1、數學壓軸題圓錐曲線類一1如圖，已知雙曲線C：的右準線與一條漸近線交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點. （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數方法給出證明.2已知函數，數列滿足 （I）求數列的通項公式； （II）設x軸、直線與函數的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數N；若不存在，請說明理由. （IV）

2、請構造一個與有關的數列，使得存在，并求出這個極限值.19. 設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點，且，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（III）過點能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.3. 已知數列的前n項和為，且對任意自然數都成立，其中m為常數，且. （I）求證數列是等比數列； （II）設數列的公比，數列滿足：，試問當m為何值時，成立？4設橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點，且分向量所成的比為85（1）求橢圓的離心率；（

3、2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程5（理）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差（文）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差6垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點，A1、A2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線A1M與A2N交于點P（x0，y0）（）證明：（）過P作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.7已知函數（）若（）若（）若的大小關系（不必寫出過程）.數學壓軸題圓錐曲線類二1如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、P

4、B，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.2設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）3已知不等式為大于2的整數，表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足（）證明（）猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（）試確定一個正整數N，使得當時，對任意b>0，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F2在x軸

5、上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點P為l上的動點，求F1PF2最大值5已知函數和的圖象關于原點對稱，且 ()求函數的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數，求實數的取值范圍數學壓軸題圓錐曲線類三1已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （）設為點P的橫坐標，證明； （）求點T的軌跡C的方程； （）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.2函數在區

6、間（0，+）內可導，導函數是減函數，且 設是曲線在點（）得的切線方程，并設函數 （）用、表示m；（）證明：當； （）若關于的不等式上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.3已知數列的首項前項和為，且（I）證明數列是等比數列；（II）令，求函數在點處的導數并比較與的大小.4已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標.5橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點. （

7、）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足（其中O為原點），求k的取值范圍.6.數列an滿足.（）用數學歸納法證明：；（）已知不等式，其中無理數e=2.71828.7已知數列（1）證明（2）求數列的通項公式an.1.解：（I）右準線，漸近線 ， 3分 （II） 雙曲線C的方程為：7分 （III）由題意可得8分 證明：設，點 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q 11分 ，得 的取值范圍是（0，1）13分2.解：（I） 1分 將這n個式子相加，得 3分 （II）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為

8、1 6分 （III）設滿足條件的正整數N存在，則 又 均滿足條件 它們構成首項為2010，公差為2的等差數列. 設共有m個滿足條件的正整數N，則，解得 中滿足條件的正整數N存在，共有495個，9分 （IV）設，即 則 顯然，其極限存在，并且10分 注：（c為非零常數），等都能使存在.19.解：（I） ，漸近線方程為4分 （II）設，AB的中點 則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓.（9分） （III）假設存在滿足條件的直線 設 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在滿足條件的直線.14分3.解：（I）由已知 （2） 由得：，即對任意都成立 （II）當時， 由題意知，1

9、3分4.解：（1）設點其中由分所成的比為85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）滿足條件的圓心為，8分圓半徑10分由圓與直線：相切得，又橢圓方程為12分5.（理）解：設公差為，則3分4分7分又，當且僅當時，等號成立11分13分當數列首項，公差時，的最大值為14分（文）解：設公差為，則3分，6分又當且僅當時，等號成立11分13分當數列首項，公差時，的最大值為14分6.解（）證明：直線A2N的方程為 4分×，得（）10分當12分7.解：（） （）設，6分（）在題設條件下，當k為偶數時當k為奇數時14分數學壓軸題圓錐曲線類二1.解：（1）設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為： 切線B

10、P的方程為：解得P點的坐標為：所以APB的重心G的坐標為 ，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因為由于P點在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當時，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. （）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得 設是方程的兩個不同的根， 且由N（1，3）是線段AB的中點，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）.

11、 于是，直線AB的方程為 解法2：設則有 依題意，N（1，3）是AB的中點， 又由N（1，3）在橢圓內，的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設CD的中點為是方程的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當時，假設存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當>12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述

12、解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|·|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點共圓.解法2：由（）解法1及>12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設計算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3.本小題主要考查數列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想. （）證法1：當即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式

13、知，當n3時有，證法2：設，首先利用數學歸納法證不等式 （i）當n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設當n=k（k3）時，不等式成立，即則即當n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）則有故取N=1024，可使當n>N時，都有4.解：()設橢圓方程為，半焦距為，則()5.本題主要考查函數圖象的對稱、二次函數的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力.滿分14分.解：()設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則點在函數的圖象上()由當時，此時不等式無解.當時，解得.因此，原不等式的解集為.（）數學壓軸題

14、圓錐曲線類三1.（）證法一：設點P的坐標為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法二：設點P的坐標為記則由證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為 由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是7分解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點. 設點Q的坐標為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點T的軌跡C的方程是7分 （）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，

15、當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M.11分當時，由，得解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M.11分當時，記，由知，所以14分2.本小題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的大小關系.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關系解決問題的能力.滿分12分 （）解：2分 （）證明：令 因為遞減，所以遞增，因此，當； 當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立. 對任

16、意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數在a與b所滿足的關系.12分（）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立. 對任意成立的充要條件是 8分令，于是對任意成立的充要條件是 由當時當時，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：

17、不等式 有解、解不等式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實數在a與b所滿足的關系.12分3.解：由已知可得兩式相減得即從而當時所以又所以從而故總有，又從而即數列是等比數列；（II）由（I）知因為所以從而=-=由上-=12當時，式=0所以；當時，式=-12所以當時，又所以即從而4.解：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯立消去，得由韋達定理知（1）當時，即時，所以，所以由知：所以因

18、此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點（2）當時，由，得=將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為即所以直線恒過定點所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點.5.解：（）設雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為6.（）證明：（1）當n=2時，不等式成立.（2）假設當時不等式成立，即那么. 這就是說，當時不等式成立.根據（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推公式及（）的結論有 兩邊取對數并利用已知不等式得 故 上式從1

19、到求和可得即（）證法二：由數學歸納法易證成立，故令取對數并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.7.解：（1）方法一 用數學歸納法證明：1°當n=1時， ，命題正確.2°假設n=k時有 則 而又時命題正確.由1°、2°知，對一切nN時有方法二：用數學歸納法證明：1°當n=1時，； 2°假設n=k時有成立， 令，在0，2上單調遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時 成立，所以對一切 （2）下面來求數列的通項：所以,又bn=1，所以定點、定直線、定值專題1、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，

20、最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標2、已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線與交于點S。試問：當m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。3、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程； （）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由4、已知橢圓的焦點在

21、軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點。 （I）求橢圓的標準方程； （）設點是線段上的一個動點，且，求的取值范圍； （）設點是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由。5、（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；（）設過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.6.設是橢圓的左、右焦點，分別為其左頂點和上頂點，是面積為的正三角形（1）求橢圓的方程；（2）過右

22、焦點的直線交橢圓于兩點，直線、分別與已知直線交于點和，試探究以線段為直徑的圓與直線的位置關系7.（1）若，求證:；（2）設，若，判斷在上的單調性；（3）求證:.8.如圖，已知橢圓的離心率為，F1、F2分別是橢圓的左右焦點，B為橢圓的上頂點,且的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l交橢圓于M、N兩點，問是否存在這樣的直線l，使得橢圓的右焦點F2恰為BMN的垂心？若存在,求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.9、已知F是拋物線的焦點，Q是其準線與x軸的交點，直線過點Q，設直線與拋物線交于點A，B。（1）設直線FA、FB的斜率分別為，求的值；（2）若線段AB上有一點R，滿足，求點R的軌跡。1

23、.【標準答案】(I)由題意設橢圓的標準方程為， (II)設，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，(最好是用向量點乘來)，解得，且滿足.當時，直線過定點與已知矛盾；當時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標為2.解法一：（）設橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分,若，由對稱性可知交點為若點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。9分設與交于點由得設與交于點由得10，12分，即與重合，這說明，當變化時，點恒在定直線上。13分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點為若交點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明，當變化時，點恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程