1、函數(shù)模型及其應用復習小結復習目標： 能用函數(shù)刻畫實際問題，強化函數(shù)的應用意識 能利用計算器或計算機，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、及冪函數(shù)的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型增長的含義 掌握實際問題的數(shù)學建模過程，能把所學的知識真正應用到實際生活中去知識要點：一不同函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實世界不同的變化規(guī)律例如，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型你能說說這三種函數(shù)模型的增長差異嗎？你能舉例說明直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義嗎？二函數(shù)模型的應用，一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題；另一方面是建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)

2、模型解釋有關現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預測你能結合實例說明應用函數(shù)模型解決問題的基本過程嗎？三用函數(shù)模型解決實際問題的過程中，往往涉及復雜的數(shù)據(jù)處理在處理復雜數(shù)據(jù)的過程中，需要大量使用信息技術因此在函數(shù)應用的學習中要注意充分發(fā)揮信息技術的作用典型例題解析：例 某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個.為適應市場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本，若每個蛋糕成本增加的百分率為x(0<x<1)，則每個蛋糕的出廠價相應提高的百分率為0.5x，同時預計日銷售量增加的百分率為0.8x，已知日利潤=（出廠價成本）×日銷售量，且設增加成本后的日利

3、潤為y.（）寫出y與x的關系式；（）為使日利潤有所增加，問x應在什么范圍內(nèi)？分析：由于成本的增加，相應的出廠價也提高了，日銷售量也增加，因此在計算增加成本后的日利潤時，要考慮這三個量的變化解：（）由題意得（）要保證日利潤有所增加,當且僅當本例主要是利用二次函數(shù)來解決實際問題，這是本節(jié)中的一個重點，也是難點，更是易錯點在解決實際問題時，常把實際問題轉化為二次函數(shù)的有關知識來解決，如求最值問題等，但要注意函數(shù)的定義域即 ， 解得 點評：本例是實際應用問題，解題過程是從問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系式，再研究函數(shù)關系式的定義域，并結合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學模型的一種

4、最簡單的情形。練習：某產(chǎn)品總成本C（萬元）與產(chǎn)量（臺）滿足關系，其中，若每臺產(chǎn)品售價25萬元，則廠家不虧本的最低產(chǎn)量為 臺某商場售物A，日銷量1000件，每件可獲利4元，據(jù)經(jīng)驗，每件降價元，則每天多買100件，問每件減價多少元，每天所得利潤最大，最大利潤為多少元解：元例（1）在1975年某市每公斤豬肉的平均價格是元，而到了2005年，該市每公斤豬肉的平均價格是元，假定這30年來價格年平均增長率相同，求豬肉價格的年平均增長率（2）另一方面，1975年時該市職工月平均工資是40元，而到了2005年，該市職工月平均工資是860元，通過豬肉價格的增長和工資增長的對比，試說明人們的生活水平是日益提高，并

5、計算若按這種速度，到2020年，估計該市職工月平均工資是多少元解：（1）設豬肉價格的年平均增長率是，則有利用計算器可得（2）該市職工月工資和年平均增長率是，則有，利用計算器可得因為，因此人們的生活水平是日益提高照這樣的速度到2020年，職工月平均工資是元練習：我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值計劃從2000年到2020年翻兩番，設平均每年增長率為，則 （ ）A. B C D有一片樹林現(xiàn)有木材儲蓄量為7100 cm3，要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，即達到28400 cm3（1）求平均每年木材儲蓄量的增長率（2）如果平均每年增長率為8%，幾年可以翻兩番？這是一個指數(shù)函數(shù)模型的應用題，加強對計算器及計算機的使用，

6、進一步理解指數(shù)增長的含義 解：（1）設增長率為x，由題意得28400=7100（1+x）20（1+x）20=420lg（1+x）=2lg2，lg（1+x）0030101+x1072，x0072=72%（2）設y年可以翻兩番，則28400=7100（1+008）y，即108y=4y=，故18年可翻兩番例我國1999年至2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億元）如下表：年份19992000200120020123生產(chǎn)總值8.20678.94429.593310.2398(1) 畫出函數(shù)圖形,猜想它們之間的函數(shù)關系,近似地寫出一個函數(shù)關系式；(2) 利用得出的函數(shù)關系式求生產(chǎn)總值并與表中實際生產(chǎn)總值比較

7、；(3) 利用關系式預測2003年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值分析：根據(jù)數(shù)據(jù)表，畫出散點圖，用比較合適的函數(shù)擬合散點，從而得到一個函數(shù)模型，然后用此模型解釋這一實際問題解：（）畫出函數(shù)圖形（略），從圖形可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設所求的函數(shù)為，把兩點（，8.2067）和(3,10.2398)代入公式,解得所求的函數(shù)關系為（）由得到的關系式計算出2000年和2001年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為，與實際的生產(chǎn)總值相比,誤差不超過0.1億元（）若按此規(guī)律增長，2003年時，即時，可得培養(yǎng)學生對數(shù)據(jù)的分析處理的能力，在刻畫擬合函數(shù)時，培養(yǎng)學生的動手能力及分析推理能力，讓學生體會求擬合函數(shù)的基本過程，并在

8、以后的學習生活中加以運用即預測2003年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為109175萬億元點評：通過上述模型解決實際問題是否符合實際情況，還要經(jīng)過實踐的驗證，若與實際誤差較大，就要修正得到的數(shù)學模型練習：麋鹿是國家一級保護動物，位于江蘇省中部黃海之濱的江蘇大豐麋鹿國家級自然保護區(qū)成立于年，最初一年只有麋鹿100頭，由于科學的人工培育，這種當初快要滅絕的動物只數(shù)（只）與時間（年）的關系可近似地由關系式給出，則到2006年時，麋鹿的只數(shù)約為（ ）A400 B440 C500 D600今有一組實驗數(shù)據(jù)如下： t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這

9、些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A B. C. D.例有一批單放機，每臺元，兩個商場均有銷售甲商場的優(yōu)惠辦法是：買1臺少收2元，買2臺每臺少收4元，買3臺少收6元，直到減到半價為止乙商場的優(yōu)惠辦法是：一律按原價的銷售某公司要為每個員工買一臺這樣的單放機，問到哪個商場購買比較合算？分析：要比較到哪個商場購買比較合算，就看買相同的臺數(shù)誰花的錢少因此設大家都買臺，列出所需錢數(shù)的函數(shù)關系式即可解：設共買（臺），在甲乙兩個商場購買分別需和元，則有，在同一直角坐標系中分別作出函數(shù)和的圖象（圖略），由圖象可知，它們有一個交點由圖可知，當公司員工少于12人時，到乙商場購買合算；當當公司員工恰好是12人

10、時，到甲乙商場都一樣；當公司員工多于12人時，到甲商場購買合算一方面滲透數(shù)形結合的思想，另一方面生活中經(jīng)常會碰到類似的事情，需要你對某個事件作出選擇，這就可用我們學過的數(shù)學知識來分析解決，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)學生學好數(shù)學的信心點評：這是一類函數(shù)值大小的比較的問題，一般可借助計算器或計算機，畫出函數(shù)圖形，從圖形上比較直觀地反映出來；也可通過大小比較（一般是作差），求出滿足題意的答案練習：某養(yǎng)魚場，第一年魚產(chǎn)量增長率為200%，以后每年產(chǎn)量的增長率都為前一年的一半，則四年后魚產(chǎn)量為原來的 倍 某廠出售某種手表,成本24元/只,如直接設立門市部,每只售價可定為32元,但需支付門市費用每月240

11、0元;如批發(fā)給零售商,出廠價只能定為28元/只,那么該手表每月銷量至少為 只時設立門市部較合算例設海平面上（海拔高度為0米）是一個標準大氣壓，隨著海拔高度的增加，氣壓越來越低當海拔高度為1000米時，約為個大氣壓；當海拔高度為10000米時，約為個大氣壓，當海拔高度為20000米時，約為個大氣壓設海拔高度為米的地方，氣壓為個標準大氣壓（1）建立與間的函數(shù)模型，找出與的函數(shù)關系式；（2）從身體需氧的角度講，當大氣壓低于個大氣壓時，就會比較危險根據(jù)你找的與的函數(shù)關系，計算常人攀登山的高度不宜超過多少米分析：先要根據(jù)散點圖，找出合適的函數(shù)模型進行擬合計算常人攀登山的高度不宜超過多少米就是用二分法找零

12、點解：顯然，隨的增加而減小且依題意，不可能是直線，也不可能是反比例函數(shù)，而用指數(shù)型函數(shù)較適合設，由時，知，即，；，；，； （2）設，構造函數(shù)，用二分法求此方程的零點，知，約為米點評：在計算常人攀登山的高度不宜超過多少米時，可用前面學過的知識，在根據(jù)數(shù)據(jù)，畫出散點圖后，需要選擇一個函數(shù)模型來擬合，旨在培養(yǎng)學生求擬合函數(shù)，如何使所求函數(shù)更能反映事實，能對未來作出更準確的判斷在計算常人攀登山的高度不宜超過多少米時，采用二分法，旨在加強知識間的了解注意知識間的了解練習5：從2001年起的20年內(nèi)，我國力爭使全國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值翻兩番按目前的年平均增長率（約為）計算，要實現(xiàn)這一目標，約需（ ）A20年 B1

13、8年 C16年 D15年某醫(yī)院研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量使用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量與時間之間近似滿足如圖所示的曲線，（1）寫出服藥后與之間的函數(shù)關系式；（2）據(jù)測定，每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為7：00，問一天中怎樣安排服藥時間、次數(shù)，效果最佳？60.5O小時微克8x解：（1）依題意，得（2）設第二次服藥時，在第一次服藥后小時，則，（小時）因而第二次服藥應在10：00.設第三次服藥在第一次服藥后小時，則此時血液中含藥量應為兩次服藥后含藥量之和，即有，解得（小時），因而第三次服藥應在14:00.設第四次服藥在第一次服藥后小

14、時（），則此時第一次服的藥已吸收完，此時血液中含藥量應為第二、三次之和，解得 （小時），故第四次服藥應在17：30.復習小結：用函數(shù)有關的知識建立數(shù)學模型，難點是理解題意，把實際問題數(shù)學化，對數(shù)學建模的原理要有一定的認識數(shù)學建模的基本步驟是：（）解讀：領會題意，并把題中的普遍語言譯成數(shù)學語言；（）建模：根據(jù)題目要求，分析量與量之間的關系，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型并注意題目對變量的限制條件；（）解模：對已經(jīng)數(shù)學化的問題，用所學過的數(shù)學知識處理，求出解；將數(shù)學問題的解代入實際問題檢驗，舍去不合題意的解，并作答幾種常見的函數(shù)模型：（）函數(shù)模型為正、反比例函數(shù)的問題；（）函數(shù)模型為一次函數(shù)的問題；（）函數(shù)模

15、型為二次函數(shù)的問題；（）函數(shù)模型為指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的問題；4上述函數(shù)模型常解決的幾類應用題：（1）幾何問題；（2）利潤最大，費用最省問題；（3）復利問題；（4）變化率問題；（5）物理問題課外同步訓練：輕松過關在本市投寄平信,每封信不超過20克付郵資08元, 超過20克但不超過40克付16元,依此類推,每增加20克增加08元(信的質(zhì)量在100克以內(nèi)),某人所寄一封信725克,則應付郵資 元（ ）A24 B28 C3 D32商品A降價10%促銷，經(jīng)一段時間后欲恢復原價，需提價（）A B C D 長為4寬為3的矩形，當長增加寬減少時面積最大，則 ，最大面積 某廠1998年產(chǎn)值為，預計每年以%遞增，

16、則2010年的產(chǎn)值為（ ）A BC D按復利計算利率,存入銀行二萬元,年息8%,5年后支取,可得利息（ ）A B C D麋鹿是國家一級保護動物，位于江蘇省中部黃海之濱的江蘇大豐麋鹿國家級自然保護區(qū)成立于年，最初一年只有麋鹿100頭，由于科學的人工培育，這種當初快要滅絕的動物只數(shù)（只）與時間（年）的關系可近似地由關系式給出，則到2006年時，麋鹿的只數(shù)約為（B ）A400 B440 C500 D600適度拓展世界人口已超過56億，若按千分之一的年增長率計算，則兩年增長的人口就可相當于一個（）A新加坡（270萬） B香港（560萬） C（瑞士700萬） D（上海1200萬）如圖所示，有一塊半徑為R

17、的半圓形綱板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長和腰長間的函數(shù)式，并求出它的定義域。解：如圖所示，AB=2R，C、D在O的半圓周上設腰長AD=BC=，作DEAB，垂足為E，墨守成規(guī)結BD，那么ADB是直角，由此RtADEABD。即 所以， 即再由 解得周長與腰長的函數(shù)式為：，定義域為：某廠生產(chǎn)一種服裝,每件成本40元,出廠價定為60元/件,為鼓勵銷售商訂購,當一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元,據(jù)市場調(diào)查, 銷售商一次訂購量不超過500件,（1）設一次訂購量為件,實際出廠單價為P,寫出的表達式;（2）當銷售商一