2 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 EIPadxPxMEIxMdxPxMEIxMdxPxMEIxMwaaaaD129)()()()()()(33230

47、32222212101ABCPaPDaaP1P2 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 補充例題補充例題2 各桿的抗拉（壓）均為各桿的抗拉（壓）均為EA的正方形平面桁架的正方形平面桁架受水平力受水平力P作用。桿的材料為線彈性。求結點作用。桿的材料為線彈性。求結點C的水平和的水平和鉛垂位移。鉛垂位移。llABcDPQ 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 llABcDPQ桿件桿件NiPNi QNi NiQ=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P00000000P22P20PNEAlNPiinjjjii 1)U(Q=0Q=0 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 llABcDPQ桿件桿件NiPNi QNi NiQ=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P00000000P22P20)(.)()( EAPlEAlPEAlPx8332221PNEAlNPiinjjjii 1)U(Q=0Q=0 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 桿件桿件NiPNi QNi NiQ=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P00000000P22P20)()( EAPlEAlPy1PNEAlNPii