1、 平方數、奇偶性、位值原理 知識框架 一、 完全平方數常用性質 特征1. 。，7，86，9。不可能是2，3，1.完全平方數的尾數只能是01，4，5， 在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。2. 完全平方數的約數個數是奇數，約數個數為奇數的自然數是完全平方數。3.2 整除。，則p4.若質數p整除完全平方數能被aa 性質2. ，9，14，5，6性質1：完全平方數的末位數字只可能是0， ，16除的余數一定是完全平方數，4，5，8性質2：完全平方數被3因為完全平方數的質因數分解中每個質自然數N約數的個數為奇數3：自然數N為完全平方數性質?1n?2，是自然數，N是完全平方數，且因數出現的次數都是

2、偶數次，所以，如果p是質數，nNp|n2 則Np| 6它的十位是奇數性質4：完全平方數的個位是?的個數一定是偶數如果一個完全平方數05：如果一個完全平方數的個位是0，則它后面連續的性質 中的一個，2，6的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0 ：如果一個自然數介于兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方數性質6 一些重要的推論3. 的數一2或38）除余1.即被4除余41.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被（或 定不是完全平方數。 2的數一定不是完全平方數。或1.即被3除余32.一個完全平方數被除的余數是0，29，4984，25，09，自然數的平方末兩位只有：3.00，012

3、1，4161，8104，2444，64 。76，96，6989，1636，56 ）時，其十位上的數字必為偶數。914.完全平方數個位數字是奇數（，5， 4）時，其十位上的數字必為偶數。，完全平方數個位數字是偶數（5.0 時，其十位數字必為奇數。6完全平方數的個位數字為6.7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。 22 4. 重點公式回顧：平方差公式：)b)(a?(a?a?bb二、 奇數和偶數 1. 定義 整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除

4、的數叫做奇數。通常偶數可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。 2. 奇數與偶數的運算性質 性質1：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數 性質2：偶數±奇數=奇數 性質3：偶數個奇數的和或差是偶數 性質4：奇數個奇數的和或差是奇數 性質5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數 3. 兩個實用的推論 推論1：在加減法中偶數不改變運算結果奇偶性，奇數改變運算結果的奇偶性。 推論2：對于任意2個整數a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶 三、 位值原理 當我們把

5、物體同數相聯系的過程中，會碰到的數越來越大，如果這種聯系過程中，只用我們的手指頭，那么到了“十”這個數，我們就無法數下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能數二十。我們顯然知道，數是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數的概念從實物的世界中解放出來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。這就涉及到了記數，記數時，同一個數字由于所在位置的不同，表示的數值也不同。既是說，一個數字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如，用符555表示五百五十五時，這三個數字具有相同的數值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五表示五個一，最左邊的五表示五個百，中間的五

6、表示五個十。但是在奧數中位值問題就遠遠沒有這么簡單了，現在就將解位值的三大法寶給同學們。希望同學們在做題中認真體會。 a) 位值原理的定義： 同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的數值也不同。也就是說，每一個數字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原理。 位值原理的表達形式： b) 以六位數為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 ?abcdefc) 解位值一共有三大法寶：

7、（1）最簡單的應用解數字謎的方法列豎式 （2）利用十進制的展開形式，列等式解答 （3）把整個數字整體的考慮設為x，列方程解答 重難點 純粹的定量計算，“部分，小學生的數學思維模式大多為本講知識點屬于數論大板塊內的“定性分析”本講力求實現的一個主要目標是提0或者是找規律，在性質分析層面幾乎為，拿到一個題就先去試數，的思維模再去動手做”高孩子對數學的嚴密分析能力，培養孩子明白做題前有時要“先看能不能這么做， 式。無論是小升初還是杯賽會經常遇到，但不會單獨出題，而是結合其他知識點來考察學生綜合能力。 例題精講 是一個完全平方數，求它是誰的平方? 已知：1234567654321×49【例

8、1】 的平方 是 【鞏固】 1)2?35753(11234567654321?2?4?6?6?4? 的最小值是_1016 與正整數a的乘積是一個完全平方數，則a【例 2】 ab恰是自然數知 固【鞏】已的平方數，的最小值是 。a3528 【例 3】 已知自然數滿足：除以得到一個完全平方數，則的最小值是 。 12!nnn 【鞏固】 考慮下列32個數：，請你去掉其中的一個數，使得其余各數的乘積為一32!2!3!1!個完全平方數，劃去的那個數是 . 【例 4】 有5個連續自然數，它們的和為一個平方數，中間三數的和為立方數，則這五個數中最小數的最小值為 【鞏固】 用19這9個數字各一次，組成一個兩位完全

9、平方數，一個三位完全平方數，一個四位完全平方數那么，其中的四位完全平方數最小是 【例 5】 計算=A×A，求A 2222111121個20041002個 2，求A為多少? 鞏固】 【A?44448888942004個2003個8 求是否存在一個完全平方數，它的數字和為2005？ 【例 6】 求一個最小的自然數，它乘以2后是完全平方數，乘以3后是完全立方數，乘以5后是5次方數 【鞏固】 一個數的完全平方有39個約數，求該數的約數個數是多少？ 【例 7】 一個自然數分別與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150，那么這個數是多少？ 【鞏固】 一個偶數分別與其相鄰的兩個偶數相乘，所得的

10、兩個乘積相差80，那么這三個偶數的和是多少？ 【例 8】 能否在下式的“”內填入加或減，使等式成立，若能請填入符，不能請說明理由。 （1）1 2 3 4 5 6 7 8 910 （2）1 2 3 4 5 6 7 8 927 【鞏固】 是否存在自然數a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【例 9】 有一批文章共15篇，各篇文章的頁數是1頁、2頁、3頁、14頁和15頁的稿紙，如果 將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數頁碼的文章最多有多少篇？ 【鞏固】 一本故事書共有30個故事，每個故事分別占1、2、3、30頁（未必按這個順序）。第一個故事

11、從第1頁開始，每個故事都從新的一頁開始，最多有_個故事是從奇數頁開始的。 使得各行之和及各，16個自然數填入的方格表中（每個小方格只填一個數）這【例 10】 能否將1164?4 個連續的自然數？如果能填，請給出一種填法；如果不能填，請說明理由列之和恰好是8 ，的小正方體，每個小正方體有三組相對的面，第一組相對的面上都寫著數字個棱長是11【鞏固】 有8個小正方體現在把這82，第三組相對的面上都寫著數字3(如圖)第二組相對的面上都寫著數字個數。問：是否有一種拼合方式，使得大正方體每一個面上的4的大正方體拼成一個棱長是2. ? 字之和恰好組成6個連續的自然數CDBA21GH3312FE 【例 11】

12、 甲、乙、丙三人進行萬米賽跑，甲是最后一個起跑的，在整個比賽過程中，甲與乙、丙的位置共交換了9次，則比賽的結果甲是第 名 【鞏固】 甲、乙兩個哲人將正整數5至11分別寫在7張卡片上他們將卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三張，乙取走兩張剩下的兩張卡片，他們誰也沒看，就放到麻袋里去了甲認真研究了自己手中的三張卡片之后，對乙說：“我知道你的兩張卡片上的數的和是偶數”試問：甲手中的三張卡片上都寫了哪些數？答案是否唯一 【例 12】 在黑板上寫（2，2，2）三個數，把其中的一個2抹掉后，改寫成其余兩數的和減1，得（2，2，3），再把兩個2中的一個2抹掉后，寫成其余兩數的和減1，得（2，4，3），再把2

13、抹掉后寫其余兩數的和減1，得（6，4，3），繼續這一過程，是否能得到（859，263，597）？ 【鞏固】 有大、小兩個盒子，其中大盒內裝1001枚白棋和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內裝有足夠多的黑棋康康每次從大盒內隨意摸出兩枚棋子：若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內取一枚黑子放入大盒內；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內問：從大盒內摸了1999次棋子后，大盒內還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？ 【例 13】 把一個數的數字順序顛倒過來得到的數稱為這個數的逆序數，比如89的逆序數為98如果一個兩位數等于其逆序數與1的平均數，這個兩位數是_ 【鞏固】 幾百年前，哥倫布發現美洲新大陸，

14、那年的年份的四個數字各不相同，它們的和等于16，如果十位數字加1，則十位數字恰等于個位數字的5倍，那么哥倫布發現美洲新大陸是在公元_年。 【例 14】 一個十位數字是0的三位數，等于它的各位數字之和的67倍，交換這個三位數的個位數字和百位數字，得到的新三位數是它的各位數字之和的 倍。 【鞏固】 有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個三位數的和是2886，求所有這樣的6個三位數中最小的三位數的最小值 位數，已知新7位數比原7變成位數7位數大3591333，聰明的寶貝把【例 15】 722ABCDEFABCDEF來求求：（1）原7位數是幾，（2）如果把漢語拼音字母順序編為126，且以所求得原7位

15、數的 和所對應的拼音字母拼成一個漢字，再以后三個數字D，前四個數字組成的兩個兩位數BCA2E，F分別對應的拼音字母拼成另一個漢字，請寫出由這兩個漢字組成的詞。 滿足，請寫出這樣的六位數六位數 【鞏固】 設abcdef?f?fabcdeabcdef 課堂檢測 【隨練1】 A是由2002個“4”組成的多位數，即，A是不是某個自然數B的平方？如果是，寫出B；44444個2002 如果不是，請說明理由 【隨練2】 寫出從360到630的自然數中有奇數個約數的數 【隨練3】 沿著河岸長著8叢植物，相鄰兩叢植物上所結的漿果數目相差1個問：8叢植物上能否一共結有225個漿果?說明理由 【隨練4】 在“”的方

16、格中放棋子，每格至多放1枚棋子若要求行、列、條斜線（如圖所示）883088?上的棋子數均為偶數那么“”的方格中最多可以放多少枚棋子？ 8?8 第11題 31554，那么這3個不同的數字，用它們組成6個不同的三位數，如果這6個三位數的和是】【隨練5 有 個數字分別是多少？ 家庭作業 【作業1】 下面是一個算式：，這個算式的得6?5?425?4?1?3?3214321321211?數能否是某個數的平方？ ，試求滿足上述條件的最小的正整數0一個正整數的平方，它的最后三位數字相同但不為有 】2【作業 【作業3】 各位數字互不相同且各位數字的平方和等于49的四位數共有_個 【作業4】 證明：形如11，111，1111，11111，的數中沒有完全平方數。 【作業5】 一個偶數的數字和是40,這個偶數最小是 。 【作業6】 黑板上寫著兩個數1和2，按下列規則增寫新數，若黑板有兩個數a和b，則增寫a×bab這個數，比如可增寫5（因為1×2125）增寫11（因為1×51511），一直寫下去，問能 ，若不能，說明理由，若能則說出最少需要寫幾次得到？2008否得到 【作業7】 四年級一班同學參加學校的數學競賽，試題共50道