1、第3 講 空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1. (2015 湖北卷, 12表示空間中的兩條直線，若p: li, 12是異面直線；q : li,l2 不相交，則 ()A. p 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件B. p 是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件C. p是q的充分必要條件D. p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件解析 直線li, 12是異面直線，一定有li與12不相交，因此p是q的充分條件； 若li與12不相交，那么li與12可能平行，也可能是異面直線，所以 p不是q 的必要條件 . 故選 A.答案 A2. (20i7 鄭州聯)已知直線a和平面a，

2、 B，aGB=丨，a?a， a? p,且a在a，B內的射影分別為直線b和c,貝U直線b和c的位置關系是()A. 相交或平行B.相交或異面C.平行或異面D.相交、平行或異面解析 依題意，直線 b 和 c 的位置關系可能是相交、平行或異面，選 D.答案 D3. 給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面；有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定i個或3個平面.其中正確的序號是 ()A. B.C.D.解析顯然命題正確由于三棱柱的三條平行棱不共面，錯命題中，兩個平面重合或相交，錯三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題正確答案 B4. （2017 濟南模擬,b , c是兩兩

3、不同的三條直線，下面四個命題中，真命題A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B. 若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C. 若a /b，則a，b與c所成的角相等D. 若 a 丄b，b 丄 c，貝U a /c解析 若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，貝U a，c相交、平行或異面；若a丄b，b丄c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知 C正確.故選C.答案 C/DiFD為異面直線AE與DiF所成的角.5. 已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F分別為BBi，CCi的中點，那么異面直線AE與DiF所成角的余弦值為

4、（）4325A一B.c.D.5537解析連接DF，則AE/DF，設正方體棱長為a，貝U DiD = a, DF'cos ZD i FD =答案 B、填空題6. 如圖，在正方體ABCD AiBiCiDi中，M ,N分別為棱CiDi,CiC的中點，有以下四個結論： 直線AM與CCi是相交直線； 直線AM與BN是平行直線; 直線BN與MB i是異面直線； 直線MN與AC所成的角為60 °其中正確的結論為填序號）.解析 A，M，Ci三點共面，且在平面 ADiCiB中，但C?平面ADiCiB，Ci?AM，因此直線AM與CCi是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，錯；M，B，Bi三點共

5、面，且在平面 MBBi中，但N?平面MBB i，B?MB i，因此直線BN與MBi是異面直線，正確；連接 DiC，因為DiC/MN，所以直 線MN與AC所成的角就是DiC與AC所成的角，且角為60 °答案7如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB /CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為B沖ND /BM ,故異面直線BM與AN所成角的余弦值為解析 取CD的中點H，連接EH, FH.在正四面體CDEF中，由于CD丄EH , CD丄HF, 且 EHAFH = H，所以CD丄平面EFH,所以AB丄平面EFH，貝U平 面EFH與正方體的左右兩側面平行，則E

6、F也與之平行，與其余四個平面相交. 答案48.(2014 全國U卷改編直三棱柱ABC AiBiCi中，/BCA = 90 °,M，N分別是AiBi，A1C1的中點，BC= CA= CCi，貝U BM與AN所成角的余弦值為、解答題(i)三棱錐P ABC的體積;9如圖所示，正方體 ABCD AiBiCiDi中，M , N分別是A1B1, B1C1的中點.問：(1) AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2) DiB和CCi是否是異面直線？說明理由.解(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN ， A1C1, AC. 因為M ， N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN /AiCi.又

7、因為AiA綉CiC，所以四邊形AiACCi為平行四邊形，所以 AiCi /AC，所以 MN /AC, 所以A，M，N，C在同一平面內， 故AM和CN不是異面直線.直線DiB和CCi是異面直線.理由：因為ABCD AiBiCiDi是正方體，所以B, C,Ci,Di不共面.假設DiB 與CCi不是異面直線，則存在平面a,使DiB?平面a, CCi?平面a,所以 Di , B, C, Ci a,這與B, C, Ci, Di不共面矛盾.所以假設不成立，(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.三棱錐P ABC的體積為二 3s-cPA二 3X2如圖，取PB的中點E,連接DE, AE,貝U ED /BC,

8、以ZADE是異面直線BC與AD所成的角（或其補角）.在zADE 中，DE = 2 , AE = ：2, AD = 2,22 + 22 2cos ZADE2 X 2 X2 43故異面直線BC與AD所成角的余弦值為；.11.以下四個命題中， 不共面的四點中，其中任意三點不共線； 若點A, B, C, D共面，點A, B, C, E共面，則點A, B, C, D , E共面; 若直線a, b共面，直線a, c共面，則直線b , c共面; 依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個數是（）A.0B.1C.2D.3解析 假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任

9、意三點不共線，所以正確 從條件看出兩平面 有三個公共點A, B, C,但是若A , B, C共線，則結論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊答案 Bi2.若空間中四條兩兩不同的直線1i, 12, 13 , 14，滿足 1i 丄 12 ,12 丄 13, 13 丄 14,貝 U下列結論一定正確的是（）A.1i 丄 14B.1i /I4C.1i與14既不垂直也不平行D.1i與14的位置關系不確定解析 如圖，在長方體 ABCD AiBiCiDi中，記li = DDi,12= DC , 13 = DA.若 14 = AAi，滿足 li 丄 12, 12 丄

10、 13 , 13 丄 14，此時1i /l4，可以排除選項A和C.若取CiD為14，則1i與14相交；若取BA為14,則1i與14異面；取CiDi為14,則1i與14相交且垂直因此1i與14的位置關系不能確定答案 Di3.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC = BC = 2, ZACB= 90 °,F, G分別是線段 AE,BC的中點，貝U AD與GF所成的角的余弦值為 .i解析 取DE的中點H，連接HF, GH.由題設，HF綉jAD.KFH為異面直線AD與GF所成的角（或其補角）.D H E在AGHF中，可求HF = ;；2 ,答案o14. 如圖，

11、在四棱錐 0 ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，0A丄底面ABCD , 0A = 2, M為0A的中點.(1) 求四棱錐0 ABCD的體積；(2) 求異面直線0C與MD所成角的正切值.解 由已知可求得正方形 ABCD的面積S = 4,18所以四棱錐0 ABCD的體積V = 一X4 X2 = 一.3 3(2)如圖，連接AC,設線段AC的中點為E,連接ME , DE. 又M為0A中點，.ME /0C,則ZEMD(或其補角)為異面直線0C與MD所成的角，由已知可得 DE=，；2, EM ：3, MD = ：5,r,'2)2 + (七)2二 C ,'5)2,DE 2 J6/DEM為直角三角形，二tan ZEMD =EM yj33異面直線0C與MD所成角的正切值為解析 如圖所示，取BC中點D，連接MN ， ND，AD.VM，N分別是AiBi, AiCi的中點，1iMN 銹一B