1、傅里葉變換的根本性質一傅里葉變換建立了時間函數和頻譜函數之間轉換關系.在實際信號分析中,經常 需要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉換規律有一個清楚而深入的理解.因此有必要討論傅里葉變換的根本性質,并說明其應用.一、線性傅里葉變換是一種線性運算.假設1 - -,J 工,一二：妨+奶9 哂Jm +&冕口時3-56其中a和b均為常數,它的證實只需根據傅里葉變換的定義即可得出.例3-6利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數以網由式3-55得F(J喇-?1 + (sgn( /)= x 2*比對+ X 二咫風回+ 2222 JtDJqj、對稱性- 2石 f-魴3-56那么證實由于2型Q =儂

2、dm2/1)=F(jW/J-TO將上式中變量田換為x,積分結果不變,即2(-r) =戶O閑薪J再將t用中代之,上述關系依然成立,即2(- =J-CD最后再將x用t代替,那么得2小匚致爐式尸所以,.證畢假設丁是一個偶函數,即八/,相應有/(-聞,那么式(3-56)尸5)2(由)臼57)成為可見,傅里葉變換之間存在著對稱關系,即信號波形與信號頻譜函數的波形有著互相置換的關系,其幅度之比為常數 2北.式中的一陽表示頻譜函數坐標軸必須正負對調.例如：/(0 =和)-巴J聞=195) = 1 - 2就3 = 2點況的例3-7假設信號丁的傅里葉變換為2試求/.0解 將3G中的曰換成t,并考慮尸(J為田的實

3、函數,有2-小420|c| r/2該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為式改) = 2叫網拳根據對稱性尸?2厘一間一 、/ = A Sa A再將了一劭中的一田換成t,那么得.2/為抽樣函數,其波形和頻譜如圖3-20所示.-r/20r/2產.可A三、折疊性T) /=那么空聞-齊口可次泄笑函數/.陛虛函數四、尺度變換性了西Q L斤J3為大于零的實常數3-59a a證實因a0,由方 = ?3嗎令熊二加,那么加三成,代入前式,可得,/卜乃 a a a證畢尸/田函數/或表示了沿時間軸壓縮或時間尺度擴展a倍,而1那么表示E沿頻率軸擴展或頻率尺度壓縮a倍.該性質反映了信號的持續時間與其占有頻帶成反比,信號

4、持續時間壓縮的倍數恰好等于占有頻帶的展寬倍數,反之亦然.加=, 例3-8E H c/4 口 “a,求頻譜函數Hi .九9=*解前面已討論了E |t| . 尸 * 2. cur. 巾、2 - cur1 、,由1/ - j dx siti( ) H-網 乂 0 5( sm( )- 跖(),血 2tqj 22 /(/)-( f(x)dx 一 一sin( ) + zSot(O)/田)=建 3 43rjo i 2Jtu 21/r(1/r)r/2-r/20-r/2 0 TilS3 -23十、頻域積分性111曲尸.吟加C3-65)九二2例3-15、 工,求取丁明解：由于sin( f)-值-2JJ(U + 1

5、)=冗5(m+1)一 3(卬-1)根據頻域積分性三 一五K3缶-1限=u +1 ug -1十一、時域卷積定理假設八俗一珞網A一片.助r fiQ沖力3 s E j由年式j由3-ss那么證實：網工工尸力加=工力詞產島=r /i4r/式6如4卜=JF-VKh LgIJJ工.用U二有仃二尸式助八/於=F*j及G砌證畢例3-16圖3-24a所示的三角形函數可看做為兩個如圖3-24b所示門函數5卷積.試利用時域卷積定理求其頻 譜函數百J.由時域卷積定理匈=癡所以那么對稱性N J 孰切 就2一 2用$卻一助 =_2月即也,、2ggn(/) 4-4 J由= r就 乳j 1 - r)A例3-17 一個信號/的希

6、伯特變換丁是丁團和危的卷積,即n j、1 =尸一 c 一J陶& FQ吟過傅里葉變換的根本性質三十二、頻域卷積定理假設 工.一.;一式.4 fij 魴* F式洞C3-67那么八九鉛一 F&R磴邑5聞例3-18利用頻域卷積定理求的傅里葉變換囚J匈解：由于WQ 一由對稱性Jt Q 2延內一 口 n -283UR 9 硒+ -LJ0所以根據頻域卷積定理,5G ,有9聞三一j2比修西+一2 腐L je_. . 1 . - 1 ,JJTtJ (聞 + $ (四)*一 = J屬 5(GJ)+ S ( * ()戶田二/七d-VO十三、帕塞瓦爾定理ZC) - 4(/助 /式.一/ UM可推廣匚水京=?口吐口而創

7、“曲=5匚同.砌I,曲假設工為實函數,那么L號* =(3-08)3-693-70假設工,力為實函數,那么網(J)Fm(j/)d的(3-71J 二貼me 般聞加例3-19求Lo&? 31A田二竺2s雙師2/沏(田解：因4 2gj一一工二由帕塞瓦爾定理可得| 醞,田川四二G式.仃式上期=啟十四、奇偶性假設/C/時=尸詠加三尺4/,那么1當力為實函數時,那么/田=|尸.助|二斤一伊由=-伊一切R心二品明陽切= -N-田(3-72)假設,為實偶函數,即.=,T,那么3-73=聲3 = 匈陽切=01假設,.為實奇函數,即=,那么(3-74)2當丁為虛函數,即/=時,那么F 山-F9皿-婀一切R公-一式一

8、曲 工田二工一團j0-75)傅里葉變換的性質表格性質名稱時域頻域1.線性41何+優.明.助+響.山2.對稱性足2次一出3.折疊性八T)現-麗4.尺度變換性3):G身) aa5.時移性力士幻6,頻移性斤/3千5)7.時域微分一(9網改)8,頻域微分上了十踐j心9.時域積分士絲十欣網0笛3)j團10.頻域積分-f FO岫11.時域卷積凡()曲*式12.頻域卷積zm4戔.&尸/口印)2國13.帕塞瓦爾定理周期信號的傅里葉變換周期信號雖然不滿足絕對可積的條件,但其傅里葉變換是存在的.由于周期 信號頻譜是離散的,所以它的傅里葉變換必然也是離散的, 而且是由一系列沖激 信號組成.下面先討論幾種常見的周期信

9、號的傅里葉變換,然后再討論一般周期 信號的傅里葉變換.一、復指數信號的傅里葉變換對于復指數信號(3-765上“4- 2網改由叱)由于1-2陽瓦,由頻移性必一 2足皮中十%)_復指數信號是表示一個單位長度的相量以固定的角頻率 0隨時間旋轉,經 傅里葉變換后,其頻譜為集中于 ,強度為2笈的沖激.這說明信號時間特性的 相移對應于頻域中的頻率轉移.、余弦、正弦信號的傅里葉變換Z (f) - cos tuu；對于余弦信號 二其頻譜函數窿及田_礙)+2堿的+8)&-77)h (0 = sin 叱f =對于正弦信號二-3& ,二:W它們的波形及其頻譜如圖3-25所示國(匈=陽曰明29勺+嗎乂 2j累方的=C

10、O嗎f貿四十/)一長中4)竹.創4) 二 WA1m為 CMA三、單位沖激序列 赤的傅里葉變換假設信號,為單位沖激序列,即/&)=多(2)=工 -nT)(3-70)a 1那么其傅里葉級數展開式為一3-B0J對其進行傅里葉變換,并利用線性和頻移性得 (Jo?) = Z 2與 以卬一落 Q) = 0存(381)D=式中 7 0可見,時域周期為T的單位沖激序列,其傅里葉變換也是周期沖激序列,而 頻域周期為0 ,沖激強度相等,均為口 .周期單位沖激序列波形、傅里葉系數居與頻譜函數網的如圖3-26所示.-2T-T0 T 2T3四、般周期信號的傅里葉變換對于一般周期為T的周期信號,其指數型傅里葉級數展開式為

11、對上式兩邊取傅里葉變換,并利用其線性和頻移性,且考慮到 凡與時間無 關,可得F(jh)=工-沼C) = 23r 凡2(卬一/C1)(3-82)5S,rDK(D式(3-82)說明,一般周期信號的傅里葉變換(頻譜函數)是由無窮多個沖激函數 組成,這些沖激函數位于信號的各諧波頻率福cs=ai士2.處,其強度為相應 傅里葉級數系數外的2兄倍.可見,周期信號的頻譜是離散的.但由于傅里葉變換是反映頻譜密度的概念, 因此周期信號丁的傅里葉變換尸(J的不同于傅里葉系數片,它不是有限值, 而是沖激函數,這說明在無窮小的頻帶范圍(即諧頻點)取得了無窮大的頻譜值.例3-20圖3-27(a)表示一周期為丁,脈沖寬度為

12、匯,幅度為1的周期性矩 形脈沖信號,記為 品.試求其頻譜函數.-T -f/2 0 t/27(w 木尸/防a 3 . 27解 由式3-26可知,圖3-27a所示周期性矩形脈沖信號/二斗的傅 里葉系數為F由=,但=-工-融Q代入式3-82,得丁工-f 20 2 河 丁- 方山一整0J 杵3-83式中 T .可見,周期矩形脈沖信號耳Q的傅里葉變換由位于四=UC2,處的沖激函數所組成,其在 山二立0處的強度為 其 0圖3-27b給出了 丁= 2匯情況下的頻譜圖周期信號的頻譜一、周期信號的頻譜一個周期信號的,只要滿足狄里赫利條件,那么可分解為一系列諧波分量之和.其各次諧波分量可以是正弦函數或余弦函數,也

13、可以是指數函數.不同的周 期信號,具展開式組成情況也不盡相同. 在實際工作中,為了表征不同信號的諧 波組成情況,時常畫出周期信號各次諧波的分布圖形,這種圖形稱為信號的頻譜, 它是信號頻域表示的一種方式.描述各次諧波振幅與頻率關系的圖形稱為振幅頻譜,描述各次諧波相位與頻率關系的圖形稱為相位頻譜.根據周期信號展成傅里葉級數的不同形式又分為單 邊頻譜和雙邊頻譜.1單邊頻譜假設周期信號,的傅里葉級數展開式為式3-15,即f4二 4 + 工國 8&g + 寓 罐-1那么對應的振幅頻譜A和相位頻譜已稱為單邊頻譜.例3-3求圖3-4所示周期矩形信號八的單邊頻譜圖.解 由了波形可知,/為偶函數,其傅里葉系數同

14、 rr；2 j-r c j 2 sin(/4) % 二 cos nddf To片燈詢 1 2 sm(國區/ 4)/ = + cosClt = I-Vcos用Q2 s_i4 i 舞笈2 sm盟后 / 4)因此4 = 0,45 4陽032當包.154白.094 口 0.106單邊振幅頻譜如圖3-5所示0.45:0320.25小聯0 0卻.6-At -r/20r/2 4r國- 4)Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q圖m - 52雙邊頻譜假設周期信號丁的傅里葉級數展開式為式(3-17),即外)=2%聞(3-25那么11與江門所描述的振幅頻譜以及凡的相位初看如居=2與總門所描述的相位 頻譜稱為雙邊頻譜.例3-4

15、畫出圖3-4所示矩形周期信號/的雙邊頻譜圖形.解 由式(3-18)和圖3-4可知rru3收一也由1 2/4)好二 4 F1 = 0 225 F2 = 0.159 % = 0.075% = 0 % =M Q45 % = 0 053 , arctrn的雙邊頻譜圖如圖3-6所示.A arctanJ從上例頻譜圖上可以看出,單邊振幅頻譜是指4 = 2區|與正融值的關系,雙 邊振幅頻譜是指舊與正負行值的關系.應注意冏上但/,所以將雙邊振幅頻譜 因I片圍繞縱軸將負旌一邊對折到內一邊,并將振幅相加,便得到單邊振幅4頻 譜.當凡為實數,且團各諧波分量的相位為零或土方圖形比擬簡單時,也可將振幅頻譜和相位頻譜合在一

16、幅圖中.比方,例 3-4中丁的頻譜可用網與心 關系圖形反映,如圖3-7所示.3周期信號頻譜的特點圖3-7反映了周期矩形信號/頻譜的一些性質,實際上它也是所有周期信號頻譜的普遍性質,這就是：(1)離散性.指頻譜由頻率離散而不連續的譜線組成,這種頻譜稱為離散頻 譜或線譜.Q = (2)諧波性.指各次諧波分量的頻率都是基波頻率7的整數倍,而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的,即譜線在頻率軸上的位置是G的整數倍.(3)收斂性.指譜線幅度隨制一如而衰減到零.因此這種頻譜具有收斂性或 衰減性.二、周期信號的有效頻譜寬度在周期信號的頻譜分析中,周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義,得到 廣泛的應用.下面以圖3-8

17、所示的周期矩形脈沖信號為例,進一步研究其頻譜寬 度與脈沖寬度之間的圖3-8關系.椰)一3一: : : 1 : : :/-T -r/20r/2 T圖斗圖3-8所示信號/的脈沖寬度為 J脈沖幅度為石,重復周期為了,重復 角頻率為 之 .假設將丁展開為式(3-17)傅里葉級數,那么由式(3-18)可得耳=1口豆/沁=-)(S-2&)-ri丁 Q,在這里用為實數.因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中,如圖 3-9所示.Er/T72 5Q 二 - ；i疝3G0 Q3Q由此圖可以看出:Q(1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的,兩譜線間隔為2jt(2)直流分量、基涉及各次諧波分量的大小正比于脈幅石和脈寬

18、丁,反比于周期T,其變化受包絡線 天 的牽制.(?k = L2 )時,譜線的包絡線過零點.因此2例用為零分量頻率.(4)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線,它可分解為無限多個頻率分量,但其主要能量集中在第一個零分量頻率之內.因此通常把田二史T這段頻率范圍稱為矩形信號的有效頻譜寬度或信號的占有頻帶,記作(3-27)顯然,有效頻譜寬度B只與脈沖寬度了有關,而且成反比關系.有效頻譜寬度是研究信號與系統頻率特性的重要內容, 要使信號通過線性系統不失真,就要 求系統本身所具有的頻率特性必須與信號的頻寬相適應.對于一般周期信號,同樣也可得到離散頻譜,也存在零分量頻率和信號的占 有頻帶.三、周期信號頻譜與周期

19、丁的關系下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號為例進行分析.由于生個B T 八 2 .所以在脈沖寬度霍保持不變的情況下,假設增大周期丁,那么可以看出：Q-(1)離散譜線的間隔T將變小,即譜線變密.(2)各譜線的幅度將變小,包絡線變化緩慢,即振幅收斂速度變慢.(3)由于丁不變,故零分量頻率位置不變,信號有效頻譜寬度亦不變.圖3-10給出了脈沖寬度了相同而周期丁不同的周期矩形脈沖信號的頻譜.由圖可見,這時頻譜包絡線的零點所在位置不變, 而當周期丁增大時,頻譜線變密,即在信號占有頻帶內諧波分量增多,同時振幅減小.當周期無限增大時,變 為非周期信號,相鄰譜線間隔趨近于零.相應振幅趨于無窮小量,從而周期信號

20、 的離散頻譜過渡到非周期信號的連續頻譜,這將在下一節中討論.T=2r-27 -7 0 T IT此木1EJ2-2/r .-Tut)L里T = 4t-2zr/r f :：?, . : : 4-3Q 2Q q 0 Q 2Q 3Q2/r_*-7Et/T. 1-QO Q困 3 - 1.e如果保持周期矩形信號的周期丁不變,而改變脈沖寬度k ,那么可知此時譜線2后XJ1 -間隔不變.假設減小/,那么信號頻譜中的第一個零分量頻率工 增大,即信號的頻譜寬度增大,同時出現零分量頻率的次數減小,相鄰兩個零分量頻率間所含的諧波分量增大.并且各次諧波的振幅減小,即振幅收斂速度變慢.假設 k增大, 那么反之.四、周期信號

21、的功率譜周期信號,Q)的平均功率可定義為在1 口電阻上消耗的平均功率,即尸=亍鼠“族舊知周期信號的平均功率可以用式(3-28)在時域進行計算,也可以在頻域進行計算.假設,的指數型傅里葉級數展開式為M-HB那么將此式代入式(3-28),并利用說的有關性質,可得1 .7/2(&八修 初上一0該式稱為帕塞瓦爾(Parseval)定理.它說明周期信號的平均功率完全可以在頻域用居加以確定.實際上它反映周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和.落與修0的關系稱為周期信號的功率頻譜,簡稱為功率譜.顯然,周期信號的功率譜也是離散譜.例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號/在

22、有效頻譜寬度內,諧波分量之二1T=3 r =所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比.設 彳, 20._ 3匯晨 典您/5用=A & =解由于* T & 25 如45作出頻譜和功率譜圖,如圖3-11所示.第一個零分量頻率為叱二生二40疑所以在信號頻譜寬度內,包含一個直流分量和四個諧波分量.j 32 下 164 0 167r 32 zr .；* 32朽 164 0 167r 32 zr .圖 3-11P = -,%)國=02沖周期信號的平均功率為一 一在有效頻譜寬度內信號的平均功率為為=園1+2*+因+隹+因()=*皋5號+ 3人爭+工爭)=0J806BT己 0.W06=u.y故P 0.2從上

23、式可以看出,在所給出的周期矩形脈沖情況下,包含在有效頻譜寬度內的信號平均功率約占整個信號平均功率的90%非周期信號的頻譜一、非周期信號的頻譜函數/= 尸再附(3-30)對于周期信號,它可表示為 j式中1 -,P=-/eT 出 t3-31H八等將式(3-31)改寫為(3-32)1a八當信號丁的周期丁趨于無限大時,由上節討論可知譜線間隔趨于無窮小,譜線密集成為連續頻譜,離散變量變為連續變量,即 TiGTgqT0 此時記風網 =口尺-源山(3-33)工 TBJ-W#GM)稱為頻譜密度函數,簡稱頻譜函數,其意義為單位頻率上的諧波幅度為小的復函數,可寫作其中尸G聞|代表非周期信號中各頻率分量幅值的相對大

24、小,輻角 楓 那么代 表相應各頻率分量的相位.所以式(3-30)在丁 Tm時為了=正?明/越w田二F5i廿破熱卬(3-34)1-8 2常2元J*該式說明,一個非周期信號可以看做是無限多個幅度無限小的復指數諧波之和,而其中每一個分量的復數振幅為2窗0二、傅里葉變換式(3-33)和式(3-34)是一對很重要的變換式,現重寫如下:2后.前者是由信號的時間函數變換成頻率函數,稱為傅里葉正變換式,有時記為或/TH.m后者是由信號的頻率函數變換為時間函數,稱為傅里葉反變換式.有時記為產西聞7.)或為向T/Q)如果上述變換中的自變量不用角頻率 田而用頻率/,那么由于5二2 ,可寫為(S-36)F二一產叫*-

25、0Dk%)=J7sMW頻譜密度函數9仃前是一復變函數,可以寫為Rj砌=戶u砌白刈=虱的斗四式中|司5功|和的切分別為百J時的模和相位,翅西和前分別為U時的實 部和虛部.傅里葉反變換式也可寫成%=?J：必產題二!匚鳳/咻麗止血風物81就碗口曲4j?j2K/的師+ a噂=工+總電可見一個非周期信號,今也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量,也可 以分解為t的復變函數.假設/是實函數,那么FJ 和田附分別是的偶函數 和奇函數,并且1,9y(i)=產(jHJ cos血 H日(聞口.(3_3B)三、傅里葉變換的存在條件前面根據周期信號的傅里葉級數導出了傅里葉變換.而從理論上講,傅里葉 變換也應滿足一定條

26、件才能存在.傅里葉變換存在的必要和充分條件的證實需要 較多的數學根底理論,在此僅對其充分條件加以討論.如果信號,滿足絕對可積條件,即1f 粒 ra (3-39) 那么其傅里葉變換囚(J存在,并滿足反變換式.所有能量信號都能滿足上述絕對可積條件.這一條件是傅里葉變換存在充分條件而不是必要條件.一些不滿足絕5仇Qt對可積條件的函數也可有傅里葉變換,例如抽樣函數展,階躍函數,符號函數和周期函數等.下面說明為什么式(3-39)成立時,/和嚴(J一定存在.由于喻二匚,屋融力要使頸網存在必須滿足84.)式(3-40)中的被積函數是變量的函數,它可正可負.但如果取絕對值再 進行積分,那么必有O-口行平=匚必

27、產|%又,叫=1 ,故產或口阿曲(3-4D由式(3-41)可知,如果L倒叢0/1 ft) = a Q (3-42)0? 0代入式(3-33)得風口出=巴工=出-0-43川a + jn網 C7叫二J日1 由=arctan 幅度頻譜為,相位頻譜為巒0可見幅度頻譜和相位頻譜函數分別是頻率由的偶函數和奇函數.單邊指數信號工波形,幅 度譜因011和相位譜日1g如圖3-12所示.S 3 . 132偶雙邊指數信號偶雙邊指數信號力的的表達式為力二疹/co03_d4其頻譜函數為瑪3=%-由+曰,曰一而出 = 年口 3-45|瑪.司=I 2a故幅度頻譜證+一 ,相位頻譜日式助=0o 飲波形和幅度頻譜如旬如圖3-1

28、3所示.i 用其頻譜函數(3-4?)CL+由j 2 flj 0附/2 (D 0尸3.同=-廣馨L其波形和幅度頻譜如圖3-14所示.對于奇雙邊指數信號3奇雙邊指數信號/ 0103國 3-154符號函數信號符號函數或正負號函數以日典記,其表示式為(3-48)力(i) = sgn()=,顯然,這種信號不滿足絕對可積條件,但它卻存在傅里葉變換.對奇雙邊指數 信號當口-口時,有-口口 八,故符號函數的頻譜函數廠 一 、. t .2 中、2(3-49)為財=hm (-7 -)=-口 a +m j田并2嗎 其波形和幅度頻譜如圖3-15所示.5單位直流信號對于單位直流信號,其表達式為 = - W 03(3-6

29、0)可見該信號也不滿足絕對可積條件,但可利用上述 人取極限,可求得其傅里 葉變換.即品二叫力團=蝌-陽=1zzTUarTU2a且匚言用顯然,這說明居為一個沖激強度為2年,出現在出三0的沖激函數,即居0時=2可及必 3-51其波形和頻譜如圖3-16所示.6單位階躍信號對于單位階躍信號 ,&= ,可利用工求其傅里葉變換,即另=P =叫力:啊/*%)hTU選田二版 凡,由=litn -lun故5以+中lima-r =文般0禾I用力以,有(3-52)其波形和頻譜如圖3-17所示7單位沖激信號?單位沖激信號的時域表示式為我)=0f m 000 = 0$()必=I-ODg.卬)=9 0) = 1(3-53

30、)其傅里葉變換式為可見,單位沖激信號的頻譜函數是常數 1,它均勻分布于整個頻率范圍.其 波形和頻譜如圖3-18所示.八木工.8矩形脈沖信號5矩形脈沖信號5的表達式為“E rf2啦樸 &一洞二Er 二 二E武式3-54L心嘲2其頻譜函數并有-r/2(r/2小癢FC 磯其波形和頻譜如圖3-19所示.可以看出,矩形脈沖信號在時域中處于有限S 山 丁范圍內,而其頻譜卻以0 2規律變化,分布于無限寬的頻率范圍內,但其主要能量處于工范圍.所以,通常認為這種信號的占有頻帶為 =2.七或閂.表3-2列出 了常用信號的傅里葉變機表3-2常用信號的傅里葉變換時間函數“傅立葉變換尸而單邊指數信號加 Lu的儀、01/

31、(& + /厘)偶雙邊指數信號,=尸川 比02a RcP +a?)奇雙邊指數信號s3 / 0-符號函數sgni =+ 1 01 i 02直流信號/ () = 5 - oa i 00 t 0意既小H田單位沖激信號f咐二,r蛻卜o 士工6GQ i ： 0足=1*1e k| r/2、小.矩形脈沖信號1一國風5/2二角脈沖信號1 k|/r LI f 再=Q 1 1%1 1f 8;忒過世/2奇函數假設周期信號/波形相對于縱坐標是反對稱的,即滿足C3-21)此時了團稱為奇函數,其傅里葉級數展開式中只含有正弦項,即% 二 04二2加工由,5=0,12)3奇諧函數假設周期信號,波形沿時間軸平移半個周期后與原波

32、形相對于時間軸像對 稱,即滿足投)= -f(f )(3-22)那么了稱為奇諧函數或半波對稱函數.這類函數的傅里葉級數展開式中只含有正 弦和余弦項的奇次諧波分量.4偶諧函數假設周期信號/波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊,即滿足那么/為偶諧函數或半周期重疊函數,其傅里葉級數展開式中只含有正弦和余弦 波的偶次諧波分量.熟悉并掌握了周期信號的奇、偶和奇諧、偶諧等性質后,對于一些波形所包 含的諧波分量常可以作出迅速判斷,并使傅里葉級數系數的計算得到一定簡化.表3-1給出了周期信號波形的各種對稱情況、性質,以及對應的傅里葉系數 an和bn的計算公式.表3-1周期信號的對稱性與傅里葉系數的關系函數

33、,性質%外5工045 H 0)偶函數只后直 流分量 和余弦 項fjrf/2丁成40奇函數加= 71只后正 弦項004/小1亍丁b*岷國.冠奇諧函數H. T只后奇 次諧波 分量04 pLM工抬用巾的烝n為奇數4m-J. /口 A訕伽Q金n為奇數偶諧函數*=#夕只有偶 次諧波 分量3T-r/i1：1,由4仙n為偶數4 -pni-丁俗Mm由n為偶數四、傅里葉級數的性質9/ =匯/ gG假設 y,那么丁的傅里葉級數展開式具有以下性質證實略:9 /I工工網況皿了?-幻=g回歹2屯出Q/W = 20口小網n-eQ/ 850 =工件1 +.T84 f(f)sin Q 二 ZT.一用完備正交函數集表示信號一、 正交矢量在平面空間中,兩個矢量正交是指兩個矢量相互垂直. 如圖3-1(a)所示的4 和人2是正交的,它們之間的銳夾角為 90.顯然,平面空間兩個矢量正交的條 件是A = 0(3-1)這樣,可將一個平面中任意矢量 A,在直角坐標系中分解為兩個正交矢量的 集合12A2(3-2)同理,對一個三維空間中的矢量 A必須用三維的正交矢量集(4/如來 表示,如圖3-1(b)所示.有8 3-1其中Ai, I 人三相互正交.在三維空間中AhAhA.是一個完備的正交矢量