1、解答橢圓中最值問題策略橢圓是圓錐曲線這一章節中的重要內容，而與橢圓有關的最值問題則是解析幾何中最值問題的一個組成部分與橢圓有關的最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣等特點，是學習 中的一個難點要解決這類問題往往利用函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸等數 學思想方法，將它轉化為解不等式或求函數值域，以及利用函數單調性、 各種平面幾何中最值的思想來解決一、建立目標函數，禾U用函數性質x2 y例1設P（x, y）是橢圓64+ 28 = 1上的一點，Fl為橢圓的左焦點，求|PF1|的最大值和最 小值分析：由于點F的坐標為（一6, 0）,因此只須設出點P的坐標（x, y），結合橢圓方程即可建立|PF

2、i|關于橫坐標x的目標函數，再結合函數的即可求解解：橢圓的左焦點Fi坐標為（6, 0），根據兩點的距離公式，得|PFi|=寸（x + 6）2+ y2 =寸（x + 6）2+ （28務2）=冷 （x + 乎）2 =x+ 爭，332由已知，得x 8，8，函數Rx+在8，8上為增函數,332332故 |PR|max=才|8+ = 14，|PFl|min = 4 8+ = 2.點撥：函數法是探求最值問題的常用方法，尤其是二次函數，值得注意的是函數自變量取值范圍的確定不容忽視同時通過本題的解答，可得結論：橢圓上的點到焦點的距離取得 最大值和最小值的點就是橢圓的兩個端點二、利用定義轉化，結合平面幾何性質例

3、2 已知A（4，0）、B（2，2），M是橢圓9x2 + 25y2= 225上的動點，求|MA|+ |MB|的最大與最小值分析：由于A（4，0）是橢圓的焦點，因此可以利用橢圓的定義對|MA|+ |MB|轉化，轉化為求解橢圓上一動點到定直線上兩定點的距離之差的最值問題解析：如圖所示，由題意，知點A（4, 0）恰為橢圓右焦點，貝UA關于0的對稱mJ點A1( 4, 0)(左焦點),由橢圓的第一定義，得 |MA|+ |MA1|= 2a, |MA|= 2a |MA1|, |MA|+ |MB|= (2 a |MA1|)+ |MB|=2a+ (|MB |MA1|),在厶 A1BM 中，|MB| |MA1| 焦

4、1|= 2伍，一2Vi0wMB| |MA1| 0，又 2a = 10故|MA|+ |MB|的最大值是 10+ 2.10,最小值為 10 2 10.點評：（1）涉及橢圓的焦點問題，一般都可以利用定義引導思維，同時常起著轉化的作 用；（2）注重使用平面幾何知識三角形中的三邊關系”，三點共線為特例，從而確定最值 三、巧妙設角，利用三角函數有界性x2 v2例3 已知橢圓C：孑+復=1（a>b>0）兩個焦點為F1, F2，如果曲線C上存在一點 Q,使F1Q丄F2Q,求橢圓離心率的最小值。Q分析：根據條件可采用多種方法求解，但是若借用三角函數 的有界性求解，會有不錯的效果由于F1Q丄F2Q,因

5、此可設/ PF1F2 =a,然后表示出相應的焦半徑|QF1|、|QF2|,結合定義即可建立離 心率關于a的三角函數解：設/ QFiF2= a,貝V|QFi|= |FiF2|cos = 2ccos a |QF2|= |FiF2|sin =2csin ,a由橢圓定義知 |QF11+ |QF2|= 2a, 即 2ccos + 2csin = 2a,c 1 1、2故 e=_=)=卞(當 a= 45 時取=”,a Sin + cos a 羽sin( a+ 45 ) 2 '/故橢圓離心率的最小值為 -22.點評：本題建立離心率e關于a的目標函數的關鍵是利用三角函數處理Rt QF1F2邊角的關系.另

6、外，利用三角函數的有界性求最值時，一定要注意角的范圍四、利用橢圓的幾何性質，建立變量不等式2 2例4 若A、B為橢圓x2 +占=1(a > b > 0)的長軸兩端點，Q為橢圓上一點，使/ AQBa b=120，求此橢圓離心率的最小值.分析：建立a、b、c之間的不等式是解決離心率最值問題常規思路.此題也就要將角轉化為邊的思想，但條件又不是與焦點有關， 很難使用橢圓的定義。 故考慮使用到角公式轉化 為坐標形式運用橢圓中 x、y的取值進行求解離心率的最值kBQ =',x + ax a解：不妨設 A(a , 0), B( a, 0), Q(x, y)，貝U kAQ = yx2+ y

7、2 a2_ 3利用到角公式及 AQB = 120 ,得x + a x a才玄n120 (x = ±a),g卩2ay y y1+ x+ a x a又點A在橢圓上，故x2 a2= 辛，消去x得y = 2；：,又 丫三“即貝U 4a2(a2-c2) < 3c從而轉化為關于e的高次不等式3e4+ 4e2 4>0,解得誓<e 1.故橢圓離心率的最小值為-3.點評：對于此類最值問題關鍵是如何建立a、b、c之間的關系.常用橢圓上的點(x, y)表示成a、b、c,并利用橢圓中x, y的取值來求解范圍問題或用數形結合進行求解a、c的不等式，求五、利用均值不等式，建立不等式 根據題設條

8、件建立不等式，再根據均值不等式轉化為不等式，建立 e的范圍.例5設橢圓£+ y2= i(a>b>0)的兩焦點為Fl、F2,問當離心率e在什么范圍取值時,當橢圓上恒存在點P使/ F1PF2= 120時，求離心率最小值.分析：利用余弦定理建立IF1F2與|PF1|、|PF21的等式，利用均值定理解：設橢圓的焦點為 2c,由橢圓定義|PF1|+ |PF2|= 2玄，在厶F1PF2中，由余弦定理得建立 a、c的不等式，通過解不等式可求得離心率的最小值|F1F2|2= |PF1|2+ |PF2|2 2|PF1| |PF2|cos/ F1PF2= |PF1|2+ |PF2|2 2|P

9、F1| |PF2|cos120 =(IPF1I+ |PF2|)2|PF1| |PF2|,所以 4a2 4c2= |PF1| |PF2| 事門:呼牛二 a2, 3a24c2W0,即 3a2< 4 芻孑,*誓,2'a 4 a 2又0 v ev 1，所以we 1，故離心率最小值 號.另外點評：本題所涉及的三角形是一個一般的三角形，因此利用了余弦定理進行轉化 本題還可以利用一條直線到另一條直線到角公式求解，不過過程要較為復雜些x2一例6已知橢圓C: 3 + y2= 1，設直線I與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點 0到直線I的距離為于，求厶AOB面積的最大值分析： AOB的高是已知的，因此只要用直線的斜率k結合弦長公式表示線段AB的長，即可將厶AOB面積S表示為k的函數，再利用求函數值域方法就可求得最大值解：當AB丄x軸時，|AB| = 3.當AB與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為y= kx + m,由已知|m|= 2 得 m2 = 3(k2 + 1),山 + k2 24把y = kx + m代入橢圓方程，整理得 (3k2 + 1)x2+