1、第二章測度與測度的構造我們知道Riemann枳分的幾何意義是曲邊梯形的面積.為在歐氏空間空間上推廣 Riemann積分的理論，我們必須把象長度，面積和體積等概念推廣到尺”中的更一般的集上 12本章將耍定義的尺”上的Lebesgue測度就是長度，面積和體積等概念推廣.§2.1測度與測度的性質教學目的 給出-般空間上測度的定義，并由測度的定義推出測度的 膚本性質Lebesgue測度和Lebesgue-Stieljes測度是本卩定義的測度最巫耍 的特例，將在§2 3中介紹本節要點本節討論的測度是一般空間上的抽象測度應通過一些例 子，使學生理解測度的意義廣義實數集測度論屮討論的函數

2、和測度將允許取正、負無窮為值為此引進“ + s”和“_co”兩個符號，稱之為廣義實數規定它們與實數a之間的人小關系和四則運算如F：(1)序關系:一 00 v a v +s.C)加法:a + (±co)=(±co) + a =住 co)十(±co) = ±co.'± COd >0G)乘法:a (土s)=(±oo) a = <0a = 0耳coa <0除法:a -0.± CO(5)絕對值:|± oo| = +6記疋=莊3+6,_6.稱1T為廣義實數集，它的元索稱為廣義實數.取值rir的 序列和

3、兩數分別稱為廣義實數列和廣義實值兩數.測度的定義與性質設X是一固定的非空集.本肖所討論的集都是X的子集我們稱定 義在集類上的換數為集曲數.定義1設欠為一個環，“：欠TO, + s是一個非負值集兩數 如果“滿足如卜條n “(0) = 0.(ii)可數可加性：對/屮的任意一列互不相交的集厶, 當00U九W欠時，成立n=l8COn=ln=l則”稱為久上的一個測度.注1壞上的測度也HWW限可加性爭實上，設坷,4 w欠，則“(U4)=i-l=心)+ + “(AJ + "(0) + 1-1這表明“具有有限可加性-但在一般情況人有限可加性不能推出可數可加性.思考題 證明：若“是壞欠上的廣義實值函數

4、,"不恒為+ 00,并且滿足可數可加性, 則是欠上的測度例1設0=X,0.令zz(0) = 0, /t(X) = 1.則“是久上的測度.例2設X是一非空集，d是X中的一個固定元 對任意令/八卩若a"，(力)=<10若°電A.則容易驗證"是伊(X)上的測度.例3設歹是非空集X上的(T-代數 對任意若力工0,則令“3) = +s. 另外令“(0) = 0,則“是歹上的測度例4設* = ©,勺,是可數集，滬(X)是X的全體子集所成的a-R數 又設 pn,p>l是一列非負實數.在卩(X)上定義“(0) = 0,心)=工必，Ae(X)-a,e

5、A容易驗證“是伊(X)上的測度.特別地，當pn =l(n>l)時，/中元素的個數當蟲是冇限集，“3) = /1+S當蟲是無限集.此時稱“為X上的計數測度 特別地，卄取X = N為自然數集，則得到自然數集上的計數 測度.例5設歹足非空集X上的<7-代數，E".令=Er>A:A.則玉是E 上的0-代數(見第一章習題第22題).若“是歹上的測度 則“(限制在西上)也是巧上的測度.在§23將給出測度最匝耍的例子即1T上的Lebesgue測度.定理2設“是環欠上的測度.則“具有如下性質:(1) 單調性.若4恥欠 且Au方,則“3)<“(£).(2)

6、可減性.若欠，A(zB并且“ (X)v+s,則“3-4)= "(3)-“3).00(3) 次可數可加性 若3”U欠 并JlUdW欠，則n«l“(C)4) < f>(4)n=ln=lco卜連續性若并且u児則n=lcoA(UA )=lim“(4) 上連續性.若4u？ 并且w児“G4Jv+s,則 n»l8“(3=慳心)證明(1).由蟲(=5故£ =由：/c(8-N) = 0,由測度的有限可加性得到“3) = “3) + “3->1)注意到從B -yl)>0, W此“3) < “(8).(2)在(1)中已證"(B) = h

7、(A) + h(B-A).由此式并注意到0W“3)<+s,即得“3-乂)= “3)-“(乂)H1(3)令Bx = Al9 Bn = A - U人，n A 2.I»1coco則BJu 欠，并且Bn c(n>l), Bt n Bj = 0(/ j).易知成立|JA=U5n (參 n=ln=l見第一章習題第1*題)利用測度的可數可加性和氓調性衍到41a(UA) = XUBn)=丈“(E)n=ln=ln=l令易M占=4 一心心2.由于At, 容易知道有42#BtcBj= 0(i 豐并且cococoA=U5- UA=UBr1=1 1=1 1=1由測度的可數可加性，我們“(Ua) =

8、 f>(瓦)=恕 i>3Jn«l= lim/z(|jBt) = lim/z(-4n). n->comT8i=lm=1n*lt«l(5)令Bw=4-4,n>l.則恥,并且UBn = U(A-A) = A-r)A-n=lw=lw=l注總到(|Ja)<+s,由測度的可減性和卜連續性，得到 n=lcooo“-(店)= z/(|jBJ = liin/(B)FtlM»1= limS一 “(&)n->co” T800由上式得到/z(p|4l)=liinzz(j).定理證畢n=l注2在測度的性質(5)中，若去掉條件“(ZJV+s,則不能

9、保證中的結論成立例如，設“是自然數集7V上的計數測度.令4 = G,n+i,nni則4,1并且00 8ru =0.丁是 /z(Q)= o. 另一方而，由 丁 (4) =+s(nni), 故lim“(4)= +co n->co因此(|人)工!現"(4) n=l28#定義3設“是環欠上的測度.(i)若對每個力w沢都有“3) < +s,則稱“是有限的#(ii). Xi對每個Ae ，存在欠屮一列集厶,使得(n 1)并JI 力=0蟲”，則稱“是一冇限的H-1容易知道，若環欠上的測度“是CF-冇限的，則上述定義中的/”可以選取為互不 相交的特別地，若“是7-代數夕上的測度，則“是7-有限的當且僅當存在夕中一列8互不相交的集4，使得“3”) +s (n ni)并且z = UM.n«l例如，本節例1和例2中的測度是有限的例4中的測度是7-有限的定義4 (1)設X為一非空集，疔為X上的CT-代數 稱二尤組合(X,嚴)為可測空間. 歹中的集稱為于-可測集(或簡稱為可測集)(2)設“為可測空間(X,F)上的測度 稱