1、第五章回顧：第五章回顧： 1 1 電容、電感電容、電感 2 2 換路定則換路定則 電容電壓不突變，電感電流不突變電容電壓不突變，電感電流不突變 3 3 一階電路的暫態過程一階電路的暫態過程 零輸入、零響應、全響應零輸入、零響應、全響應 三要素法（初始值、穩態值、時間常數）三要素法（初始值、穩態值、時間常數）dd ( )( )ddqu ti tCtttdtdiLtddtu )( )( 6.1 正弦量的概念正弦量的概念 6.3 電阻、電容、電感電壓電流關系的相量形式電阻、電容、電感電壓電流關系的相量形式 6.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式 6.6

2、 相量圖法分析正弦穩態電路相量圖法分析正弦穩態電路 6.5 相量法分析正弦穩態電路相量法分析正弦穩態電路 6.7 功率功率 6.8 功率因素的提高功率因素的提高 6.9 諧振諧振 6.1 6.1 t ii tIi sinmI Im m 2 Tit OfT22Tf1t O有效值：有效值：與交流與交流熱效應熱效應相等的直流定義為交流相等的直流定義為交流電的有效值電的有效值( (方均根）。方均根）。幅值（最大值）：幅值（最大值）：Im、Um則有則有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 初相位與相位差：初相位與相位差：t 相位：相位： 初

3、相位：初相位：it )sin(mtIiO0()|tt :。)sin(1mtUu如：如：)()(21 tt21 若若021 uiu i tOm2sin()iIt 9021 90021 02118021uitui90OuituiOtuiuiOuitui O 不同頻率的正弦量比較無意義。不同頻率的正弦量比較無意義。 兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數，兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數， 與計時的選擇起點無關。與計時的選擇起點無關。 ti2i1iO瞬時值表達式瞬時值表達式mI sinit相量相量必須必須小寫小寫波形圖波形圖it 1. 1.正弦量的正弦量的3 3種表示方法：種表示方法：重點重點？什么是

4、相量？為什么引入相量？什么是相量？為什么引入相量？例題例題LCRusuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：VuVtuCS0)0()30sin(2100 求：求： i=?解解: 根據根據KVLCLRSuuuu iRuR dtdiLuL 01)0(idtCuuCC 01idtCdtdiLRiuS運算復雜運算復雜相量法能大大簡化計算相量法能大大簡化計算2.2.復數復數2.1 2.1 復數表示形式復數表示形式ReF ImF 在電路中用在電路中用j來代替來代替iF = a + jb1 jFFab+1j在復平面上用相量表示在復平面上用相量表示F = a + ib1 i 代數形式代數形式 三角函數形

5、式三角函數形式)sinj(cosFsinFjcosFF 22baF Facos abarctan)Farg( Fbsin 指數形式指數形式 sinjcosej 2 jjeecos 2 jjeesin 歐歐拉拉公公式式)sinj(cosFF jeFF 極坐標形式極坐標形式 FFF = a + jb)sinj(cosFF jeFF FF四四種種形形式式j2.2 2.2 復數的運算：復數的運算：（1 1）加法運算：）加法運算：+1jF1F2F1F2F2F1F211111 FjbaF22222 FjbaF)bb( j)aa(FF212121 （2 2）減法運算：）減法運算：)bb( j)aa(FF21

6、2121 （3 3）乘法運算：）乘法運算：)(FFFF212121 +1jF1F221FF （4 4）除法運算：）除法運算：)(FFFF212121 21FF作圖方法：首尾相連作圖方法：首尾相連 平行四邊形平行四邊形旋轉因子：旋轉因子： 1je任何一個復數乘以一個旋轉因子，就旋轉一個任何一個復數乘以一個旋轉因子，就旋轉一個 角角例例 F=F1e j +1jF1 F特殊：特殊： 2jej2jej +j , j , - -1 都可以看成都可以看成旋轉因子旋轉因子1)sin()cos()( jej逆時針旋轉逆時針旋轉90o順時針旋轉順時針旋轉90o利用數學上的歐拉公式利用數學上的歐拉公式: : si

7、ncosjej 式中式中: :1 j令令: :it 則則: )(itjIe 2 )(mI)sin(itjiIetIi 22 tjtjjeIeIei 22mmII 其中其中: :ijiIIeI 3. 3. 正弦量與相量的對應關系正弦量與相量的對應關系)sin()cos(iitIjtI 22加一個小圓點是用來和普通的復數相區別加一個小圓點是用來和普通的復數相區別( (強調它與正弦強調它與正弦量的聯系量的聯系) )，故給它一個專門的名字，故給它一個專門的名字“相量相量”。同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系： 相量圖相量圖( (相量和復數一樣可以在平面上用向量表

8、示相量和復數一樣可以在平面上用向量表示) )：注意：注意：不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上 )sin(2)( iiIItIti ) sin(2)(UUtUtu U I稱稱 為正弦量為正弦量i(t)對應的相量。對應的相量。 iII ) sin(2)( IItIti ) sin(2)(UUtUtu 概念概念 ：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉的有向線：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉的有向線段在縱軸上的投影值來表示。段在縱軸上的投影值來表示。矢量長度矢量長度 = = mU矢量與橫軸夾角矢量與橫軸夾角 = = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆時針方向旋轉

9、按逆時針方向旋轉 tUum sinmUt 相量的幾何意義相量的幾何意義旋轉相量在縱軸上的投影就是正弦函數旋轉相量在縱軸上的投影就是正弦函數小結：正弦量的四種表示法小結：正弦量的四種表示法波形圖波形圖 TmIt i瞬時值瞬時值 tUum sin相量圖相量圖UI復數表復數表示法示法 UeUbaUjj符號說明符號說明瞬時值瞬時值 - - 小寫小寫u、i有效值有效值 - - 大寫大寫U、I復數、相量復數、相量 - - 大寫大寫+ +“.”“.”U最大值最大值 - - 大寫大寫+ +下標下標mUV452220 U？正誤判斷正誤判斷)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t

10、？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 2.已知：已知：A6010 IV15100 U1U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？解解: :V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U例例2: 2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：

11、A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( ( )2 sin()i tIt( )( )2sin()RutRi tRItuR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式：有效值關系有效值關系：UR = RI相位關系：相位關系：u、i同相同相 II RIIRUR 1. 1.電阻元件電阻元件iRu 根據歐姆定律根據歐姆定律: : i tOuRRUI u= i相量模型相量模型R+- -RUI相量關系相量關系IRUR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖：有效值關系：有效值關系： U= L I相位關系：相位關系：u 超前超前 i 90I

12、LU jo0 IItIti sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otILtILttiLtu 2.2.電感元件電感元件頻域頻域時域時域j L相量模型相量模型+- -UIUI相量圖相量圖i(t)u (t)L+- -時域模型時域模型 tu, iu i0波形圖波形圖感抗的物理意義：感抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力表示限制電流的能力 XLXL= U/I = L= 2 f L 單位單位: :歐姆歐姆感抗：感抗：; , ,; ,0 ),(0開開路路短短路路直直流流 LLXX U= L I(3)(3)由于由于感抗的存在使電流落后電壓感抗的存在使電流落后電壓iuL IUL 錯誤的寫

13、法錯誤的寫法(2) (2) 感抗和頻率成正比感抗和頻率成正比ILU j頻域頻域有效值關系：有效值關系： I= C U相位關系：相位關系：i 超前超前u 90UCI jo0UU時域時域tUtu sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otCUtCUttuCti 3.3.電容元件電容元件時域模型時域模型i (t)u(t)C+- -相量模型相量模型IU+- -Cj 1UI相量圖相量圖 tu, iu i0波形圖波形圖容抗的物理意義：容抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力表示限制電流的能力(2) (2) 容抗的絕對值和頻率成反比容抗的絕對值和頻率成反比容抗容抗; , 0 ,; , )

14、,(0C旁旁路路作作用用隔隔直直作作用用直直流流 CXX I= CU(3)(3) 由于由于容抗的存在使電流領先電壓容抗的存在使電流領先電壓iuC 1IUC 1錯誤的寫法錯誤的寫法CIU 1XC 1定義定義C CXUCI j例例: :電路的相量模型電路的相量模型 時域列解微分方程時域列解微分方程求非齊次方程特解求非齊次方程特解頻域列解代數頻域列解代數( (復數復數) )方程方程LCRuSiLiCiR+- -j L1/j CSULICIRIR+- - tiCRiutiCtiLiiiCRCLRCLd1d1ddSCRCLRCLICIRUICILjIII S j1j1時域電路時域電路頻域電路頻域電路dt

15、diLu 基本關系基本關系LjjXL 復阻抗復阻抗電感元件電感元件LUICjjXC 1 復阻抗復阻抗dtduCi 基本關系基本關系電容元件電容元件CUI電阻元件電阻元件R基本關系基本關系iRu 復阻抗復阻抗R小結小結UI作業6.1 6.6 在正弦交流電路中，若正弦量用相量在正弦交流電路中，若正弦量用相量 表示，表示，電路參數用復數阻抗（電路參數用復數阻抗（ ) ) 表示，則復數形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。表示，則復數形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。 IU、CLjXCjXLRR 、 6.4 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式RIU()()LU I jXI j L11()

16、()()CUIjXIjICj C復數形式的歐姆定律：復數形式的歐姆定律：電阻電路電阻電路 電感電路電感電路電容電路電容電路UIZR、L、C元件的阻抗和導納元件的阻抗和導納（1）R：1,RRZRYGR（2）L：11,LLZj LYjj LL （3）C：11,CCZjYj CCj C 阻抗阻抗 導納導納KVL、KCL的相量形式的相量形式 0 0)(0 0)(UtuIti電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較： GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或或元元件件約約束束關關系系電電阻阻電電路路 : 0 :KVL 0 :KCL : UYIIZUUI或或

17、元件約束關系元件約束關系正弦電路相量分析正弦電路相量分析可見，二者依據的電路定律是相似的。只要作出正弦可見，二者依據的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法用到正電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法用到正弦穩態的相量分析中。弦穩態的相量分析中。6.5 6.5 相量法分析正弦穩態電路相量法分析正弦穩態電路同直流電路相似：同直流電路相似：ZZ1Z2+ +- - - - U1 U2 U I IY+- - UY1Y21 I2 I , : , :IYYIYYUZZUZZkkkkkkkk并聯并聯串聯串聯6.5.1 阻抗串并聯阻抗串并聯UZZUZZZ1121 IY

18、YIYYY1121 12122112Z ZZZZZIIZZLCRuuLuCi+- -+- -+- -. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj16.5.2 6.5.2 阻抗阻抗(RLC(RLC串聯電路串聯電路) )由由KVLKVL：. ICj. ILj. IR. U. U. U. UCLR 1 . ICjLjR)( 1 . IXjR. IXXj(RCL)() 先畫出參先畫出參考相量考相量CUULUI CLXXjRIU 相量表達式：相量表達式：RUCLUU電壓電壓三角形三角形. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1RLC串聯電路會出現分電壓大于總電

19、壓的現象串聯電路會出現分電壓大于總電壓的現象實部為阻實部為阻虛部為抗虛部為抗容抗容抗感抗感抗CLXXjRIUCLXXjRZ令令則則ZIU 復數形式的復數形式的歐姆定律歐姆定律. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1Z：復數阻抗復數阻抗關于復數阻抗關于復數阻抗 Z Z 的討論的討論iuiuIUZIUIUZ ZIU 由復數形式的歐姆定律由復數形式的歐姆定律可得：可得：結論：結論：的模為電路總電壓和總電流有效值之比，的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而而的幅角則為總電壓和總電流的相位差。的幅角則為總電壓和總電流的相位差。iu IUZ 1.1.Z Z 和總電流、總電壓的關系

20、和總電流、總電壓的關系2.2.Z Z 和電路性質的關系和電路性質的關系 CLXXjRZZ 一定時電一定時電路性質由參路性質由參數決定數決定 RXXtgCLiu1當當 時時， 表示表示u領先領先i電路呈感性電路呈感性CLXX 0CLXX 0當當 時，時， 表示表示u、i同相同相 電路呈電阻性電路呈電阻性CLXX 0當當 時時， 表示表示u落后落后i電路呈容性電路呈容性阻抗角阻抗角3.3.阻抗（阻抗（Z Z）三角形）三角形阻抗阻抗三角形三角形ZRCLXXXRXXtgXXRZCLCL122)(ZXXjRZCL)(4.4.阻抗三角形和電壓三角形的關系阻抗三角形和電壓三角形的關系電壓三電壓三角形角形阻抗

21、三阻抗三角形角形相相似似 CLCLRXXjRIUUUU CLXXjRZ ZRCLXXXCURUULUCLUUI 在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示, ,元元件參數用復數阻抗表示，則電路方程式的形式與直件參數用復數阻抗表示，則電路方程式的形式與直流電路相似。流電路相似。是一個復數，但并不是正弦交流是一個復數，但并不是正弦交流量，上面量，上面不能加點不能加點。Z Z在方程式中在方程式中只是一個運算工具。只是一個運算工具。注意：注意： CLXXjRZ ZIU RLCRULUCUIU例例. LCRuuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：R=15 , L

22、=0.3mH, C=0.2 F,. Hz103 ),60sin(254 ftu 求求 i, uR , uL , uC .解解：相量模型為相量模型為. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 CjLjRZ 1 64102010321 .jC1j jjLj5561030103234. j526. jjo463543352655615. ZUI . Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 Z C1j jLj556. j526. o4635433. V 49395343149090526C1jV 486428431490905

23、56jV 43235243149015ooo ooo oo . IUILUIRUCLR A4314904635433605ooo. 則則 A)4 .3(sin2149.0o tiUL=8.42U=5，分電壓大于總電壓，原分電壓大于總電壓，原因是因是uL， uC相位相差相位相差180，互相抵消，互相抵消的結果。的結果。相量圖相量圖UCULU I- -3.4RU. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1 I A431490o. V 493953V 486428V 432352o o o . CLRUUUCLUU )60sin(25 tu V )4 .93sin(295.3V

24、 )6 .86sin(242.8V )4 .3sin(2235.2ooo tututuCLR由由KCL： . . . . . . .1jRLCIIIIGUUj CULiLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj1R+- -RI. 6.5.3 6.5.3 導納導納(RLC(RLC并聯電路并聯電路) ). )j(. )j(. )j1j(UBGUBBGUCLGCL YBGUIUIUIYuiui |j. . 令令Y 復導納復導納；G電導電導( (導納的實部導納的實部) )；B電納電納( (導納的虛導納的虛部部) )； |Y|復導納的模復導納的模； 導納角導納角。關系：關系： arctg | | 22 GBBGYG=|Y|cos B=|Y|sin |Y|GB 導納三角形導納三角形|Y|=I/U = i- - uY=G+j( C- -1/ L)=|Y| C 1/ L ，B0， 0，電路為容性，電路為容性，i超前超前u； C1/ L，