1、第四節 矩和協方差矩陣在數學期望一講中，我們已經介紹了在數學期望一講中，我們已經介紹了矩和中心矩的概念矩和中心矩的概念.這里再給出混合矩、混合中心矩的概念這里再給出混合矩、混合中心矩的概念.1協方差協方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱它為稱它為X和和Y的的k+L階混合（原點）矩階混合（原點）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，稱它為稱它為X和和Y的的k+L階混合中心矩階混合中心矩. )(LkYXE設設X和和Y是隨機變量，若是隨機變量，若 k,L=1,2,存在，存在，可見，可見，2協方差矩陣的定義協方差矩陣的定義 將二維隨機變量（將二維隨機變量（X1,

2、X2）的四個二階中心矩）的四個二階中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc稱此矩陣為（稱此矩陣為（X1,X2）的協方差矩陣）的協方差矩陣.22211211cccc這是一個這是一個對稱矩陣對稱矩陣3 類似定義類似定義n維隨機變量維隨機變量(X1,X2, ,Xn) 的協方差矩陣的協方差矩陣.下面給出下面給出n元正態分布的概率密度的定義元正態分布的概率密度的定義.為為(X1,X2, ,Xn) 的的協方差矩陣協方差矩陣nnnnnncccccccccC212222111211稱矩陣稱矩陣都

3、存在都存在,i, j=1,2,n),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXE4)()(21exp|)2(11212 XCXCnf (x1,x2, ,xn)則稱則稱X服從服從n元正態分布元正態分布.其中其中C是是(X1,X2, ,Xn) 的協方差矩陣的協方差矩陣.|C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩陣，的逆矩陣，1CX和和 是是n維列向量，維列向量， 表示表示X的轉置的轉置.X 設設 =(X1,X2, ,Xn)是一個是一個n維隨機向量維隨機向量,若它的概率密度為若它的概率密度為X5n元正態分布的幾條重要性質元正態分布的幾條重要性質1. X=(X1,X2, ,Xn)

4、服從服從n元正態分布元正態分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn均服從正態分布均服從正態分布.對一切不全為對一切不全為0的實數的實數a1,a2,an，6n元正態分布的幾條重要性質元正態分布的幾條重要性質2. 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態分布，元正態分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的線性函數，）的線性函數，則則(Y1,Y2, ，Yk)也服從多元正態分布也服從多元正態分布.這一性質稱為正態變量的線性變換不變性這一性質稱為正態變量的線性變換不變性.7n元正態分布的幾條重要性質元正態分布的幾條重要性質 3. 設設(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態

5、分布，則元正態分布，則“X1,X2, ,Xn相互獨立相互獨立”等價于等價于“X1,X2, ,Xn兩兩不相關兩兩不相關”8例例2 設隨機變量設隨機變量X和和Y相互獨立且相互獨立且XN(1,2),YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X和和Y的聯合分布為正態分布，的聯合分布為正態分布，X和和Y的的任意線性組合是正態分布任意線性組合是正態分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X與與Y獨立獨立,Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), Var(Z)ZN(5, 32)9故故Z的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf zZN(5, 32)10這一講我們介紹了協方差和相關系數這一講我們介紹了協方差和相關系數相關系數是刻劃兩個變量間相關系數是刻劃兩個變量間線性相關程度線性相關程度的一個重要的數字特征的一個重