1、課時達標檢測（四十七）拋 物 線練基礎小題 強化運算能力 1若點 P 到直線 x 1 的距離比它到點 (2,0) 的距離小1，則點 P 的軌跡為 ()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析：選D依題意，點 P 到直線 x 2 的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P 的軌跡是拋物線2設拋物線 y2 12x 上一點 P 到 y 軸的距離是1，則點 P 到該拋物線焦點的距離是()A 3B4 C7D 13解析：選B依題意，點 P 到該拋物線的焦點的距離等于點P 到其準線 x 3 的距離，即等于 3 1 4.3若拋物線 y2 2x 上一點 M 到它的焦點 F 的距離為 3， O 為坐標原點，則MFO 的2面積

2、為()2211A. 2B. 4C.2D.4解析：選B由題意知，拋物線的準線方程為x1設 M (a， b)，由拋物線的定義可.232知，點 M 到準線的距離為 2，所以 a1，代入拋物線方程y 2x，解得 b 2，所以 SMFO 1 1 2 2.2 244設 F 為拋物線y2 2x 的焦點， A， B， C 為拋物線上三點，若F 為 ABC 的重心，則| FA | FB | FC |的值為 ()A 1B 2C 3D 4解析：選 C依題意，設點 A(x1， y1 ，2， y2 ，3， y3，又焦點1，0，所以)B(x)C( x)F2131113x1 x2 x3 3 2 2，則 | FA | | F

3、B | | FC| x12 x22 x32 (x1 x2 x3) 2 32 32 3.5直線 l 過拋物線x2 2py(p0) 的焦點，且與拋物線交于A，B 兩點，若線段AB 的長是 6， AB 的中點到x 軸的距離是1，則此拋物線方程是_解析： 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 |AB|y1 y2p 2 p6，p 4.即拋物線方程為x2 8y.答案： x2 8y練常考題點 檢驗高考能力一、選擇題1拋物線 y2 2px(p0)的準線截圓 x2 y2 2y 1 0 所得弦長為2，則 p ()A 1B 2C 4D 6解析：選 B拋物線 y22px(p0)的準線為 p，而圓化成標準方

4、程為x2 1)2x2(ypp 22 222，圓心 M (0,1)，半徑 r2，圓心到準線的距離為2，所以2 2 (2)，解得 p2.252已知拋物線C：yx的焦點為 F，A(x0，y0 )是 C 上一點， |AF | 4x0，則 x0 ()A 1B 2C 4D 8解析：選A由題意知拋物線的準線為x154.因為 |AF | x0，根據拋物線的定義可得4x01 |AF |5x0，解得 x0 1，故選 A.443已知拋物線 y2 8x 的焦點為 F ，直線 yk( x 2)與此拋物線相交于P，Q 兩點，則 1|FP|1 ()|FQ |1A. 2B 1C 2D 4解析：選A設 P(x ，y，Q(x2，

5、y，由題意可知直線k(x2)過拋物線焦點(2,0)，11)2)y所以 |PF| x 2，|QF | x 2，則1 1 11x1 x2 4聯立直線12|FP|FQ |x1 2x2 2.x1x2 2 x1 x2 4與拋物線方程消去y ，得 k22 (4k2 8)x 4k2 0 ，可知x12 4，故1 1xx|FP |FQ |1 x2 4x1 x2 4x1x1x2 2 x1 x2 4 2 x1 x2 82.4設拋物線 C： y2 2px(p0) 的焦點為 F ，點 M 在 C 上， |MF | 5.若以 MF 為直徑的圓過點 (0,2)，則拋物線 C 的方程為 ()A y2 4x 或 y2 8xB

6、y2 2x 或 y2 8xC y2 4x 或 y2 16xD y2 2x 或 y2 16x解析：選 C由已知得拋物線的焦點F p，0，設點 A(0,2)，拋物線上點 M (x0，y0)，則2AF p， 2，AMy02， y0 2由已知得， ，即2 ，因而22p.AF AM0y08y0 16004，M8， 4.由 |MF | 5 得， 8p 5，又 p 0，解得 p 2 或 p 8，所以拋物線 C 的方ypp 2程為 y2 4x 或 y2 16x.5 (2017 長春模擬 )過拋物線 y2 2px(p0) 的焦點 F 且傾斜角為120的直線 l 與拋物線在第一、四象限分別交于A， B 兩點，則|

7、AF |的值等于 ()|BF |1234A.3B.3C.4D. 3解析：選A記拋物線 y22px的準線為l ，如圖，作 ，AA1 l|BC|BB1l ， ACBB1，垂足分別是A1， B1， C，則有cosABB1 |AB|BB1|AA1|BF | |AF |BF |AF |1，由此得|AF |1，即 cos 60 |AF |BF |AF | |BF |AF |BF |2|BF |3.6已知拋物線 y2 2px(p0) 與圓 (x a)2 y2 r2(a0) 有且只有一個公共點，則()A r a pB r a pC ra pD r a p解析： 選 B 當 r0)與拋物線 y2 2px(p0)

8、 要么沒有公共點，要么有兩個或四個公共點，與題意不符；當ra 時，易知圓與拋物線有兩個公共點，與題意不符；當r a 時，圓與拋物線交于原點，要使圓與拋物線有且只有一個公共點， 必須使方程 (x a)2 2px r2有且僅有一個解，可得ap.(x0)x 0二、填空題7拋物線26 的點到此拋物線焦點的距離為10，則該拋物線的y 2px(p0)上橫坐標為焦點到準線的距離為 _pp解析： 設拋物線的準線方程為x 2(p0) ，則根據拋物線的性質有2 6 10，解得 p8，所以拋物線的焦點到準線的距離為8.答案： 88 (2017 邢臺模擬 )已知拋物線x2 4y 上有一條長為6 的動弦 AB，則 AB

9、 的中點到 x軸的最短距離為 _解析： 由題意知， 拋物線的準線l：y 1，過 A 作 AA1l 于 A1，過 B 作 BB1l 于 B1，設弦 AB 的中點為 M ，過 M 作 MM 1l 于 M 1 則.|MM 1|AA1|BB1|2.|AB| |AF | |BF |(F 為拋物線的焦點 )，即 |AF |BF | 6，則 |AA1| |BB1| 6，即 2|MM 1|6，所以 |MM 1| 3，故 M 到 x 軸的最短距離為31 2.答案： 29 (2015 荊門質檢 )已知 F 是拋物線 y2 4x 的焦點， A， B 是拋物線上兩點，若AFB是正三角形，則 AFB 的邊長為 _解析：

10、 由題意可知 A，B 兩點一定關于x 軸對稱，且 AF ， BF 與 x 軸夾角均為30 ，32y 3 x1 ，23 4由于 y 4x 的焦點為 (1,0)，由化簡得 y 4 3y 4 0，解得 y 22y 4x，或 y 2 3 4，所以AFB 的邊長為 8 43或 843.答案： 84 3或 84310經過拋物線 C 的焦點 F 作直線 l 與拋物線 C 交于 A， B 兩點，如果 A， B 在拋物線 C 的準線上的射影分別為A1， B1，那么 A1FB 1 為 _解析：由拋物線定義可知|BF |BB1|，|AF| |AA1|，故BFB 1BB1F ，AFA 1AA1F .又OFB 1BB1

11、F ，OFA1AA1F，故BFB 1OFB 1，AFA 1OFA1，所以OFA1OFB 1 1 ，即A1FB 1.222答案： 2三、解答題11已知拋物線 y2 2px(p 0)的焦點為 F ，A 是拋物線上橫坐標為4，且位于 x 軸上方的點， A 到拋物線準線的距離等于5，過 A 作 AB 垂直于 y 軸，垂足為B， OB 的中點為 M .(1) 求拋物線的方程；(2) 若過 M 作 MN FA ，垂足為 N，求點 N 的坐標解： (1)拋物線y2 2px 的準線為x p2，于是 4 p25，p 2，拋物線方程為y24x.(2)由 (1)知點 A 的坐標是 (4,4)，由題意得B(0,4)，

12、 M (0,2)又F(1,0)，kFA 4 ，33. MNFAkMN4.FA 的方程為 y 41)，MN的方程為3，3(xy4x 24聯立y3 x1 ，解方程組得 x8， y4，355y 4x 2，8 4點N 的坐標為 5， 5 .212.如圖，已知拋物線C： y 2px(p 0)，焦點為F ，過點G(p,0)(1) 若 y1y2 8，求拋物線 C 的方程；(2) 若直線 AF 與 x 軸不垂直，直線 AF 交拋物線 C 于另一點 B，直線 BG 交拋物線C 于另一點N.求證：直線AB 與直線 MN 斜率之比為定值解： (1)設直線 AM 的方程為x my p，代入 y2 2px 得 y2 2mpy 2p2 0，則 y1y2 2p2 8，得 p2.拋物線 C 的方程為y2 4x.(2)證明：設B(