1、立體幾何初步（知識點梳理）作者:日期:春季高考立體幾何部分知識點梳理及歷年試題一 線面之間空間關系及證明方法A.線線的證明方法1. 將兩條直線放到一個平面內（或者轉移到同一平面內 線來證明2. 一條直線與一個平面平行 ，則過這條直線的任一平面與此平面 的交線與該直線平行.（線/面 線/ /線）利用平行四邊形或者三角形的中位（面/面線/3 .如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。線）4 垂直于冋一個平面的兩條直線平b/行。B .線丄線的證明方法1. 異面直線平移到一個平面內證明垂直2. 一條直線垂直于一個平面，則這條直線與平面內任意直線垂直（線丄面線丄線）C .線/面的證明方

2、法1.平面外一直線與平面內一直線平行，則該直線與此平面平行 /面）（線/線線2 .如果兩個平面平行，那么其中一平面內的任一直線平行于另一平面 /面）（面面線/z2Z7D.線丄面的證明方法1.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（線丄線線丄（面丄面線丄面）2 .兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面E.面/面的證明方法1.一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩平面平行 （線面 面/ /面）2.如果一個平面內的兩條相交直線和另一個平面內的兩條相交直線分別平行 平面平行（線/ /線 面/面），那么這兩個3.垂直于同一條直線的兩個平面平行。4 .平

3、行于同一個平面的兩個平面平行。F.面丄面的證明方法1.如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 面）（線丄面面丄二.各幾何體的體積公式柱體（圓柱，棱柱） V= sG其中s為底面積,h為高椎體（圓柱，棱柱）V=3?h其中s為底面積,h為高球體體積V=4 ?表面積S =4 n ?2012年春考真題 23.已知空間四邊形 AB CD中，E, F,G H分別是邊A B,B C,CD DA的中點，給出下列四個命 題：2.AB/ / D C1 .A C與BD是相交直線3 .四邊形EFG H是平行四邊形 其中真命題的個數是A. 44.EH/平面B CDB.3C.2D. 1AC與BD沒有相

4、交，是異面直線。所以1錯;AB和DC也是異解析：如圖面直線，所以2錯。根據三角形中位線E H/ B D, F G/ BD,所以EH/F G,同理HG/ E F所 以四邊形EFGH是平行四邊形是正確的；因為EH/FG,所以E H/平面B CD正確（平面外一 直線與平面內一直線平行，則該直線與此平面平行）。綜合來看正確的命題有2個，答案選C2 0 12年春考真題28題已知圓錐的底面半徑為 1 ,高為3,則該圓錐的體積是1 1 2 1 2解析:V = V=3?h = V=3 n ?h戈 n X12 X3 = n20 12年春考真題3 3題3 3 .如圖所示，已知正四棱錐 S-ABC D, E,F分別

5、是棱柱SA,SC的中點。求證（1）EF/平面AB CD（2） EF丄平面 SBD解析:3廣ZZI-J-連接AC交BD于P在？SAC中E ,F分別是棱柱SA, SC的中點，所以在三角形中中位線E F/A C。因為 AC?面A BCD, EF ?面ABCD 所以EF/平面AB CD （平面外一直線與平面內 一直線平行，則該直線與此平面平行.） 連接SP,因為P是正四棱錐 S-ABC D的中心，所以S P丄面ABCD，所以SPXA P,又因 為在正方形ABCD中AP丄BD,所以AP丄面S BD（ 一條直線與一個平面內的兩條相交直線 都垂直，則該直線與此平面垂直 ），因為EF/A P，所以EF丄平面S

6、 BD201 3年春考真題18題18.下列四個命題:(1 ).過平面外一點，有且只有一條直線與已知平面平行(2).過平面外一點，有且只有一條直線與已知平面平垂直(3).平行于同一個平面的兩個平面平行；(4).垂直于同一個平面的兩個平面平行。 其中真命題的個數是()A. 1B. 21c.D.4解析：過平面外一點可以有很多條直線與已知平面平行平面平行所以(1 )錯。垂直于同一個平面的兩個平面也可以垂直，例如墻角上的三個面。 所以真命題的個數為 2個。，這些直線可以構成一個平面與已知28. 一個球的體積與其表面積的數值恰好相等，該球的直徑是解析:設球的半徑為r，球體體積 V=4?*3?,表面積S =

7、4n ?有等式?3?= 4 n ?解得r=3,所以直徑為6。2 013年春考真題33題3 3 .如圖所示，已知棱長為1的正方體 ABC D-A1 B 1C1D1(1)求三棱錐 C1-BCD的體積(2)求證平面 Gbd丄平面A1B1CD1 11 1解析：(1) Vc1-bcd=-S?bc d?C C1 = 3 X (- X 1 X 1)X1 =63326證明：在正方體 ABCDA1B1GD1中棱A1B1丄面BB1CC,所以A1B1丄BCi(一條直線垂直于一個平面，則這條直線與平面內任意直線垂直)在正方形BB1CC中BC1丄CBi,又因為A1 B1與CBi相交于B1,所 以BC1丄平面A1 B1

8、CD,(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，平面垂直)面C 1BD過直線BC 1，所以平面 C1BD丄平面A 1 B1 CD(如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直)則該直線與此S2014年春考真題17題17.正方體的棱長為2,下列結論正確的是(A)異面直線AD 1與C D所成的角為45° (B)直線AD 1與平面ABC D所成的角為60(C)直線AD1與CD 1所成的角為9 0°4(D)Vd 1 -acd=3D1A1Cl解析：A中的異面直線問題要將異面直線轉移到一個平面內，觀察圖形因為CD/C1 D 1所以異面直線AD 1與CD所成的角轉成異面

9、直線 AD1與C1D1所成的角，即角 A D1C1。 因為 C 1D1 丄面 AA1 DD 1,所以 C 1D1 丄 AD i ,角 A D 1C1 =90 °B考察的是線與面成的角。因為D角 D ADi,為4 5°C中直線AD 1與CD還有直線Di丄面ABC D,所以直線 ADi與平面ABC D所成的角為AC構成了等邊三角形，所以AD1與CD1所成的角為60°1 1D 中 Vdi- ACCF3 X ( 2 X 2 X 2)4X 2=3綜上，D答案正確。2 0 14年春考真題 24題2 4.如一個圓錐的側面展開圖是面積為8 n的半圓面，則該圓錐的體積為解析:圓的面

10、積公式為n r2，根據半圓面積8 n解得半徑r=4,半圓的周長為nr=4 n,這4 n要充當圓錐底面的周長，所以圓錐底面的半徑R為2,在圓錐中母線r=4,解出h=J=2v3，所以圓錐的體積為 V =1 n ?h = 1 n2 ?2 v=8?寥33320 14年春考真題2 9 如圖，四棱錐 P-ABCD中，PA丄平面 ABCD,PA=AD,E為PD中點,AB /CD 且 AB = 2CD,A B丄 AD。求證：(1)A E丄平面P CD(2 )A E/平面 PBC解析：（1）因為pa丄平面 ABCD,所以pa 丄a B,因為 AB丄AD,所以 AB丄面P AD，因為A B/ / C D所以CD丄面PAD，所以C D丄AE在三角形APD中PA=AD且E為等腰三角形的中點， 所以AE丄PD,因為C D與PD相交于D 所以AE丄平面pc D（一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直）如圖取pc的中點F,分別連接 EF和BF。因為E為