1、五年級奧數講義數的整除性第5講 數的整除性（一）三、四年級已經學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數的特征，也學習了一些整除的性質。這兩講我們系統地復習一下數的整除性質，并利用這些性質解答一些問題。數的整除性質主要有：（1）如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數能被丙數整除。（2）如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差都能被這個自然數整除。（3）如果一個數能分別被幾個兩兩互質的自然數整除，那么這個數能被這幾個兩兩互質的自然數的乘積整除。（4）如果一個質數能整除兩個自然數的乘積，那么這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。（5）幾個數相乘，如果其中一個因數能

2、被某數整除，那么乘積也能被這個數整除。靈活運用以上整除性質，能解決許多有關整除的問題。例1 在里填上適當的數字，使得七位數7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數的特征，很難推斷出這個七位數。因為9，25，8兩兩互質，由整除的性質（3）知，七位數能被 9258=1800整除，所以七位數的個位，十位都是0；再由能被9整除的數的特征，推知首位數應填4。這個七位數是4735800。例2 由2000個1組成的數11111能否被41和271這兩個質數整除？分析與解：因為41271=11111，所以由每5個1組成的數11111能被41和271整除。按“11111”把200

3、0個1每五位分成一節， 20005=400，就有400節，因為2000個1組成的數1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據整除的性質（1）可知，由2000個1組成的數11111能被41和271整除。例3 現有四個數：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據有關整除的性質，先把12分成兩數之積：12=121=62=34。要從已知的四個數中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數能被12整除，這個數與其它三個數中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數能被6整除，另一個

4、數能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數能被4整除，另一個數能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數，所以可以選76554和76550，76554和76552。對于第（3）種情況，四個數中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數的乘積能被12整除的有以下三組數：76550和76554， 76552和76554， 765

5、51和 76552。例4 在所有五位數中，各位數字之和等于43且能夠被11整除的數有哪些？分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數有兩個要求：各數位上的數字之和等于43；能被11整除。因為能被11整除的五位數很多，而各數位上的數字之和等于43的五位數較少，所以應選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數由一個7和四個9組成；1 / 3（2）五位數由兩個8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據被11整除的數的特征，如果奇數位數字之和是27，偶數位數字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數是： 97999，99979， 98989。例5

6、 能不能將從1到10的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？分析與解：10個數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設題目的要求能實現。那么由題意，從前到后每兩個數一組共有5組，每組的兩數之和都能被3整除，推知110的和也應能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現。練習51.已知4205和2813都是29的倍數，1392和7018是不是29的倍數？2.如果兩個數的和是64，這兩個數的積可以整除4875，那么這兩個數的差是多少？3.173是個四位數。數學老師說：“我在這個中先后填入3個數字，所得到的 3

7、個四位數，依次可以被9，11，6整除。”問：數學老師先后填入的3個數字之和是多少？ 班有多少名學生？6.能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？練習51.是。提示：7018和1392分別是4205與2813的和與差。2.14。提示：已知這兩個數的積可以整除4875，說明這兩個數都是4875的因數。4875= 355513，用這些因子湊成兩個數，使它們的和是64，顯然這兩個數是313=39和55=25。它們的差是39-25=14。3.19。提示：先后填入的三個數依次是7，8，4。4.123654和321654。提示：由題意知，b，d，f是偶數，e= 5，所以a，c只能是1和3。6，進而知f=4，所求數為123654和321654。5.55人。提示：總分等于平均分乘以學生人數，因為平均分90=910，所以總（人）。6.不能。提示：假設能。因為前