1、均值不等式應用2 21.(1)若a,b R，則a2b22ab(2)若a,b R，則 ab -一(當且僅當a22若a,b R*，則ab（當且僅當a b時取“=”）22 25.若a,b R，則(-a b)2 aL (當且僅當a2 2（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用 應用一：求最值例 1 :求下列函數的值域(1)y = 3x2+ 步(2) y = x+1解:(1)y = 3x

2、2+ 步 2/3x 22；23.若x0，則x1x2（當且僅當x 1時取“=”）若x0，則x12（當且僅當x1時取“=”）x若x0，則x112 即 x 2 或 x1-2（當且僅當axxxb時取“=”)2（當且僅當ab時取“=”)若ab 0，則a b2即a b2或a-b ab ab a-2（當且僅當a b時取“=”）b時取“=”）2.(1)若a,b R*，則a_b. ab(2)若a,b2R*，則a b 2 , ab（當且僅當ab時取“=”)b時取“=”)=6 值域為6,+R)(2)當 x0 時，y = x + * 2；x = 2;當 xv0 時，y = x+- = ( x- - )2.3a3b2.

3、3a b6當3a3b時等號成立，由a b 2及3a3b得a b 1即當a b 1時，3a3b的最小值是 6.1 1變式：若log4x log4y 2，求的最小值.并求 x, y 的值x y:整體代換 多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。192：已知x 0, y 0，且1,求x y的最小值。x y19條件是即y 9x，取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列x y出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：Q x 0, y 0, 1，x yx y x y -9-106 10 16x y x y當且僅當-時，上

4、式等號成立,x ye 19彳又1，可得x 4, y 12時，x ymin16。x y變式：（1）若x,y R且2x y 1，求丄1的最小值x y錯解：Qx0,y 0,且丄？1,x y19_9xy2，x y. xy2 xy 12故xymin x y錯因: 解法中兩次連用均值不等式，在x y2 xy等號成立條件是x y，在丄？02 x yxy12。等號成立已知a,b,x, y R且1,求x y的最小值 x y技巧七22y,_2已知 x, y 為正實數，且 x +牙=1,求 x 1 + y 的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式_ 1同時還應化簡寸 1 + y 中 y2前面的系數為

5、 2 ,1x2+ +2 222+ =技巧八：1已知 a, b 為正實數，2b+ ab+ a = 30,求函數 y= 的最小值.ab分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。、丄30 - 2b30- 2b法一：a= b + 1，ab=b+ 1由 a 0 得，0vbv15 ab當且僅當 t = 4，即 b= 3, a = 6 時，等號成立。法二：由已知得：

6、 30 ab= a + 2b/ a+ 2b2 2 ab 30 ab 2 2 ab令 t = b+1, 1vtv16,2t ab =2+ 34t 31t=2 (t +16)+ 34abw=p 苛-2 +;分別看成兩個因式:2 +y2222 b + 30bb + 1x -令 u = Jab則 u2+2 2 u30w0,5 2u 18a b點評：本題考查不等式ab(a,b R)的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R)出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到a b與ab之間的關系，由此想到不等aK_式 .、ab(a,b R)，這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而

7、解得ab的范圍.2變式：1.已知 a0, b0, ab (a + b) = 1，求 a+ b 的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x, y 為正實數，3x+ 2y = 10,求函數 W= 3x + , 2y 的最值.3x+2yw2(3x)2+(2y)2=2 3x+2y=2 5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W 0,W2=3x+2y+2 3x2y=10+2 3x2yw10+( 3x )2( 2y )2=10+(3x+2y)=20Ww20=2 5 變式：求函數 y . 2x1

8、. 52x(1x)的最大值。2 2解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。y2(、2x 1. 5 2x)24 2.(2x 1)(5 2x)4 (2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0 y 2 2當且僅當2x 1=5 2x，即x|時取等號。故ymax2 2。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積 極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系, 2 . 2a+b a+b-w-2 2，本題很簡單例 6 :已知

9、a、b、eR，且a b e 1。求證:1 1 j 口 近，可由此變形入手。a a a a上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得應用三：均值不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式x y m恒成立的實數m的取值范圍。1 9解：令x y k,x 0, y 0,1,x yx y9x 9y1.kxky10_y_空1kkxky10312。kkk 16,m,16應用四：均值定理在比較大小中的應用：1 .-Q(Iga lgb) Iga Igb pa b1R lg( ) lg . ab lg ab Q2 21.已知a,b,e為兩兩不相等的實數，求證：a2b2ab be ca1)正數 a, b, e 滿足 a+ b+ e = 1，求證：(1 a)(1-b)(1e) 8abe分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又解：Qa、b、e