1、基礎知識一、基本不等式設a，bR，則a20；a2b22ab，a，bR，要認識到a和b代表的實數(shù)既可以是具體數(shù)字，也可以是比較復雜的變量式，應用廣泛二均值不等式二均值不等式設a，b(0，)，則 當且僅當 時，不等式取等號它的證明要能從基本不等式中得出，既是對基本不等式中a，b的靈活變式，又具有自身特點，a，b(0，)ab三、靈活變式a2b2 ；ab .ab ； .(ab)2 4ab.當且僅當ab時，各式中等號成立提醒：有些式子雖可寫成a 的形式，但“”卻永遠取不到，這時就不能用均值不等式求最值例如求函數(shù)ysinx 的最值，就必須用單調(diào)性 四、利用兩個定理求最大、最小值問題1x，y(0，)，且xy

2、P(定值)，那么當xy時，xy有最 值2 2x，y(0，)，且xyS(定值)，那么當xy時，xy有最 值 小大易錯知識一、均值不等式求最值忽視各項為正致誤1函數(shù)y12x (x0)有最_值為_；答案：大12 2已知0 x1，則函數(shù)y2log2x 有最_值為_答案：大22 二、均值不等式求最值忽視積(或和)為定值致誤3函數(shù)f(x)x(52x)，x(0，)的最大值為_； 答案：2三、均值不等式求最值忽視等號成立條件致誤答案：56函數(shù)f(x) 的最小值為_ 回歸教材1(2009湖南，10)若x0，則x 的最小值為_2(教材P124題改編)x1時，x 的最小值為_x4時，x 的最小值為_ 3若x，yR，

3、且x4y1，則xy的最大值為_4已知x0，y0，xy2，則 的最小值為_答案：25(教材P333題原題)已知ab0，求a2 的最小值命題意圖：考查算術平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的應用分析：為求最小值，從題中可以看出，應使兩數(shù)乘積為定值，為此應將a2和b(ab)中之一拆項變形由a(ab)b，從而可將a用b和ab表示，也可由b(ab)轉(zhuǎn)化后用a表示解析：解法1：ab0，b0且abba，當且僅當bab時上式取等號，即2ba.解法2：ab0，ab0，原式的最小值為16.答案：16【例1】已知a、bR，則 的大小順序是() 答案C總結評述由重要不等式及推論知一些常用的變形不等式，如： 有其廣泛的應用，應注

4、意推導和掌握解析：因為ab1，所以lgalgb0， 所以RQ.故PQR.答案：PQR總結評述：根據(jù)P、Q、R式子的結構，應用重要不等式，再運用函數(shù)ylgx的單調(diào)性.【例2】(2009全國大聯(lián)考)(1)已知x ，求函數(shù)y4x2 的最大值(2)(2007武漢)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值解答(1)因為4x50，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x2) 不是常數(shù)，所以對4x2要進行拆、湊項，x ，54x0，y4x2 (54x )3231.當且僅當54x ，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax1.總結評述對于此題，還可以利用三角換元法、判別式法、數(shù)形結合等方法求解，請讀者自己去探究此處，

5、請讀者分析下面解法錯在何處12.故(xy)min12.用均值不等式求函數(shù)的最大(小)值是高中數(shù)學的一個重點，也是高考熱點，三個條件必須同時具備，才能應用一正(各項值為正)，二定(各項的和或積為定值)，三相等(取等號的條件)，在具體的題目中“正數(shù)”條件往往易從題設中獲得，“相等”條件也易驗證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設計為一個難點，它需要一定的靈活性和變形技巧因此，“定值”條件決定著均值不等式應用的可行性，這是解題成敗的關鍵此外，若兩次連用均值不等式，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立的條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種

6、方法(2009沈陽二測)若實數(shù)x、y滿足 1，則x22y2有()C最大值6 D最小值6答案：B(2009重慶，7)已知a0，b0，則 的最小值是()答案：C【例3】某食品廠定期購買面粉已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其它費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由解答(1)設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸由題意知，面粉的保管等其它費用為

7、36x6(x1)62619x(x1)設平均每天所支付的總費用為y1元，則即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉設該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則當x35時，f(x)有最小值，此時y20)(1)在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時)(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應在什么范圍內(nèi)？整理得v289v16000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：當v40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時，如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應大于25千米/時