1、變量的定義我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說， 區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名 稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a<x< ba , b開區(qū)間a<x< b(a, b)半開區(qū)間a<x<b 或 a<x<

2、 b(a, b或a , b)以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a , +00)：表示不小于 a的實數(shù)的全體，也可記為：a<x<+8；(-8, b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-8<x<b；(-+00)：表示全體實數(shù) R,也可記為：-OO<X<+°°注：其中-8和+8,分別讀作“負無窮大"和"正無窮大"，它們不是數(shù)，僅僅是記號。鄰域設(shè)a與6是兩個實數(shù)，且 S >0.滿足不等式x - a | < S的實數(shù)X的全體稱為點 a的S鄰域，點 a稱為此鄰域的中心， S稱為此鄰域的半徑

3、。函數(shù)函數(shù)的定義如果當(dāng)變量X在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個 函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做因變量。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號 y=f(x) 、y=F(x)等等來表示.這里的字母"f"、"F"表示y與 x之間的對應(yīng)法則即 函數(shù)關(guān)系，它們是可以任意采用不同的字母來表示的注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。 函數(shù)的有界性如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有1

4、 f(x) <M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注意：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(-oo,+ oo)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)/(“)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點xi及x2,當(dāng)xi<x2時，有 五)勺(“則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的如果函數(shù)工）在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于 （a,b）內(nèi)任意兩點xi及X2,當(dāng)xi<X2時，有/（4）/（巧），則稱函數(shù)/（3）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù),Q）=x2在區(qū)間（

5、-8 ,0）上是單調(diào)減小的，在區(qū)間 （0,+ 8）上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)/ W 對于定義域內(nèi)的任意 x都滿足/（-<）JG）,則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意 x都滿足氏%）=-"則丁 W叫做奇函數(shù)。注意：偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。函數(shù)的周期性對于函數(shù)/（X）,若存在一個不為零的數(shù) l ,使得關(guān)系式/口地二/對于定義域內(nèi)任何 x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是J。）的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)sin工cost是以2n為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx是以Tt為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)）

6、=/W ,若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值 yo時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值xo與之對應(yīng)，即- 為 ,那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用 工一來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)y-J也是函數(shù)x二砒y）的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若丁二/W 在（a, b）上嚴格增（減），其值域為 R,則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增（減）.注：嚴格增（減）即是單調(diào)增（減）例題：y=x2,其定義域為（-8 ,+ 8）,值域為0,+ 8）.對于y取定的非負值，可求得x= ±6 .若我們 不加條件，由y的值就不能唯一確定 x的值，也就是在區(qū)間（-8 ,+ 8）上，函數(shù)不是嚴格增（減），

7、故其沒 有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求 x >0 ,則對y >0 > x="S 就是y=x2在要求x >0時的反函數(shù)。即是： 函數(shù)在此要求下嚴格增（減）. 反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，y J （1）與工二0（?。┑膱D形是關(guān)于直線 y=x對稱的。例題：函數(shù)y二2"與函數(shù)二力工互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示: 復(fù)合函數(shù)的定義若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：口二歹，且巾W的函數(shù)值的全部或部分在/（4） 的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù) 了=及"二西）復(fù) 合

8、而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作 產(chǎn)加切 ,其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)J二設(shè)匚SM U與函數(shù)a = 2 + x是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。2因為對于=2+工的定義域（-8,+ 8）中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2）,使二arcsm m都沒有定義。初等函數(shù)函 數(shù) 名 稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指 數(shù) 函 數(shù)a）:不ix x為何值,y總為 正數(shù)；b）:當(dāng) x=0 時,y=1.對a）:其圖形總位于y軸右數(shù) 函 數(shù)側(cè)，并過(1,0)點b):當(dāng)a> 1時，在區(qū)間 (0,1)的值為負；在區(qū)間 (-,+ 8)的值為正；在定義 域

9、內(nèi)單調(diào)增.募 函 數(shù)尸 'a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形 的一部分。令 a=m/na):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù) 時,y是偶函數(shù)；b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y 是奇函數(shù)；c):當(dāng)m奇n偶時,y在( °°,0)無意義.三 角 函 數(shù)= m x (正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a):正弦函數(shù)是以2虱為 周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且|sin x|<l反 三 角 函數(shù)尸=匚sm工(反正弦函數(shù))區(qū)里只寫出了反正弦函數(shù)a):由于此函數(shù)為多值函 數(shù)，因此我們此函數(shù)值限制 在-71 /2, 71 /2上，并稱其 為反正弦函數(shù)的主彳t.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有

10、限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出 的函數(shù)稱為 初等函數(shù).例題：y = 2'"" +一川戶+3 + sin 8力是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)函數(shù)的 名稱函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正 弦a):其定義域為：(-oo,+ oo)；b).心口函數(shù)，c):在定義域內(nèi)是單調(diào) 增雙曲余 弦a)：其定義域為：(-oo,+ oo)；b)：是偶函數(shù)；c):其圖像過點(0,1);雙曲正 切a)：其定義域為：(-oo,+ oo)；b).心口函數(shù)，c):其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是

11、奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式:反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)(-0°,+ ；1,+ °0)；a）：反雙曲正弦函數(shù)鼾曲二也+D其定義域為:b）：反雙曲余弦函數(shù)= ln（x + J/ -1）其定義域為:c）:反雙曲正切函數(shù)其定義域為：（-1,+1）;數(shù)列的極限數(shù)列若按照一定的法則，有第一個數(shù)ai,第二個數(shù)32,，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù) an,那末，我們稱這列有次序的數(shù)ai, a2,，an,為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做 數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般

12、項或通項.注：我們也可以把數(shù)列 an看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)，即：an=/（），它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限T T 111 T 111一般地，對于數(shù)列卜如 小 來說，Y若存在任意給定的正數(shù)£ （不論其多么小），總存在正整數(shù) N,使得對于n>N時的一切勺不等式幾一 &<£ftTT都成立，那末就稱常數(shù) a是數(shù)列 勺的極限，或者稱數(shù)列 曾收斂于a .記作處3二"甫口卜今3）記作：ATtfr或總'/注：此定義中的正數(shù) £只有任意給定，不等式 卜將一"履£才能表達出 乙與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù) N

13、與任意給定的正數(shù) £是有關(guān)的，它是隨著 £的給定而選定的。注：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列即，111 T 111I ，八V 在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的e鄰域即開區(qū)間（a- e , a+ e ）,如下圖所示:磨 XN+1 亍b 口xN+3J+2 x2 x3 x因不等式“卜與不等式+ e等價，故當(dāng)n>N時，所有的點%都落在開區(qū)間（a- £ , a+C內(nèi)，而只有有限個（至多只有N個）在此區(qū)間以外。 數(shù)列的有界性對于數(shù)列 / ,若存在著正數(shù)M,使得一

14、切 %都滿足不等式I k I ,則稱數(shù)列 %是有界的，若正Y 數(shù)M不存在，則可說數(shù)列 勺是無界的YY定理：若數(shù)列 勺收斂，那末數(shù)列 勺一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。 n+1例：數(shù)列 1, -1, 1, -1,，（-1）,是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a）:自變量無限增大；b）:自變量無限接近某一定點X%如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù) A,就叫做函數(shù)存在極值。函數(shù)的極限（分兩種情況）a）:自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=/。），若對于任意給定的正數(shù)£ （不論其多么小），總存在著正數(shù) X,

15、使得對于適合不等式卜卜'的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值 ,（工）都滿足不等式I加秒那末常數(shù)A就叫做函數(shù)/二當(dāng)x-8時的極限，記作:lim / (x) = XT世數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列必任給一總可找9對于n都滿足則稱數(shù)列支II記：s=/w一正數(shù) £ 四一正整數(shù)> N的所牽& T當(dāng)x -8位im a =”與常數(shù)A>01Nr勺< Ef收斂于 AA存在函數(shù)y寸與常數(shù)a任給一正數(shù)£ > 0總可找到一正數(shù) X 對于適合卜卜的一切x 都滿足|j一 . £函數(shù)y二?。╔,當(dāng)xf8時的極限為 A、1記：2im /二工b）：自變量趨

16、向有限值時函數(shù)的極限我們先來看一個例子例：函數(shù)T-1 ,當(dāng)xf1時函數(shù)值的變化趨勢如何?函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個 點，為此我們把 x-1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出，如下圖：x| - 09 O,gg 0 999HI 1.001 1.01 11199 1,9992,001 2.01 2.1從中我們可以看出 x-1時，/（I）-2.而且只要x與1有多接近，/W 就與2有多接近.或說：只要 與2只差一個微量 £ ,就一定可以找到一個S ,當(dāng)工一< 6時滿足定義:A,如果對任意給定的£ （不論其多么設(shè)函數(shù)/（X）在某點

17、x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)?。偞嬖谡龜?shù)則稱函數(shù)j 8 當(dāng)x-X 0時存在極限，且極限為lim /(z) = AA,記：,二注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢?這是因為我彳門只討論 x-X0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題 是：對給出的£ ,是否存在正數(shù) 5 ,使其在去心鄰域內(nèi)的 x均滿足不等式。用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A ,其證明方法是：a）:先任取£ >0；b）：寫出不等式加）Tv-c）：解不等式能否得出去心鄰域 0<3瓦< S時,lim /(x) = A< e成立，因此苑"'d）：則對于任給

18、的£ >0,總能找出6 ,當(dāng)0V函數(shù)極限的運算規(guī)則知 X-Xo（或 X-00）時，"；B.lim C/(x) + g(i)=jl+J則：lim g(x) = A B血巴=土重豐0）2麗 g（x） Blim憶了二制«為常數(shù)）推論： ,j而 廠二乂（解為正整數(shù)）并T/在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題:lim求;11 -/3x + 工一 1+產(chǎn)-1+ 33-+工一1Imi 5川 4/ + 工 + 3lim 3 / +lnn x-lim 1jr->l pl解答:3+1-13lim 4-lim -lim x +

19、 lim 3 4+1-1 + 3 7atIxtIatI例題:.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答:r 3?-4?+2Imi -. .-方+ 5/ _ 33”13 37/ HrX r注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算 規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：/w=-已知函數(shù)工，當(dāng)x-0時，可知Jgi T8 ,我們把這種情況稱為/趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)

20、y=/uO,在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義， 對于任意給定的正數(shù) N（ 一個任意大的數(shù)），總可找 到正數(shù)s ,當(dāng)o<m寸飲4>"成立，則稱函數(shù)當(dāng) T*時為無窮大量。lim / （x） = oo記為： E.（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng) x-8時，/（X）無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=/W ,當(dāng)x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N（一個任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù)M,當(dāng)卜|>一時，伏琲>N成立,lim f（x） - do則稱函數(shù)當(dāng)x-8時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義:設(shè)有函數(shù)1），對于任意給定的正數(shù)

21、63; （不論它多么?。偞嬖谡龜?shù) 6（或正數(shù)M,使得 對于適合不等式。<卜-與|<8（或|4>/）的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式（幻卜£,則稱函數(shù)/國當(dāng)%（或x-8）時為無窮小量.lim=。lim /（j） = 0記作： 口（或 k* ）注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)在（或x-8）時有極限A,則差是當(dāng)工r （或x-8）時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量

22、的有利運算定理a）:有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b）:有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c）:常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量無窮小量的比較定義:設(shè)a , B都是1時的無窮小量，且 B在X0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零,lim - = 0a)：如果F 0lim -=c0,則稱a是0的高階無窮小或0是a的低階無窮??；b）:如果,則稱a和B是同階無窮?。?1111 - = 1c):如果"成T R 1 11H1 ，則稱a和0是等價無窮小，記作： a s 0 （ 口與廿等價）例：因為 用3工3，所以當(dāng)x-0時，x與3x是同階無窮小;lim - = 0因為10 3l ,所以當(dāng)x-0時，x2是3x的高

23、階無窮小;lim因為sm工=1,所以當(dāng)x-0時，sinx與x是等價無窮小等價無窮小的性質(zhì)lim &存在，則 /r a r alim = lim 注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。.sin axlim例題：1.求#to tan加sin ax . ax aItm= hm = 一解答：當(dāng) x-0 時，sin axsax, tan bx bx,故：tan bx Bl blim 例題：2.求"Qtan x - sin xtan 3工lim解答：,tan x - sin x tan x(l - cos

24、x);=limtan3 3x xt"1-cosx = 2 血3 2limjwO54（代換只能在稹商日寺使用）冏：代換是否只可以 x-0日寺的趣限使用？注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念增量設(shè)變量x從它的一個初值 X1變到終值X2,終值與初值的差 X2-X1就叫做變量x的增量，記為：Nx 即：x=X2-X 1增量*可正可負.我們再來看一個例子：函數(shù) “ 在點X0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 X在領(lǐng)域內(nèi)從X0變到X0+*時，函數(shù)y相應(yīng)地從1%）變到 餌 +M）, 其對應(yīng)的增量為：

25、與二加+M-狗這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖:現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng) x趨向于零時，函數(shù) y對應(yīng)的增量 Ay也趨向于零,lim Ay = 0即：二.那末就稱函數(shù)y=J印在點xo處連續(xù)函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)/二在點X0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有 處連續(xù)，且不X。為函數(shù)的y二丁的連續(xù)點.fa /XT而稱函數(shù)F面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念:設(shè)函數(shù). 1在區(qū)間（a,b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于,即：】則=/（K）,那末我們就稱函數(shù) /在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)J。）在區(qū)間a,b）內(nèi)有定義，如果右極限 I%'",存在且等于,即：= =/

26、（。），那末我們就稱函數(shù) / 在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每點連續(xù)，則為在（a,b）連續(xù)，若又在 a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a, b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.它包括三種情形：a） ：在x0無定義；b）: J （工）在xfx 0時無極限;c）間斷點的分類/ 在Xf X。時有極限但不等于/ （瓦）X。稱我們通常把間斷點分成兩類：如果X0是函數(shù)/W 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把為函數(shù)/G）的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若X0是函數(shù)/ 的間斷點，但極限 Mu'"）存在,那末X0是函數(shù)/（X）的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但 f wJ達。兒 我們令I(lǐng)如，則可使函數(shù)/ 在點X0處連續(xù)，故這種間斷點 X0稱為可去間斷點連