1、概率論與數理統計 第2章 隨機變量及其分布 第4節 連續型隨機變量及其概率分布 綜合講練（2）、全面學習基本內容（見教材、課件）、概括內容提要（見教材、課件）、歸納常見題型（必做題）題型二 利用常用連續型隨機變量的概率密度函數（分布函數）、性質與直觀模式，求解有關問題【例4】（教材P45例2），【例5】（教材P46例3），【例6】（教材P48例4），【例7】（第2版課件補充）【例8】（教材P48例5），【例9】（第2版課件補充），【例10】（教材P48例6）；【§2.4 課堂練習2】，【§2.4 課堂練習2】；【補例2.4.5】【補例2.4.9】；【第二章考研真題2】.【習

2、題2-4 EX5】【習題2-4 EX15】；【總習題二 EX13】【總習題二 EX16】.題型二 利用常用連續型隨機變量的概率密度函數（分布函數）、性質與直觀模式，求解有關問題l 提示（1）熟記常用連續型隨機變量的概率密度函數（分布函數）、直觀模式表（見課件光盤）；（2）熟記常用連續型隨機變量的概率密度函數（分布函數）的性質（補充）；（3）復習§2.1、§2.2及第1章中的有關知識（夠用為度，缺什么補什么）.此類問題多為綜合應用問題要訣：先設隨機變量（問什么設什么）； 后套用常用隨機變量的概率密度函數（分布函數）的性質與直觀模式l 辨析常用連續型隨機變量的概率密度函數（分布

3、函數）的性質1、如果，則 （通常稱為的標準化隨機變量） （參見P48定理1）2、如果， （ ，為常數，且 ），則 （證明類似P48定理1）3、如果，與分別為其分布函數與概率密度函數，與分別為標準正態分布的分布函數與概率密度函數，則（1） （ ） （參見P48（2）（2） （ ）4、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3） （ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號5、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號6、如

4、果，則的取值遵循“原則” ：的取值幾乎必然落入區間內，且其取值的概率“中間大、兩頭小，左右對稱” P50即是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號7、如果，則的取值落在區間的子區間的的概率與該區間長度成正比，且 它反映了的在點附近（而非單個點）取值的可能性的均等.8、如果，則對任意正數和，有 （參見P46(2)）是連續型 不等式中，可任意添加或去掉等號l 注意指數分布具有“無記憶性” ：在取值大于的條件下，取值大于的概率等于取值大于的概率，與起點無關，只與間隔有關）l 注意一般教材中，如果，其分布函數與概率密度函數分別記為： 與標準正態分布的分布函數與概率密度函數分別記為：與本教材中，如果

5、，其分布函數與概率密度函數分別記為： 與標準正態分布的分布函數與概率密度函數分別記為：與【例4】（教材P45例2）【辨析】利用均勻分布【例5】（教材P46例3）【辨析】利用指數分布、事件獨立性求概率設事件 第個元件使用1000小時后未損壞 三個這樣的元件使用1000小時后，至少已有一個損壞 = 1- 三個這樣的元件使用1000小時后，均未損壞 【例6】（教材P48例4）【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【例7】（第2版課件補充）【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意

6、實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【例8】（教材P48例5）【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【例9】（第2版課件補充）【辨析】利用正態分布的有關結論、全概率公式、Bayes公式設事件 該電子元件損壞 （“結果” ）顯然，由個“原因”引發： 電源電壓處在 電源電壓處在 電源電壓處在 注意到、構成一個完備事件組又是，由題設知電源電壓 （ ）故 簡化計算 或 較繁 由題設還知于是，所求事件的概率為

7、（1）求出該電子元件損壞的概率（2）求出該電子元件損壞時，電源電壓處在的概率由（1）知 分子為分母的第2項【例10】（教材P48例6）【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【§2.4 課堂練習1】【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【§2.4 課堂練習2】【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3

8、）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【習題2-4 EX5】【辨析】利用均勻分布、二項分布問題歸結為求下列事件的概率： 在車站候車的10位乘客中，只有1位等待時間超過4分鐘 = 在車站候車的10位乘客中，等待時間超過4分鐘乘客數 = 設在車站候車的10位乘客中，等待時間超過4分鐘乘客數為（單位：人），（在重試驗中，事件（某乘客等待時間超過4分鐘）恰好發生的次數），于是則的概率分布為在重試驗中，事件恰好發生次 其中， 又，由題設知，某公共汽車站每5分鐘有一輛車到達，而乘客在5分鐘內任一時刻到達是等可能的（即上一班車到達時刻為第0分鐘（已走），下一班車到達時刻

9、為第5分鐘），設乘客到達時刻為（單位：分鐘），注意到等可能地在閉區間內單位長度上取值，則由均勻分布的典型模式知即，的分布函數與密度函數分別為于是, 某乘客等待時間超過4分鐘的概率為所以，在車站候車的10位乘客中，只有1位等待時間超過4分鐘的概率為【習題2-4 EX6】【辨析】利用正態分布的有關結論1、如果，則 （通常稱為的標準化隨機變量） （參見P48定理1）2、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號3、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3）

10、 （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【推導】（1）由于查附表3，得故取解出（2）由于 不能查附表3，查附表3，得故取解出【習題2-4 EX7】【辨析】利用正態分布、二項分布用泊松分布近似問題歸結為求下列事件的概率： 100次獨立重復測量中，至少有3次測量誤差的絕對值大于19.6 = 100次獨立重復測量中測量誤差的絕對值大于19.6的測量次數 = 設100次獨立重復測量中測量誤差的絕對值大于19.6的測量次數為（單位：次），（在重試驗中，事件（某次測量誤差的絕對值大于19.6）恰好發生的次數），于是則的概率分布為在重試驗中，事件恰好發生次 （精確值） 其

11、中，先求出 某次測量誤差的絕對值大于19.6 由題設知，測量誤差 （， ）于是 某次測量誤差的絕對值大于19.6 所以，至少有3次測量誤差的絕對值大于19.6的概率為由、式，得 100次獨立重復測量中，至少有3次測量誤差的絕對值大于19.6 = 100次獨立重復測量中測量誤差的絕對值大于19.6的測量次數 精確值不易求解近似值易于求解【習題2-4 EX8】【辨析】利用正態分布的有關結論如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【習題2-4 EX9】【辨析】利用正態分布的有關結論1、如果，則 （通常稱為的標準化

12、隨機變量） （參見P48定理1）2、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號3、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【習題2-4 EX10】【辨析】利用正態分布的有關結論1、如果，則 （通常稱為的標準化隨機變量） （參見P48定理1）2、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號3、

13、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【習題2-4 EX11】【辨析】利用正態分布的有關結論1、如果，則 （通常稱為的標準化隨機變量） （參見P48定理1）2、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號3、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加

14、或去掉等號【習題2-4 EX12】【辨析】利用正態分布的有關結論1、如果，則 （通常稱為的標準化隨機變量） （參見P48定理1）2、如果，則對任意實數 （1） P48(3)（2） （3）（ ，為常數 ） P48(3)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號3、如果，則對任意實數（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，為常數 ） P48(2)是連續型 左端不等式中，可任意添加或去掉等號【習題2-4 EX13】【辨析】利用指數分布、二項分布問題歸結為求下列事件的概率： 顧客一個月要去等待5次，他未等到服務而離開的次數 = （）設顧客一個月要去

15、等待5次，他未等到服務而離開的次數為（單位：次），（在重試驗中，事件（他未等到服務而離開）恰好發生的次數），于是則的概率分布為在重試驗中，事件恰好發生次 其中， 又，由題設知， 即，的分布函數與密度函數分別為于是, 某乘客等待時間超過4分鐘的概率為故，的概率分布為 所以，顧客一個月要去等待5次，他未等到服務而離開的次數的概率為【習題2-4 EX14】【辨析】利用指數分布、事件的獨立性由題設知，的密度函數為于是即，的分布函數為 于是, 某在儀器使用的最初200小時內，第個電子元件損壞的概率為【習題2-4 EX15】【辨析】利用指數分布、二項分布、全概率公式問題歸結為求下列事件的概率： 該廠新生產

16、的臺儀器中，能出廠的儀器數 = （）設該廠新生產的臺儀器中，能出廠的儀器數為（單位：臺），（在重試驗中，事件（某臺儀器能出廠）恰好發生的次數），于是則的概率分布為在重試驗中，事件（某臺儀器能出廠）恰好發生次 其中，為正整數，注意到事件（某臺儀器能出廠）“結果”顯然，由個“原因”引發： 可直接出廠 = 壽命大于2 需進一步加工 = 壽命小于或等于2 注意到（為對立事件）構成一個完備事件組.于是，事件（某臺儀器能出廠）的概率為 實際含義？其中，由題設知，某工廠生產的儀器使用壽命（設為）服從參數為1的指數分布，即即，的分布函數與密度函數分別為于是, 某工廠生產的儀器使用壽命大于2的概率為某工廠生產的

17、儀器使用壽命不大于2的概率為 故，能出廠的儀器數的概率分布為 其中，為正整數（1）利用能出廠的儀器數的概率分布，求出臺儀器能全部出廠的概率（2）利用能出廠的儀器數的概率分布，求出恰有2臺儀器能不能出廠的概率（即，恰有臺儀器能出廠）的概率（3）利用能出廠的儀器數的概率分布，求出至少有兩臺儀器不能出廠（即，至多有臺儀器能出廠）的概率【總習題二 EX13】【辨析】利用均勻分布【總習題二 EX14】【辨析】利用正態分布的有關結論由于不能查附表3，查附表3，得故取 【總習題二 EX15】【辨析】利用泊松分布、指數分布（1）服從參數為的泊松分布（），即的分布律為的分布函數為所以服從參數為的指數分布()l

18、注意年的時間間隔內發生地震的次數服從參數為的泊松分布（）連續兩次地震之間間隔的時間服從參數為的指數分布()（2） 今后3年內再次發生地震 = 連續兩次地震之間間隔的時間 （3） 今后3年到5年內再次發生地震 = 連續兩次地震之間間隔的時間【總習題二 EX16】【辨析】利用指數分布、全概率公式、Bayes公式（1）設備壽命超過1的概率設事件（設備壽命超過1）“結果”顯然，由3個“原因”引發： 一臺設備中有個二等品 （）注意到構成一個完備事件組.于是，事件（設備壽命超過1）的概率為實際含義？其中，由題設知，若一臺設備中有個二等品，則該設備的使用壽命（設為），即的分布函數與密度函數分別為于是,用分布

19、函數求出（最簡）l 另解用密度函數求出（較繁）（2）已知設備壽命超過1，則安裝在設備上的兩個零件都是一等品（二等品數為0）的概率【補例2.4.5】某班數學考試成績呈正態分布，老師將最高成績的定為優秀，那么成績為優秀的最少成績是多少？【解】利用正態分布的有關結論設某班數學考試成績為（分），則 （， ）又設成績為優秀的最少成績為（分），依題意（最高成績的定為優秀），即某班數學考試成績定為優秀即 查附表3，得所以解出 （分）即，成績為優秀的最少成績是86.4分【補例2.4.6】公共汽車車門的高度，是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下設計的，設男子的身高服從，的正態分布，問車門的高度應如何確定？【解

20、】利用正態分布的有關結論設男子的身高為（厘米），則 （， ）又設車門的高度為（厘米），依題意（車門的高度，是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下設計的），即 男子與車門碰頭 男子的身高 車門的高度 查附表2，得，所以解出 （厘米）即，車門的高度應為（厘米），才能使男子與車門碰頭的機會在0.01以下.【補例2.4.7】（填空題）如果，則 【分析與答案】利用正態分布的有關結論因，故 教材上有誤l 注意如果，則的取值遵循“原則”：的取值幾乎必然落入區間內，且其取值的概率“中間大、兩頭小，左右對稱” ，即【補例12】設，試求：（1）（2）決定，使【解】利用正態分布的有關結論注意到 （， ）（1） （2

21、）因 查附表3，得即解出l 另解根據正態分布密度函數關于直線的對稱性，在兩邊的概率相等，面積 面積故【補例2.4.8】在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別等1、2、3路公共汽車。設每人等車時間（更正：某人到達車站的時刻）（單位：（分鐘）均服從在上的均勻分布，求3人中至少有2個人等車時間不超過2（分鐘）的概率. 【解】利用二項分布、均勻分布問題歸結為求下列事件的概率 3人中至少有2個人等車時間不超過2（分鐘）= 3人中等車時間不超過2（分鐘）的人數 = 補設為3人中等車時間不超過2（分鐘）的人數（在重試驗中，事件恰好發生的次數，事件= 某人等車時間不超過2（分鐘） ）于是 （ ， 未知）即，的分布律為 （ ， 未知）（ ； ， ） 先