1、熱力學與統(tǒng)計物理課程教案熱力學與統(tǒng)計物理課程教案授課內容（教學章節(jié)）:第二章 均勻物質的熱力學性質授課地點授課班級12教材分析：本章主要是通過數(shù)學推演得出均勻系統(tǒng)各種平衡性質的相互關系，這是熱力學應用的重要方 面，得到的熱力學關系非常普遍，適用于處在平衡態(tài)的任何簡單系統(tǒng)。本章內容有助于培養(yǎng)學生 的邏輯推理能力和增加學生對熱力學原理的應用，如節(jié)流制冷和絕熱膨脹制冷等。教學目標:能夠根據(jù)內能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分推導出麥氏關系。理解麥氏關系的物理意 義，知道麥氏關系在熱力學中的應用，能夠推導系統(tǒng)的基本熱力學函數(shù)。知道使獲取低溫的常用 方法-節(jié)流過程和絕熱膨脹過程。掌握根據(jù)特性函數(shù)求出均勻

2、系統(tǒng)的全部熱力學函數(shù)的方法。理解 熱力學理論在熱輻射場中的應用，知道低溫技術在現(xiàn)代科學技術中的重要應用。教學重點與教學難點：教學重點：由熱力學函數(shù)（內能、焓、自由能、吉布斯函數(shù)）的全微分推導出的麥氏關系, 本熱力學函數(shù)的確定，特性函數(shù)。教學難點：麥氏關系的推導及其應用，低溫的獲取。教學內容2.1內能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分2.2麥氏關系的簡單應用2.3氣體的節(jié)流過程和絕熱膨脹過程2.4基本熱力學函數(shù)的確定2.5特性函數(shù)2.6熱輻射的熱力學理論2.7磁介質的熱力學2.8獲得低溫的方法教學方法與手段大部分內容以講授為主，低溫的獲取這節(jié)請同學們課前收集資料在課堂上加以討論，輔以多 媒體課件進

3、行教學。課后作業(yè)22 2.3 2.4 2.6 2.7 2.8 2.9 2.11 2.14 2.15 2.20 2.22 2.23小論文1、絕熱去磁致冷的原理及其在現(xiàn)代科學技術中的應用？2、黑體輻射的原理?教材與參考資料教材：熱力學與統(tǒng)計物理汪志誠 高等教育出版社參考資料：熱學 李椿 章立源 錢尚武高等教育出版社;第二章均勻物質的熱力學性質2.1內能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分1、U、H、F、G全微分形式在第一章我們根據(jù)熱力學的基本規(guī)律引出了三個基本的熱力學函數(shù)，物態(tài)方程、內能和熵，并導出了熱力學基本方程：dU =TdS-PdV。即U作為S、V 函數(shù)的全微分表達式。焓的定義：H =U +PV

4、，可得：dH =TdS +VdP，即H作為S、P函數(shù) 的全微分表達式。自由能：F =U -TS，求微分并代入式可得：dF = -SdT- PdV吉布斯函數(shù)：G =U -TS + PdV，求微分并代入可得：dG = -SdT+VdP2、麥氏關系的推導U作為S、V的函數(shù)：U =U(S,V )，其全微分為:dU= FdS +與式比較，得：-借1，僚，求二次偏導數(shù)并交換次序，得:類似地，由焓的全微分表達式可得: 對，乩 丿PI點P丿S cS5P由自由能的全微分表達式可得:作】，-一伶1,、Up 丿TdF _(cS -GV由吉布斯函數(shù)的全微分表達式可得:3僚1，V<b語乩-四式給出了 S,T,P,

5、V這四個量的偏導數(shù)之間的關系。2.2麥氏關系的簡單應用1、麥氏關系JP丿T齊丿。S,T,P,V這四個量的偏導數(shù)之間的關系。利用麥氏關系，可以把一些不能直接從實驗測量的物理量用例如物態(tài)方程和熱容量 (或a和kT )等可以直接從實驗 測量的物理量表達出來。2、能態(tài)方程選T,V為獨立變量，內能的全微分為：dU =駕dT+閑dV而由：dU =TdS-PdV,以及T,V為自變量時熵的全微分表達式:dS =帥T嚼dV可得：dU帶dT + 丿V比較可得：5=(罟Kt&TdT稱為能態(tài)方程，即溫度保持不變時內能隨體積的變化率與物態(tài)方程的關系。對理想氣體，PVm = RT，貝JE m 'lVm丿T

6、 " 這正是焦耳疋律的結果。3、焓態(tài)方程以T，P為獨立變量，焓的全微分為：dH =(1TpdT+(1P】dP而由dH =TdS+VdP，以及T,P為自變量時熵的全微分表達式:僚0+僚dP，可得:dH=T僚卜計St卸 +vldP。比較可得：cp=£t1=t宮&T丿P稱為焓態(tài)方程，即溫度保持不變時焓隨壓強的變化率與物態(tài)方程的關系。4、定壓熱容量與定容熱容量之差。Cp -CV 誦P-T由 S(T,P) = S(r,V(T, P)可得:因此：Cp -Cv =T一 I 丿 vl£T 丿 P，給出了熱容量與物態(tài)方程之間的關系。Cp -Cv2 a kJ2.3氣體的節(jié)流過

7、程和絕熱膨脹過程1、節(jié)流過程氣體的節(jié)流過程和絕熱膨脹過程是獲得低溫的常用方法。先討論節(jié)流過程。如圖2.1所示，管子用不導熱的材料包著，管子中間有一 個多孔塞或節(jié)流閥。現(xiàn)在用熱力學理論對節(jié)流進行分析。 設在過程中有一定數(shù)量的氣體通過了多孔塞。在通過多孔塞前，其壓強為P，體積為Vi，內能為Ui ； 通過多孔塞后，壓強為P2，體積為V2，內能為U2，在過程中外界對這部分氣體 所做的功是P1V1-P2V2。因為過程是絕熱的，根據(jù)熱力學第一定律，有U 2 -U , = Ry P2V2，即：U 2 + P2v U , + PM，H H 2命丿H這就是說，在節(jié)流過程前后，氣體的焓值相等。定義：2 = 表示在

8、焓不變的條件下氣體溫度隨壓強的變化率，稱為焦湯系數(shù)。環(huán)丿H "C?L1對理想氣體a -，所以廠0。對于實際氣體，若oT >1，有"0 ;若oT <1，有口 V 0。現(xiàn)在討論氣體的絕熱膨脹。如果把過程近似地看作是準靜態(tài)上，在準靜態(tài)絕熱過程中氣體的熵保持不變，由dS ：=5+僚卜P=0。可得:上式給出了準靜態(tài)絕熱過程中氣體的溫度隨壓強的變化率。上式右方是恒正 的。所以隨者體積膨脹壓強降低，氣體的餓溫度必然下降。從能量的角度看，氣 體在絕熱膨脹過程中減少其內能而對外作功， 加以膨脹后其他分子見的平均距離 增大，分子間的互相作用能量有所增加，因而使氣體的溫度下降。氣體的

9、絕熱膨 脹過程也被用來使氣體降溫并液化。2.4基本熱力學函數(shù)的確定在前面所引進的熱力學函數(shù)中，最基本的是物態(tài)方程。內能和熵。其他熱力 學函數(shù)均可由這三個基本函數(shù)導出。現(xiàn)在我們導出簡單系統(tǒng)的基本熱力學函數(shù)的 一般表達式，即這三個函數(shù)與狀態(tài)參量的函數(shù)關系。1、以T、V為狀態(tài)參量，內能和熵的表達式如果選T、V為狀態(tài)參量，物態(tài)方程為：P = P(T,V ),前面已經(jīng)說過，在熱pldV力學中物態(tài)方程由實驗測得。內能的全微分為：dU = Cv dT + T fp沿一條任意的積分路線求積分，可得：U = J |cvdT + Ffp這就是內能的積分表達式。熵的全微分為：求線積分得：S=J隔T+僚dV + S0

10、,這就是熵的積分表達式。由上面二式可知，如果測得物質的 Cv和物態(tài)方程，即可得其內能函數(shù)和熵函數(shù)。還可以證明，只要測得在某一體積(比容)下的定容熱容量CV0，貝U任意體積（比容）下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程求出來（習題 2.9 ）。因此，只 需物態(tài)方程和某一比容下的定容熱容量數(shù)據(jù)，就可以求得內能和熵。2、以T、P為狀態(tài)參量，內能和熵的表達式如果選為T、P狀態(tài)參量，物態(tài)方程是：v=v（r,p卜關于內能函數(shù)，在選T、P為獨立變數(shù)時，以先求焓為便。焓的全微分為：dH =CPdT + y -TdP，求線積分得：H = J CpdT + F -TH + Ho，這就是焓的積分表達式。由U = H -PV

11、即可求得內能,C熵的全微分為：dS =dT -T僚ldP求線積分得：-4dT- I dpl+So,這就是熵的積分表達式。0丿P由上面二式可知，只要測得物質的Cp和物態(tài)方程，即可得物質的內能和熵。還可以證明，只要測得某一壓強下的定壓熱容量 C0，任意壓強下的Cp都可根據(jù)物態(tài)方程求出來（習題 2.9 ）。因此，只需物態(tài)方程和某一壓強下定壓熱容量的 數(shù)據(jù)，就可以確定內能和熵。對于固體和液體，定容熱容量在實驗上難以直接測定，選T、P為自變量比較方便。根據(jù)物質的微觀結構，用統(tǒng)計物理學的方法原則上可以求出物質的熱力學函數(shù)，這將在統(tǒng)計物理學部分講述。3、例題(1)以T、P為狀態(tài)參量，求理想氣體的焓、熵和吉布

12、斯函數(shù)求范氏氣體的內能和熵簡單固體的物態(tài)方程為：V（T, P） = Vo （To,0）1 + MT-ToKt P 試求其內能和熵。2. 5特性函數(shù)馬休在1869年證明，如果適當選擇獨立變量（稱為自然變量），只要知道一個熱力學函數(shù)，就可以通過求偏導數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學函數(shù)，從而把 均勻系統(tǒng)的平衡性質完全確定。這個熱力學函數(shù)即稱為特征函數(shù)，表明它是表征 均勻系統(tǒng)的特性的。在應用上最重要的特征函數(shù)是自由能和吉布斯函數(shù)。自由能的全微分表達FF/F式：dF =SdT- PdV，因此：S =佇，P =-佇。刃cV如果已知F, V )，求F對T的偏導數(shù)即可得出熵S(T, V )；求F對V的偏導數(shù)即得

13、出壓強P(T，V ),這就是物態(tài)方程。根據(jù)自由能的定義：F = U -TS， 有：U = F +TS =F -T史 ，上式給出內能U(T, V )。這樣，三個基本的熱力學函數(shù)便都可由FfT，V 求出來了。式稱為稱為吉布斯-亥姆霍茲方程。吉布斯函數(shù)的全微分為：dG=-SdT+Vd P，因此：s = -0,V= cTcP如果已知G(r，P),求G對T的偏導數(shù)即可得出-S(T, P)；求G對P的偏導 數(shù)即可得出VT P ),這就是物態(tài)方程。由吉布斯函數(shù)的定義，有U PV蟲-唁-P詈，此式給出Z，P)。這樣三個基本的熱力學函數(shù)便可以由GfT，P)求出來了。由焓的定義H=U+ PV，得H=G-T電打，式

14、也稱為吉布斯-亥姆霍茲方程。例題：求表面系統(tǒng)的熱力學函數(shù)。2.6熱輻射的熱力學理論受熱的物體可以輻射電磁波，稱為熱輻射。一般情形下熱輻射的強度和強度按頻率的分布與輻射體的溫度和性質都有關。如果輻射體對電磁波的吸收和輻射 達到平衡，熱輻射的特性將只取決于溫度，與輻射體的其它特性無關，稱為平衡 輻射。考慮一個封閉的空窖，窖壁保持一定的溫度 T。窖壁將不斷向空窖發(fā)射并吸 收電磁波，窖內輻射場與窖壁達到平衡后，二者具有共同的溫度，顯然空窖內的 輻射就是平衡輻射，也稱為黑體輻射。我們首先證明，空窖輻射的內能密度和內能密度按頻率的分布只取決于溫度，與空窖的其它特性無關。設想有兩個空窖，溫度相同但形狀、體積

15、和窖壁材 料不同。開一小窗把兩個空窖連通起來， 窗上放上濾光片，濾光片只允許圓頻率 在3到3 +d 3范圍的電磁波通過。如果輻射場在 3到3 +d W范圍的內能密度在兩窖不等，能量將通過小窗從內能密度較高的空窖輻射到內能密度較低的空窖使 前者溫度降低后者溫度升高。這樣就在溫度相同的兩個空窖自發(fā)地產(chǎn)生溫度差, 熱機可以利用此溫度差吸取熱量而作功。這違背熱力學第二定律，顯然是不可能 的。所以空窖輻射的內能密度和內能密度按頻率的分布只可能是溫度的函數(shù)。現(xiàn)在根據(jù)熱力學理論導出空窖輻射的熱力學函數(shù)。1、求輻射能量密度u與溫度T的函數(shù)關系將空窯輻射看作熱力學系統(tǒng)，選 T、V為狀態(tài)參量。空窖輻射的能量密度u

16、(T)，空窖輻射的內能U(T, V )可以表為：U(T, V)=u(TV。利用熱力學公式:伶卜書l-p '以及輻射壓強P與輻射能量密度u之間的關系P=u ，可得：u =工空-u33 dT 3即：T -du =4udT積分得：u=aT4。其中a是積分常數(shù)，表明空窖輻射的能量密度與絕對 溫度T的四次方成正比。2、求輻射場的熵S將式的u和式的p代入熱力學基本方程：dS = dU十PdV，可得:= -ad (VT3)31 43 dS =d(aT V)+ aT dV T3積分得：aT3V。3在可逆絕熱過程中輻射場的熵不變，這時有：T 3V =常量。3、輻射場的吉布斯函數(shù)Gu =aT4、14將P

17、= u、u =aT4、S= aT3V代入G=U-TS+ PV式中，可得空窖輻 33射的吉布斯函數(shù)G = 0。輻射場的吉布斯函數(shù)為零。在統(tǒng)計物理部分將會看到， 這個結果是與光子數(shù)不守恒相聯(lián)系的。4、平衡輻射場的輻射通量密度單位時間內通過小孔的單位面積向一側輻射的輻射能量, 度。輻射通量密度Ju與輻射內能密度u之間存在以下關系現(xiàn)在證明如下:計算在單位時間內通過面積元 dA向一側輻射的能量。稱為輻射通量密1Ju = CU4如果投射到dA上的是4兀內，通過dA向一側輻射的能量為CUcos&dA。對立體角積分，通過dA向一側輻射的總輻射能量:J U dA =n響 COT 和 es” 4CudA一

18、束平面電磁波。其傳播方向與 dA的法線方向平行，則單位時間內通過 dA向 一側輻射的輻射能量為cudA。各向同性的輻射場包含各種傳播方向，因此傳播 方向在do立體角的輻射能量密度為CU。單位時間內，傳播方向在 山立體角Ju McaT4 =bT4為斯式藩一玻耳茲曼(Stefan Boltzma nn)定律，cr稱為斯忒藩4常數(shù)，數(shù)值為 "5.669x10丄W.mK *，它由實驗確定。2.7磁介質的熱力學1、基本微分方程。考慮勻強磁場(外磁場強度 H )中的各向同性磁介質，磁場對系統(tǒng)作功寫 為dW =VH dB。( E表示電場強度，H表示磁場強度).又磁感強度 B =%(H +M)，其中

19、出為常數(shù)，M為磁化強度，相應的總磁矩為m = MV .考慮各向同性情形，B,H,M方向一致，以上各矢量可寫為標量<1形式.于是有：dW =Vd 丄40H2 +l%VHdM 。12上式右端首項為激發(fā)磁場所作的功，第二項為使介質磁化所作的功。如果忽略磁介質的體積變化，則磁介質的熱力學基本方程為dU = TdS +巴Hdm2、麥克斯韋關系吉布斯函數(shù)為 G = U -TS -巴Hm，故有：dG = -SdT - %mdH。由完整微分條件可得：P0 (昭，此式為磁介質的一個麥克斯韋關系。3、熱磁-磁熱效應由 S =S(T,H )，有丿H 一1，即(各1在磁場不變時磁介質的熱容量為Ch，則得:It、 的丿S%T R