1、第二節命題及其關系、充分條件與必要條件【最新考綱】 1理解命題的概念，了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.理實雙基I©I基礎梳理1. 命題用語言、符號或式子表達的，可以 判斷真假的陳述句叫做命題, 其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.2. 四種命題及其相互關系(1)四種命題間的相互關系四種命題的真假關系 兩個命題互為逆否命題，它們有 相同的真假性； 兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性 沒有關系.3. 充分條件與必要條件(1)如果p? q,則p是q的充分條件，q是p

2、的必要條件.(2) 如果p? q,那么p與q互為充要條件.(3) 如果p? / q,且q ? / p,則p是q的既不充分也不必要條件.4. 集合與充要條件設集合A = x|x滿足條件p, B= x|x滿足條件q，則有(1) 若 A? B,貝S p是q的充分條件，若 A B,貝S p是q的充分 不必要條件.(2) 若B? A，則p是q的必要條件，若 B A，貝S p是q的必要 不充分條件.(3) 若A = B,則p是q的充要條件；若A B,且B A，貝S p是q的既不充分也不必要條件.I學情自測1. (質疑夯基)判斷下列結論的正誤.(正確的打“"”，錯誤的 打 “X” )(1)語句x2

3、 3x+ 2= 0是命題.()命題“若P,則q”的否命題是“若P,則q”.()(3) 命題“如果p不成立，則q不成立”等價于“如果q成立，則p成立”.()(4) “ p是q的充分不必要條件”與“ p的充分不必要條件是q”表達的意義相同.()解析：(1)變量x沒有賦值，無法判斷語句的真假，故不是命題.(2) 若“p,則q”的否命題是“若P,則q”. (3)一個命題與其逆否 命題同真假.(4)p是q的充分不必要條件是指p? q且q? / p; p的 充分不必要條件是q,是指q? p且p? / q,因此它們表達的意義不同.答案： x (2)x (3)V (4)xn2 .命題“若a=；4，則tan a

4、 = 1”的逆否命題是()nA .若 aM"4，則 tan a 半 1nB.若 a= 4，則 tan a 半 1nC .若 tan aM 1,貝卩 aM 4nD .若 tan a M 1 ,貝卩 a= "4"n解析：命題的條件是p： a= 4，結論是q： tan a=1由命題的四種形式，可知命題“若p,則q”的逆否命題是“若q,貝y P”，顯n然q： tan aM, p： a 4，所以該命題的逆否命題是 “若tan aMn1,則 aM 4”.答案：C3. (2015 重慶卷)“x> 1” 是“ Iog1(x + 2)v 0” 的()2A .充要條件B.充分而

5、不必要條件C .必要而不充分條件D .既不充分也不必要條件解析：vx> 1? Iog1(x + 2)v0, Iog1(x + 2)v0? x+ 2> 1? x>-2 21,.“x> 1”是“ Iog1(x + 2)v 0”的充分而不必要條件.2答案：B4. 命題“若a> 3,則a> 6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數為()A. 1B. 2 C. 3D. 4解析：原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為 “若a >6,則a> 3”是假命題，從而其否命題也是假命題.所以假命 題的個數為2個.答案：B5. (2017廣州一模)已知p

6、： ? x>0, ex axv 1成立，q：函數f(x) = (a 1)x是減函數，則p是q的()A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充要條件 D .既不充分也不必要條件解析：本題主要考查充分條件與必要條件.若 ？ x>0, ex axv 1成立，即？ x>0,使得exv ax+ 1成立.由于直線y= ax+ 1恒過點 (0, 1),且y= ex在點(0, 1)處的切線方程為y= x+1,因此，命題p 等價于a> 1若函數f(x) = (a 1)x是減函數，即a1> 1,亦即命題 q等價于a>2綜上所述，由命題q可推出命題p;但是命題p不一定 可推出

7、命題q故p是q的必要不充分條件.答案：B1名師微博*通法領悟孑一-一-一個區別在“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結論；“ A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結論.在進行充分、必 要條件的判斷中，要注意這兩種說法的區別.兩條規律1. 逆命題與否命題互為逆否命題；2. 互為逆否命題的兩個命題同真假.三種方法充分條件、必要條件的判斷方法有以下三種：1.定義法.直接判斷“若p,則q”、“若q,則p”的真假.并 注意和圖示相結合，例如“ p? q”為真，則p是q的充分條件.2.等價法利用p?q與q?p,q?p與p?q,p?q與q ? p的等價關系.對于條件或結論是否定式的命題，一般運

8、用等價 法.效提能I3.集合法.設集合A = x|x滿足p, B = x|x滿足q,若A? B, 則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A = B,則p是q的充 要條件.分層集訓I單眩成.冊0有實根”的逆否命題是（）A .若方程x2+ x m = 0有實根，則m>0B.若方程x2+ x m= 0有實根，則m< 0C .若方程x2+ x m = 0沒有實根，則m>0D .若方程x2+ x m = 0沒有實根，則m< 0解析：分別否定命題的條件和結論，并互換位置可得逆否命題。根據逆否命題的定義，命題“若m>0，則方程x2 + x m = 0有實根”的逆否命題是“若方

9、程x2+ x m= 0沒有實根，則m< 0”.答案：D3. 已知條件p：xw 1條件q：x2 x>0,則p是q成立的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充要條件 D .既不充分也不必要條件解析：由x2 x>0得xv 0或x> 1,所以 q： 0wx< 1,由x|0< x< 1 x|x< 1知，p是q的必要不充分條件.答案：B4. 已知集合 A = 1, m2 +1, B=2, 4,貝S “ m= .3” 是“ A A B=4 ”的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充要條件 D .既不充分也不必要條件解析：A A B =

10、4? m2+ 1 = 4? m= ± 3,故“m = /3”是“ A A B= 4”的充分不必要條件.答案：A5. 已知p： x> k, q： （x+ 1）（2 x）v 0,如果p是q的充分不必要條件，則 k 的取值范圍是 ( )A. 2,+x ) B. (2,+x)C. 1 ,+x ) D. ( x, 1解析：由 q： (x+1)(2 x)v0,得 xv 1 或 x>2,又p是q的充分不必要條件，所以k>2,即實數k的取值范圍是(2，+乂).答案： B6. (2015 陜西卷)“sin a = cos a ”是“ cos 2 = 0” 的()A .充分不必要條件B

11、. 必要不充分條件C. 充分必要條件D .既不充分也不必要條件解析：先將cos 2a=0等價轉化，再利用充分條件、必要條件的 定義進行判斷22cos 2a=0 等價于 cos a-sin a=0,即 cos a=sin a由 cos a = sin a可得到cos 2a=0,反之不成立.答案： A二、填空題7. 已知a, b, c都是實數，則在命題“若a>b,則ac2>bc2” 與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數是解析：由a>b? / ac2>bc2,但ac2>bc2? a>b,故原命題是假命題，逆命題是真命題，從而逆否命題是假命題，否

12、命題是真命題.答案：218. “ m v 1 ”是“一元二次方程x2 + x+ m= 0有實數解”的4件.解析：x2 + x+ m= 0有實數解等價于 = 1 4m > 0,1 11即m<4，因為mv4? m<*反之不成立.故“mv；”是“一元二次方程x2 + x + m = 0有實數解”的充分 不必要條件.答案：充分不必要9. 已知集合 A = x|y= lg(4 x),集合 B= x|xv a,若“ x A”是“x B”的充分不必要條件，則實數 a的取值范圍是.解析：A = x|xv4,由題意知A= B，所以a>4.答案：(4,+x )三、解答題10 .已知函數f(

13、x)是(一)上的增函數，a, b R，對命題“若 a + b0,則 f(a) + f(b)f( a) + f( b)".寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結論.解：否命題：已知函數f(x)在( = ,+ = )上是增函數，a, b取,若 a+ bv0,貝S f(a) + f(b)vf( a) + f( b).該命題是真命題，證明如下：*«a + bv 0,av b, bv a.又T f(X)在( x,+x)上是增函數.f(a)vf( b), f(b)vf( a),因此 f(a) + f(b) v f( a) + f( b),f 否命題為真命題.11.若xv m 1或x> m+ 1是x2 2x 3>0的必要不充分條件, 求實數m的取值范圍.解：由已知易得x|x2 2x 3>0x|xv m 1 或 x>m+ 1,又x|x2 2x 3>0= x|xv 1 或 x>3,1< m 1 1v m 1f或，g m< 2.m+ 1 v 3 m+ 1