1、一元二次方程書達定理應用之巴公共開創作時間：二O二一年七月二十九日一.選擇題(共16小題)1 .假設方程x2 - ( m2 - 4) x+m=0的兩個根互為相反數,那么m即是( )A. - 2B. 2 C. ± 2 D. 42 .假設關于 x的方程 x2+3x+a=0有一個根為1,那么另一個根為( )A. - 4B. 2 C. 4 D. - 33 .設a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,那么a2+2a+b的值為( )A. 2021B. 2021 C. 2021D. 20214. 一元二次方程 ax2+bx+c=0中,假設a>0,b <0,c <0,那么這

2、個方程根的情況是()A.有兩個正根B.有兩個負根C.有一正根一負根且正根絕對值年夜D.有一正根一負根且負根絕對值年夜5,n是方程x2+3x 2=0的兩個實數根,貝U m+4m+n+2mn勺值為()A. 1 B. 3 C. - 5 D. - 96.關于x的一元二次方程x2+mx- 8=0的一個實數根為 2,那么另一實數根及m的值分別為()A. 4,-2 B. -4,-2C, 4,2 D, - 4,27 . 一元二次方程x2+x - 1=0的兩根分別為 xi,x 2,那么上+X =叼叼A. 1B. 1 C.與 D.泥8.關于x的方程x2+2 k+2 x+k2=0的兩實根之和年夜于-4,那么k的取值

3、范圍是A. k>- 1 B. k<0C. - 1<k<0 D, - 1<k<09,方程 x2 - 2 (m2-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數,那么m的值是()A. m=± 1 B. m=- 1 C. m=1 D. m=010 .a、b是一元二次方程x2-3x-2=0的兩根,那么工上的值 為A- * : C一 ：D- - -11 .關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,那么另一個根為 A. 5 B. - 1C. 2 D. - 512 .實數 Xi,X2滿足Xi+X2=7,x仇2=12,那么以Xi,X2為根的一元二 次方程是A. x2-

4、7x+12=0 B, x2+7x+12=0 C, x2+7x- 12=0 D. x2 - 7x - 12=013 .設a、b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,那么a2+2a+b的值 為A. 2021B. 2021C. 2021 D, 202114 .關于x的一元二次方程 x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正,關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘 積為正,給出三個結論：這兩個方程的根都負根；(m- 1) 2+(n- 1) 2A2;-1W 2m- 2nWl,其中正確結論的個數是( )A. 0個B. 1個 C. 2個D. 3個15.(非課改) , B是關于

5、x的一元二次方程 x2+ (2m+3 x+m2=0的兩個不相等的實數根 ,且滿足_L+1_ = - 1,那么m的值是( )A. 3 B. 1 C. 3 或-1 D. - 3或 116.設a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,那么a2+2a+b的值為( )A. 2021B. 2021 C. 2021 D, 2021二.填空題(共30小題)17 .：一元二次方程 x2 - 6x+c=0有一個根為2,那么另一根為.18 . 一元二次方程 x2+x-2=0的兩根之積是.19 .假設口、B是一元二次方程 x2+2x - 6=0的兩根,那么 J+B2=.20 . 一元二次方程 x2+mx+2m=

6、0勺兩個實用M分別為 xi,x 2,假設xi+X2=1,那么 XiX2=.21 . m n是關于x的一元二次方程 x2- 3x+a=0的兩個解,假設 (m 1) (n1) =6,貝Ua 的值為.22 .某學生在解一元二次方程x2- 2x=0時,只得出一個根是 2,那么被他漏失落的另一個根是 x=.23 .a,b是方程x2-x-3=0的兩個根,那么代數式a2+b+3的值為.24 .關于 x的方程x2-2ax+a2-2a+2=0的兩個實數根 xi,x2, 滿足xi2+x22=2,那么a的值是.25 .如果方程(x- 1) (x2-2x+k) =0的三根可以作為一個三角 4形的三邊之長,那么實數k的

7、取值范圍是.26 .方程x2 - 3x+1=0中的兩根分別為 a、b,那么代數式 a - 4a- b 的值為.27 .a+b=3,ab= 7,那么代數式2a2+b2+3b的值為.28 .xi,x2是關于x的方程x2+nx+n - 3=0的兩個實數根,且 xi+x2= - 2,貝U x1x2=.29 .實數 a?b,且滿足(a+1) 2=3-3 (a+1) ,3 (b+1) =3- (b+1) 2.那么匕存十企的值為.30 . m,n是方程x2+2x - 5=0的兩個實數根,那么m2 - mn+3m+n=31 .閱讀資料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為xi,x2,那么兩根與方程系數之

8、間有如下關系式Xi+X2= J1,X i?X2=|根據該資料填空,Xi,X2是方程x2+3x+1=0的兩實數根,那么衛+衛的值為.叼叼32 .關于 x的方程x2- ( a+b) x+ab-1=0,xi、X2是此方程的 兩個實數根,現給出三個結論： Xi?m;XiX2<ab;Xi2+X22< a2+b2,那么正確結論的序號是.(填上你認為正確結論的所有序 號)33 .假設兩個不等實數 m n滿足條件：m2 - 2m-1=0,n2 - 2n T=0, 那么m+n2的值是.34 .設 xi,X2是方程 x2 - x - 2021=0的兩實數根,那么71+2 014 j2-2021 = -

9、35 .設xi,X2是方程2x2 - 3x - 3=0的兩個實數根,那么三的值 功xi為.36 .假設 , B是方程xX - 3x+1=0的兩個根,那么 2+ b - 3 % =.37 . xi,x 2是方程 x2+4x+k=0 的兩根,且 2xi x2=7,貝U k=.38 .設 xi、x2 是一元二次方程 x2+4x - 3=0 的兩個根,2x i (x22+5x2-3) +a=2,那么 a=.39 .設和B是方程x2- 4x+3=0的二根,那么 + B的值為.40.實數a、b (a*b)分別滿足/后0,試求包上的值.b a4i .設A是方程x2-歷麗x - 2021=0的所有根的絕對值之

10、和,那么a2=.42 ., B為方程x2+4x+2=0的二實根,那么 +I4B +50=.43 .假設非零實數 a,b (a?b)滿足 a2 - a- 2007=0,b2-b- 2007=0,那么：-;=.44 .2-正是一元二次方程 x2 - 4x+c=0的一個根,那么方程的另 一個根是.45 .關于 x的方程x2 - ( a+b) x+ab- 2=0. xi、x2是此方程的兩個實數根,現給出三個結論：(i) xi?x2； (2) xx2>ab; (3 ) xi2+x22>a2+b2,那么正確結論的序號是.(在橫線上填上所有正確結論的序號)46.如果關于 x的一元二次方程 2x2

11、-2x+3m-i=0有兩個實數根xi,x 2,且它們滿足不等式產 丁它1那么實數m的取值范圍是.XI+ X D三.解做題(共4小題)47 .關于x的一元二次方程x 2+3x - m=0有實數根.(1)求m的取值范圍(2)假設兩實數根分別為 xi和X2,且(+后二11,求m的值.48 .一元二次方程 2x2 - 6x - 1=0的兩實數根為xi、x2,不解方 程,求代數式立4型的值.叼 K149,關于x的一元二次方程 x2- (2k+1) x+k2+2k=0有兩個實 數根xi,x 2.(1)求實數k的取值范圍；(2)是否存在實數 k使得x1?x2 - x1 - x2 n 0成立假設存在,請求 出

12、k的值；假設不存在,請說明理由.50.填表解題：方程兩根 x1,x2x1+x2=x1x2=x2+2x+1=0x2 - 3x - 4=0x2+4x - 7=0上表你能猜測假設x1,x2是方程ax2+bx+c=0 (a不等0)的兩根那么x1+x2=,x 1x2=利用你的猜測解以下問題：(1)假設 x1,x 2 是方程 x2 - 2x - 3=0 的兩根求,x 12+x22 和(x1+2)(x2+2)的值.(2)2+正是方程x2 - 4x+c=0的一個根,求方程的另一個根及c的值.一元二次方程韋達定理應用參考謎底與試題解析一.選擇題共16小題1 . 2021?邕寧區校級模假設方程 x2-吊-4 x+

13、m=0的兩個 根互為相反數,那么m即是A. - 2B. 2 C. ± 2 D. 4【分析】 設這兩根是 口、3 ,根據根與系數的關系及相反數的界說可知：+ + B =m2-4=0,進而可以求出 m的值.【解答】解：.方程x2-吊-4 x+m=0的兩個根是互為相反數,設這兩根是 、B ,那么 + B =吊-4=0,解得：m=± 2,但當m=2時,原方程為：x2+2=0,方程沒有實數根,故 m=- 2.應選A.【點評】此題考查了一元二次方程根與系數的關系及其應用,注意最后所求的值一定要代入檢驗.2. 2021?西青區一模假設關于 x的方程x2+3x+a=0有一個根為1, 那么另

14、一個根為A. - 4B. 2 C. 4 D. - 3【分析】 根據一元二次方程根與系數的關系,利用兩根和,兩根積,即可求出另一根.【解答】解：設一元二次方程的另一根為x1,那么根據一元二次方程根與系數的關系,得 1+x1= 3,解得：x1=-4.應選A.【點評】 此題考查了一元二次方程根與系數的關系,一元二次方程ax2+bx+c=0 a#0的根與系數的關系為：Xi+X2=-旦,x i?X2工.3. 2021?黔西北州二模設 a,b是方程x2+x- 2021=0的兩個實數根,那么a2+2a+b的值為A. 2021B. 2021 C. 2021 D, 2021a2=- a+2021,那么a+b=-

15、 1,再利用【分析】先根據一元二次方程的解的界說獲得 a2+2a+b=2021+a+b,然后根據根與系數的關系獲得 整體代入的方法計算.【解答】 解：a是方程x2+x2021=0的根,.a2+a-2021=0,a2=-a+2021,a2+2a+b=- a+2021+2a+b=2021+a+b,. a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,a+b=- 1,a2+2a+b=2021- 1=2021.應選C.【點評】 此題考查了根與系數的關系：假設 x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 a#0的兩根時,x 1+x2= - ,x 1x2.也考查了一元 a a二次方程的解.4. 2021環

16、口平區校級模擬一元二次方程ax2+bx+c=0中,假設a>0,b < 0,c < 0,那么這個方程根的情況是A.有兩個正根B.有兩個負根C.有一正根一負根且正根絕對值年夜D.有一正根一負根且負根絕對值年夜【分析】根據根的判別式 =b2-4ac的符號,就可判斷出一元二次 方程的根的情況；由根與系數的關系可以判定兩根的正負情況.【解答】 解：. a>0,b < 0,c < 0,.=b2-4ac>0,£<0, -h>0, 一元二次方程 ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根,且兩根異號, 正根的絕對值較年夜.應選：C.【點評】此題考查

17、了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關系：1 > 0?方程有兩個不相等的實數根；2 =0?方程有兩個相等的實數根；3 < 0?方程沒有實數根.5. 2021漳丘市二模 m n是方程x2+3x- 2=0的兩個實數根,貝U吊+4m+n+2mnl勺值為A. 1 B. 3 C. - 5 D. - 9【分析】 根據根與系數的關系以及一元二次方程的解即可得出m+n=- 3、 mn=- 2、 R2+3m=2,將其代入抬+4m+n+2mn中即可求出結 論.【解答】解：.m n是方程x2+3x - 2=0的兩個實數根,m+n=- 3,mn= - 2,m2+3m=2,一 22 m+4m+n+2

18、mn=m3m+m+n+2mn=23 2X2=- 5.應選C.【點評】此題考查了根與系數的關系以及一元二次方程的解,熟練掌握Xi+X2=-,、XiX2=是解題的關鍵.6. 2021獅安關于 x的一元二次方程 x2+mx- 8=0的一個 實數根為2,那么另一實數根及m的值分別為A. 4,-2 B. -4,-2C. 4,2 D, - 4,2【分析】根據題意,利用根與系數的關系式列出關系式,確定出另 一根及m的值即可.【解答】解：由根與系數的關系式得：2x2= - 8,2+x 2= - m=- 2,解得：X2= - 4,m=2,那么另一實數根及m的值分別為-4,2,應選D【點評】此題考查了根與系數的關

19、系式,熟練掌握一元二次方程根 與系數的關系是解此題的關鍵.7. (2021春臨安市校級期末)一元二次方程x2+x- 1=0的兩根分另U為 xi,x2,貝ljLa=()打治A./B. 1 C.與 D.再【分析】 根據根與系數的關系獲得xi+x2=- 1,x 1?x2= - 1,然后把_L+L進行通分,再利用整體代入的方法進行計算.叼叼【解答】解：根據題意得xI+x2= - 1,x 1?x2= - 1,所以+=1.應選B.【點評】 此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a#0)的根與系數的關系：假設方程兩個為 x1,x 2,那么x1+x2=-b,x1?x2*.日旦8. (2021秋?沙灣區

20、期末)關于 x的方程x2+2 (k+2) x+k2=0的兩實根之和年夜于-4,那么k的取值范圍是()A. k> 1 B. k<0C. - 1<k<0 D, - 1<k<0【分析】 根據根的判別式求出k>- 1,根據根與系數的關系求出-(2k+4) >- 4,求出k<0,即可求出謎底.【解答】 解：設x的方程x2+2 (k+2) x+k2=0的兩實根是a b,由根與系數的關系得：a+b=- 維次=-(2k+4),1;關于x的方程x2+2 (k+2) x+k2=0的兩實根之和年夜于-4 - ( 2k+4) > - 4,. k<0,b

21、2 - 4ac=2 (k+2) 2-4X 1X k2=8k+8 A 0, k>- 1,即k的取值范圍是-1wk<0.應選D.【點評】此題考查了根的判別式和根與系數的關系,注意：應用根與系數的關系式的前提條件是b2- 4ac>0,a #0.9. (2021?金堂縣二模)方程x2 - 2 (m2-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數,那么m的值是()A. m=± 1 B. m=- 1 C. m=1 D. m=0【分析】由于方程x2 - 2 (m2-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數, 設這兩根是口、(3 ,根據根與系數的關系、相反數的界說可知：% + B =2 (

22、 m2 - 1) =0,由此獲得關于 m的方程,進而可以求出 m的 值.【解答】 解：方程x2-2(m-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數,設這兩根是、B ,根據根與系數的關系、相反數的界說可知2% + B =2 ( m 1) =0,進而求得mE 1,但當m=1時,原方程為：x2+3=0,方程沒有實數根,m=- 1.應選B.【點評】此題考查了一元二次方程根與系數的關系及其應用,最后所求的值一定要代入判別式檢驗.10. 2021疔津縣二模 a、b是一元二次方程 x2 - 3x - 2=0 的兩根,那么L+看的值為A. : B. ： C. : D.：【分析】根據q心工,由一元二次方程的根與系數

23、之間的關系求得兩根之積與兩根之和,代入數值計算即可 【解答】解：.方程x2- 3x2=0的兩根為a,b,a+b=3,ab= 2,ab ab應選：D.【點評】 此題考查了一元二次方程根與系數的關系的知識,注意假設二次項系數不為 1,x 1,x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 a#0的兩 根時,x 1+x2= - -,x 1x2=1,掌握根與系數的關系是解此題的關鍵.11. 2021?棗莊關于 x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2, 那么另一個根為A. 5 B. - 1C. 2 D. - 5【分析】根據關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,可以設出 另一個根,然后根據根與系數的

24、關系可以求得另一個根的值,此題 得以解決.【解答】解：.關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,設另一 個根為m, . - 2+m=',解得,m= - 1, 應選B.【點評】此題考查根與系數的關系,解題的關鍵是明確兩根之和即 是一次項系數與二次項系數比值的相反數.12. 2021?來賓實數 Xi,X2滿足 xi+x2=7,x 1X2=12,那么以 Xi,X2 為根的一元二次方程是A. x2-7x+12=0 B, x2+7x+12=0 C. x2+7x- 12=0 D. x2 - 7x - 12=0【分析】 根據以 X1,X2為根的一元二次方程是X2-X1+X2X+X1,X 2=0

25、,列出方程進行判斷即可.【解答】 解：以X1,x 2為根的一元二次方程 x2- 7x+12=0, 應選：A.【點評】此題考查的是一元二次方程根與系數的關系,掌握以X1,x 2為根的一元二次方程是 X2- X1+X2 X+X1,x 2=0是具體點關 鍵.13. 2021?工陽區二*H設 a、b是方程x2+x- 2021=0的兩個實 數根,那么a2+2a+b的值為A. 2021B. 2021C. 2021 D. 2021【分析】首先根據根與系數的關系,求出a+b=-1;然后根據a是 方程 x2+x - 2021=0的 實數根,可得 a2+a - 2021=0,據此求出 a2+2a+b的值為幾多即可

26、.【解答】解：: a、b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,a+b=- 1 ；又 a2+a- 2021=0,a2+a=2021,a2+2a+b=(a2+a) + (a+b)=2021+ (T)=2021即a2+2a+b的值為2021.應選：D.【點評】 此題主要考查了根與系數的關系,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確：假設二次項系數不為1,那么經常使用以下關系：x1,x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 ( a # 0 )的兩根 時,x 1+x2上,x 1x2=,反過來也成立,即 上-(x1+x2),工=x1x2.日 aa14. (2021?南充)關于 x的一元二次方程 x2+2m

27、x+2n=0有兩個整 數根且乘積為正,關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩 個整數根且乘積為正,給出三個結論：這兩個方程的根都負根；(m- 1) 2+ (n- 1) 2A2;-1 W2m- 2n< 1,其中正確結論的個數是()A. 0個B. 1個 C. 2個D. 3個【分析】根據題意,以及根與系數的關系,可知兩個整數根都是 負數；根據根的判別式,以及題意可以得出 n2-2n>0以及n2- 2m> 0,進而得解；可以采納根與系數關系進行解答,據此即可得解.【解答】解：兩個整數根且乘積為正,兩個根同號,由韋達定理有,x i?X2=2n>0,y i?y2=2m

28、> 0,yi+y2= 2n< 0,Xi+X2= 2rk 0,這兩個方程的根都為負根,正確；由根判別式有： =b2 - 4ac=4m2 - 8n n 0, =b2- 4ac=4n2 - 8俏 0,: 4吊-8n> 0,4n 2 - 8e 0,m2 - 2nA 0,n 2- 2m> 0,m2- 2m+1+rn- 2n+1=m2- 2n+n2- 2m+2>2,(m1) 2+ (n1) 2A2,正確；由根與系數關系可得 2m- 2n=yiy2+yi+y2= (yi+1) (y2+1) - 1, 由 yi、y2均為負整數,故(yi+i) ? (y2+i) n 0,故 2m-

29、 2nA - i, 同理可得：2n 2m=XX2+Xi+X2= (xi+i) (X2+i) i,得 2n - 2mi> 一i,即2m- 2n< i,故正確.應選：D.【點評】 此題主要考查了根與系數的關系,以及一元二次方程的根的判別式,有一定的難度,注意總結.15. (20i3?呼和浩特)(非課改) , (3是關于X的一元二 次方程x2+ (2m+3)X+mi=0的兩個不相等的實數根,且滿足親+j9 = -i,那么m的值是()A. 3 B. i C. 3 或-i D. - 3或 i【分析】 由于方程有兩個不相等的實數根可得4>0,由此可以求出m的取值范圍,再利用根與系數的關系

30、和 9務=-1,可以求出m 的值,最后求出符合題意的 m值.【解答】解：根據條件知：% + B = - ( 2m+3 , = B =m2, , 1-：一 _1=1,Q. 30 3 加之即 m2 2m- 3=0,2_所以,得°,-4inQ解得m=3應選A.【點評】1、考查一元二次方程根與系數關系與根的判別式及不等式組的綜合應用水平.一元二次方程根的情況與判別式的關系：(1) A>0?方程有兩個不相等的實數根；(2) A=0?方程有兩個相等的實數根；(3) Ac 0?方程沒有實數根.2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a#0)的根與系數的關系為：X1+X2= ,x 1?X2=.

31、aa16. (2021畸南模擬)設 a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,那么a2+2a+b的值為()A. 2021B. 2021 C. 2021 D, 2021【分析】由于a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,根據根與系數的關系可以獲得a+b=-1,而且a2+a-2021=0,然后把a2+2a+b可以釀成a2+a+a+b,把前面的值代入即可求出結果.【解答】解：: a,b是方程x2+x-2021=0的兩個實數根,a+b= 1_=一 1,1而且 a2+a - 2021=0,a2+a=2021,a2+2a+b=a2+a+a+b=2021 - 1=2021.應選B.【點評】 此

32、題主要考查了根與系數的關系,將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.二.填空題共30小題17. 2021?東臺市一模：一元二次方程x2 - 6x+c=0有一個根為2,那么另一根為 4 .【分析】設方程另一根為t,根據根與系數的關系獲得2+t=6,然后解一次方程即可.【解答】解：設方程另一根為t,根據題意得2+t=6,解得t=4 .故謎底為4.【點評】 此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 a#0的根與系數的關系：假設方程的兩根為x1,x2,那么x1+x2=-g,x 1?x2=1" .18. 2021?啟東市一模一元二次方程x2+x- 2=0的兩根之積是-

33、2 .【分析】根據根與系數的關系,即可求得謎底.【解答】解：設一元二次方程 x2+x - 2=0的兩根分別為 , 3 , B = - 2. 一元二次方程 x2+x - 2=0的兩根之積是-2.故謎底為：-2.【點評】此題考查了根與系數的關系.解題的關鍵是熟記公式.19. (2021?慶云縣一模)假設 口、(3 是一元二次方程 x2+2x - 6=0 的兩根,貝U % 2+ B 2= 16 .【分析】利用根與系數的關系可得出 + B和 B ,且 2+ B 2=(%+B)之-2% B,代入計算即可.【解答】解：.、B是一元二次方程 x2+2x - 6=0的兩根, + B= -2, = B=- 6,

34、.2+B2= (% +B) 2 2% B = ( 2) 2- 2X (- 6) =4+12=16, 故謎底為：16.【點評】 此題主要考查一元二次方程根與系數的關系,把2+b2化成(% +B)2%3是解題的關鍵.20 . (2021?曲靖模擬)一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分另U為 x1,x 2,假設 x+x2=1,貝U x1x2= - 2 .【分析】根據根與系數的關系獲得x+x2= - m=1,x1x2=2m,先求出m的值,然后計算x1x2的值.【解答】解：根據題意得x1+x2=-m=1,x1x2=2m,所以m=- 1,所以 x1x2= - 2.故謎底為-2.【點評】 此題考查了

35、根與系數的關系：假設x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a#0)的兩根時,x 1+x2= - -,x 1x2=1-.221. 2021演石模擬 m n是關于x的一兀二次方程 x - 3x+a=0的兩個解,假設m- 1 n - 1 = - 6,貝U a的值為 二4 .【分析】由m n是關于x的一元二次方程x2 - 3x+a=0的兩個解, 得出 m+n=3,mn=a,整理m- 1 n - 1 =- 6,整體代入求得 a的 數值即可.【解答】 解：: m n是關于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個 解,m+n=3,mn=a,: m- 1 n - 1 =- 6,mn- m+力 +1

36、= - 6即 a- 3+1 = -6解得a=- 4.故謎底為：-4.【點評】 此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 a#0的根與系數的關系：假設方程的兩根為x1,x2,那么x1+x2=-L,x 1?x2= .aa22. 2021小沙模擬某學生在解一元二次方程x2 - 2x=0時,只得出一個根是2,那么被他漏失落的另一個根是 x= 0 .【分析】設方程x2-2x=0的兩根根為 與、x2,由根與系數的關系可 得出xI+x2=2,再結合x1=2即可求出x2的值.【解答】 解：設方程x2- 2x=0的兩根根為x1、x2,. .x1+x2=- 1=2,; x1=2, x2=0.故謎底為：0.【點評

37、】此題考查了根與系數的關系,解題的關鍵是根據根與系數 的關系找出Xi+X2=2.此題屬于根底題,難度不年夜,解決該題型題 目時,根據根與系數的關系找出兩根之和與兩根之積是關鍵.23. 2021硒洪縣校級模擬 a,b是方程x2 x 3=0的兩 個根,那么代數式a2+b+3的值為 7 .【分析】 先根據一元二次方程的解的界說獲得a2-a - 3=0,即a2=a+3,那么a2+b+3化簡為a+b+6,再根據根與系數的關系獲得 a+b=1, 然后利用整體代入的方法計算即可.【解答】解：.a是方程x2- x-3=0的根,a2 - a - 3=0,. a =a+3,a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6

38、,: a,b是方程x2 - x- 3=0的兩個根,a+b=1,. a2+b+3=1+6=7.故謎底為7.【點評】 此題考查了根與系數的關系：假設X1,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 a#0的兩根時,x 1+X2=,x 1X2.也考查了一元二次方程的解.24. 2021秋?密山市校級期中關于x的方程x2- 2ax+a2-2a+2=0的兩個實數根X1,x 2,滿足x；+X22=2,那么a的值是 1.【分析】先根據根與系數的關系,根據X12+X22=X1+X2J 2X1X2,即可獲得關于a的方程,求出a的值.【解答】解：根據一元二次方程的根與系數的關系知：2xi+x2=2a,x iX2=a

39、2a+2.Xi2+X22=(X1+X2) 2 - 2x1X2= (2a) 2 - 2 (a2 -2a+2) =2a2+4a- 4=2.解 a2+2a 3=0,得 ai= 3,a 2=1.又方程有兩實數根,4 0即(2a) 2- 4 (a2- 2a+2) > 0.解得a>1. a= - 3.a=1.【點評】應用了根與系數的關系獲得方程兩根的和與兩根的積,根據兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積暗示 ,即可把求a的值 的問題轉化為方程求解的問題.25. (2021?惠清縣自主招生)如果方程( x- 1) (x2- 2x+K) =0的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數k的取值范圍

40、是 3<kW4 .【分析】根據原方程可得出：x-1=0,x2-2x嚀=0;根據根與 系數的關系,可求出方程的X1+X2和X1X2的表達式,然后根據三 角形三邊關系定理求出 k的取值范圍.【解答】解：由題意,得：X- 1=0,x2-2*.；設x2- 2x+與=0的兩根分別是 m n (m> n);那么 m+n=2,mn=;m- n=%n(工4irn=K；根據三角形三邊關系定理,得：m- n< 1cm+n,即1<2;<1,解得 3<k<4.【點評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數的關系以及三 角形三邊關系定理.26. 2021?廈門模擬方程 x2-3x

41、+1=0中的兩根分別為a、b,那么 代數式a2 - 4a - b的值為-4 .【分析】 根據方程 x2- 3x+1=0中的兩根分別為 a、b,得出 a+b=3,ab=1,a 2 3a+1=0,求出 a2 3a= 1,代入 a2 - 4a - b=a2 3a -a- b求出即可.【解答】解：方程x2-3x+1=0中的兩根分別為a、b,a+b=3,ab=1,a 2 3a+1=0,a2 - 3a=- 1,a2 - 4a - b=a2 - 3a - a - b,=-1 - a+b,= -1-3,=-4,故謎底為：-4.【點評】此題考查了根與系數的關系,一元二次方程的解的應用, 此題題型較好,具有一定的

42、代表性,用了整體代入a+b和a2-3a 分別看成一個整體的思想.27. a+b=3,ab= - 7,那么代數式2a2+b2+3b的值為 39 .【分析】由a+b=3,ab= - 7可得a,b是方程3X-7=0的根,再利用代數式的變形代入所求代數式即可求值.【解答】解：< a+b=3 ab= 7,. a,b是方程X2 - 3X- 7=0的根a2 - 3a- 7=0,a2=3a+7;b2- 3b- 7=0,b2=3b+7;2a2+b2+3b=6a+14+3b+7+3b=6 (a+b) +21=18+21=39,故謎底為：39.【點評】此題考查利用根與系數的關系構造一元二次方程,解題的關系是把

43、所求代數式進行轉化,屬于根底題.28. (2021?冷水江市三模)X1,X2是關于x的方程x2+nx+n-3=0的兩個實數根,且X1+X2=- 2,那么X1X2= - 1.【分析】利用根與系數的關系求出n的值,再利用利用根與系數的關系求出兩根之積即可.【解答】解：: X1,x 2是關于x的方程X2+nX+n - 3=0的兩個實數根且 X1+X2= - 2, - n= - 2,即 n=2, X1X2=n 3=2 3= - 1.故謎底為：-1.【點評】 此題主要考查了根與系數的關系,解題的關鍵是利用根與系數的關系求出n的值.29. (2021西岡中學自主招生)實數a?b,且滿足(a+1)2=3-

44、3 (a+1) ,3 (b+1) =3- (b+1) 2.那么亞+正的值為 z23 .【分析】 根據條件“(a+1) 2=3-3 (a+1) ,3 (b+1) =3- (b+1) 2求出a+1、b+1是關于x的方程x2+3x-3=0的兩個根,然后再根據根與系數的關系求得a+b=-5,ab=1 ;最后將其代入化簡后的二次根式并求值即可.【解答】 解：: ( a+1) 2=3-3 (a+1) ,3 (b+1) =3 (b+1) 2. (a+1) 2+3 (a+1) - 3=0, (b+1) 2+3 (b+1) - 3=0, 顯然,a+1、b+1是關于x的方程x2+3x- 3=0的兩個根, x+x2

45、= 3,即 a+1+b+1 = - 3, a+b=- 5;x1x2=一3,即(a+1) (b+1) =ab+ (a+b) +1 = - 3,ab=1,咤吟；亳乖,=b|b|+a|a|,=-(b+a) 2- 2ab,= -25+2,= 23;故謎底是：-23.【點評】 此題考查了根與系數的關系、二次根式的化簡求值.解答此題時,如果先根據條件求得a、b的值,然后將其代入所求的代數式求值,那計算過程是相當的繁瑣.根據條件“ (a+1 ) 2=3 3 ( a+1 ) ,3 ( b+1 ) =3 ( b+1 ) 2 可以 知,“(a+1) 2+3 (a+1) - 3=0, (b+1) 2+3 (b+1)

46、 - 3=0,仔細觀察這兩個等式可知： a+1、b+1是關于x的方程x2+3x-3=0的兩 個根.然后再根據一元二次方程的根與系數的關系求得a與b的數量關系,并將其代入所求的代數式求值.這樣,計算會變得簡單多了.30. (2021?呼和浩特) m,n是方程x2+2x- 5=0的兩個實數 根,那么 m2 mn+3m+n= 8 .【分析】 根據m+n=- k= - 2,m?n=- 5,直接求出m n即可解題.【解答】 解：: m n是方程x2+2x - 5=0的兩個實數根, mn=- 5,m+n= 2, 2. m+2m- 5=0.2 . m=5 2m 2m mn+3m+n=(5 2m) (5) +

47、3m+n=10+m+n=10-2=8故謎底為：8.【點評】 此題主要考查了一元二次方程根根的計算公式,根據題意得出m和n的值是解決問題的關鍵.31. (2021犍南區二模)閱讀資料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為 x1,x 2,那么兩根與方程系數之間有如下關系式x1+x2=-1,x 1?x2=；根據該資料填空,x1,x2是方程x2+3x+1=0的兩實數 根,那么-4的值為 7 .叼叼【分析】根據一元二次方程根與系數的關系,可以求得兩根之積或兩根之和,根據工三="1 + ")J"",代入數值計算即可.宜2 K K 黃2【解答】解：x1,x2是方

48、程x2+3x+1=0的兩個實數根, x1+x2= 3,x 1x2=1.3二117K 工工比21故謎底為：7.【點評】 此題主要考查了根與系數的關系,將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.32 .( 2021?自貢)關于x的方程x2 - (a+b) x+ab -1=0,X1、X2是此方程的兩個實數根,現給出三個結論： Xl?X2； XiX2<ab;Xi2+X22<a2+b2.那么正確結論的序號是.(填上 你認為正確結論的所有序號)【分析】(1)可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；(2)根據兩根之積就可以判定是否正確； 22(3)利用根與系數的關系可以求出

49、X1 +X2的值,然后也可以判定是否正確.【解答】 解：:方程X2 (a+b) X+ab1=0中, = (a+b) 2- 4 (ab-1) = (a-b) 2+4>0,二 X1?X2故正確；: X1X2=ab- 1 < ab,故正確；.X1+X2=a+b,即(X1+X2) 2= (a+b) 2,. x；+X22=(X1+X2) 2-2X1X2= (a+b) 2- 2ab+2=a2+b2+2>a2+b2,即 X12+X22> a2+b2.故毛病；綜上所述,正確的結論序號是：.故謎底是：.【點評】此題考查的是一元二次方程根的情況與判別式的關系,及一元二次方程根與系數的關系,

50、需同學們熟練掌握.33. (2021?黔西北州)假設兩個不等實數 m n滿足條件：m-2m1=0,n2- 2n- 1=0,那么 m2+n2 的值是 6 .【分析】根據題意知,m、n是關于x的方程x2 - 2x - 1=0的兩個根, 所以利用根與系數的關系來求m+n2的值.【解答】解：由題意知,m、n是關于x的方程x2-2x-1=0的兩個根,那么 m+n=2,mn=- 1.所以,m2+n2= (m+3 2 2mn=2x 2 - 2X ( 1) =6.故謎底是：6.【點評】 此題主要考查了根與系數的關系,將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.34. (2021?荊門)設

51、x1,x2是方程x2-x-2021=0的兩實數根,那么 工和2021 x 2-2021=2021 .【分析】 由原方程可以獲得 x2=x+2021,x=x 2 - 2021;然后根據一 元二次方程解的界說知 ,x 12=x1+2021,x 1=x； - 2021.由根與系數的 關系知x1+x2=1,所以將其代入變形后的所求代數式求值.【解答】 解：x2x2021=0,.x2=x+2021,x=x 2 - 2021,又,x1,x2是方程x? - x - 2021=0的兩實數根,二 x+x2=1,二年+20"工廠2021=x1? , +2021x2+x2- 2021,=x1? (x+20

52、21) +2021x2+x2- 2021,=(xi+2021) +2021X1+2021X2+X2 2021,=xi+X2+2021(X1+X2) +2021- 2021,= 1+2021, =2021,故謎底是：2021.【點評】 此題考查了根與系數的關系、一元二次方程的解的界 說.對所求代數式的變形是解答此題的難點.35. 2021摩枝花設 X1,X2是方程2x2-3x-3=0的兩個實數根;那么立:生的值為-工.叼叼2【分析】利用根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積,所求式子 通分并利用同分母分式的加法法那么計算 ,變形后將各自的值代入計 算即可求出值.【解答】解：X1,X2是方程2x2-

53、3x-3=0的兩個實數根X1+X2=,X 1X2=一2那么原式=上/=/匕口 三 里KJ2¥與-62故謎底為:【點評】此題考查了根與系數的關系,熟練掌握根與系數的關系是 解此題的關鍵.36. 2021?成都模擬假設 , 3是方程x2-3x+1=0的兩個根,那么2a +%3 3%0 .【分析】 根據一元二次方程的解的界說可以求得a2-3a=- 1、由根與系數的關系知0cB =1；然后將代入所求的代數式求值即可.【解答】解：二 , B是方程x 3x+1=0的兩個根, 3 % +1=0,即 a? 3%=1,%3=1； 2 + +%3 3%=- 1 + 1=0;故謎底是：0.【點評】 此題主要考查