1、期 中 論文課程: 微 分 幾 何 題目: 空間曲線的副法線曲面方程研究 姓名: xxx 學號: xxx 日期: 2014年6月9日 空間曲線的副法線曲面方程研究摘要 幾何是以微積分作為工具研究曲線和曲面的性質及其推廣應用的幾何學，作為數學的一個重要分支，它滲透到各數學分支和理論物理等學科，成為推動這些學科發展的一項重要T具經典的微分幾何研究三維歐氏空問的曲線和曲面在一點鄰近的性質，它是用微積分和線性代數的方法研究空問曲線和曲面的形狀，找出決定曲線和曲面形狀的不變量系統 本文主要研究的是一種特殊的曲面一一副法線曲面。所謂副法線曲面是指，一條曲線的副法線所產生的直紋面顯然，副法線曲面具有直紋面的

2、性質，但是作為一種特殊的直紋面，它還具有一些獨特的性質例如，副法線曲面的腰曲線是該曲面的導線然后我們討論了副法線曲面的極小軌跡和常高斯曲率曲線，以及曲線的撓率中心軌跡在該曲線的副法線曲面上的特殊性質。類比一般空間曲線、曲面的研究方法,把向量、微積分的思想融入到即可曲線的副法線曲面幾何性質的研究中，對空間曲線的副法線曲面的方程進行研究。使對空間曲線的副法線曲面進一步理解和認識。 關鍵字：副法線，副法線曲面，基本三棱形，第一、二基本形式，主曲率，高斯曲率，平均曲率，漸進線。The binormal surface equation of space curve Abstract Different

3、ial geometry is an operational geometry,in which the characteristics of curves and surfaces are analyzed by using the methods of differential and integral calculusBecause differential geometry involves in other branches of mathematics and sciphysics deeply as an important branch of mathematicsit wil

4、l become a main too1 which promote these disciplinestheoretical developmentIn classical differential geometry,we study local properties of curves and surfaces in Euclidean SpaceBy local properties we mean those properties which depend only on the behavior of the curve or surface in the neighborhood

5、of a pointand find out Invariant system which forms the shape of curves and surfaces In this paper, the main research is a special kind of curve one one binormal surface. The so-called binormal surface is a ruled surface of a curve, the binormal generated. Obviously, binormal surface with ruled surf

6、ace properties, but as a special kind of ruled surface, it also has some unique properties. For example, the lumbar curve binormal surface is the guide line of the curved surface. Then we discuss the minimal locus binormal surface and constant Gauss curvature curve, and special properties of binorma

7、l surface curve of the torsion center track in the curve. Research methods like the general space curve, curved surface, the vector, calculus thought into the binormal surface geometric properties can be of the curve, binormal surface of space curve equation of. The binormal surface for the space cu

8、rve and the further understanding and understanding. Key Words：binormal surface；mean curvature；Gauss curvature；principal curvature ；principal direction；minimal locus；center locus of torsion 目 錄第1章 前 言31.1微分幾何3 1.2 本文的主要內容4第2章 副法線曲面的基本理論和性質52.1 空間曲線的副法線曲面方程5 2.2 空間曲面的副法線曲面上曲線的幾何性質6 2.11副法線曲面上的基本三棱形.6

9、 2.1.2 副法線曲面上曲線的曲率，撓率和伏雷內公式.7第3章 空間曲線的副法線曲面的幾何性質.83.1 副法線曲面的第一基本形式 曲面上曲線的弧長.83.2 副法線曲面的第二基本形式.83.3副法線曲面的法曲率.93.4 副法線曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率.10第4章 空間曲線的副法線曲面上的特殊曲線族.104.1 空間曲線的副法線曲面的漸近方程.104.2 空間曲線的副法線曲面的主方向和曲率線.11參考文獻12致謝12第1章 前 言1.1微分幾何 微分幾何學是運用數學分析的理論研究曲線或曲面在它一點鄰域的性質，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質

10、的數學分支學科 微分幾何學的產生和發展是和數學分析密切相連的在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究十八世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的<<分析在幾何學上的應用一書，這是微分幾何最早的一本著作在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素1827年，高斯發表了<<關于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現代形式曲面論的基礎微分幾何

11、發展經歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的內容，建立了曲面的內在幾何學其主要思想是強調了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區域的面積、測地線、測地曲率和主曲率等等他的理論莫定了近代形式曲面論的基礎1872年克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了埃爾朗根綱領，用變換群對已有的幾何學進行了分類在埃爾朗根綱領發表后的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學位論文，后來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學

12、派所發展，1916年起又經以富比尼為首的意大利學派所發展隨后，由于黎曼幾何的發展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學和廣義相對論中得到了廣泛的應用，逐漸在數學中成為獨具特色、應用廣泛的獨立學科12本文的主要內容 在許多微分幾何書上都介紹了曲線和曲面的性質，其中還包括一些特殊的曲線和曲面，本文主要研究的就是一種特殊的曲面副法線曲面所謂副法線曲面是指一條曲線的副法線所產生的直紋面顯然，副法線曲面具有直紋面的性質，但是作為一種特殊的直紋面，它還具有一些獨特的性質例如，副法線曲面的腰曲線是該曲面的導線，曲線，0)的副法線曲面沿它的撓率中心軌跡的平均曲率為零，其中f=2餅 Mmmheim侶線

13、作為特殊的空間曲線具有許多良好的幾何性質和代數性質本文對IVlannheim侶線的副法線曲面進行了主要研究，推導了它的兩個漸近方向，以及它沿M鋤lnheim曲線的兩個漸近方向通過運算還得到了Mamlheim侶線的副法線曲面的曲率線微分方程，并且得到了Mannheim侶線的副法線曲面沿Mannheim曲線的任一點的兩個主方向還證明了對于Mannheim侶線的副法線曲面，沿Mannheim曲線的主曲率之比為1；Mannheim曲線是Mannheim侶線的副法線曲面的極小軌跡第2章 副法線曲面的基本理論和性質2.1 空間曲線的副法線曲面的方程 這一章主要討論副法線曲面的一些基本理論和性質，定義曲線的

14、撓率中心跡，并且對曲線的撓率中心軌跡進行了深入的研究 設任意空間曲線的參數方程為：（其中為自然參數），為曲線上任意一點的副法向量；則曲線的副法線曲面方程為：（其中和為參數）。(如圖1所示) 圖12.2 空間曲線的副法線曲面上曲的幾何性質2.1.1副法線曲面上曲線的基本三棱形由曲線的副法線曲面方程為：（其中和為參數）。當為固定常數時，空間任意曲線在其副法線曲面上對應的曲線方程為：；則副法線曲面上的任意曲線（）方程為：(其中為參數，為常量)。根據空間曲線的伏雷內（Frent）公式，即，則有，故曲線（）上一點的單位切向量：； 曲線（）上一點的主法向量：；曲線（）上一點的副法向量：。 我們把兩兩正交的

15、單位向量，稱為副法線曲面上曲線上點的伏雷內（Frenet）標架。由知伏雷內標架構成右手系（如下圖2）。 圖2 圖3因為，所以切向量和主法向量所確定的平面就是曲線（）在點的密切平面；又因為和都垂直于切于切向量，所以和所確定的平面是曲線（）上點的法平面；至于和所確定的平面則稱為曲線（）上點的從切平面（如上圖3）曲線（）上一點的密切平面：，或；曲線（）上一點的法平面：，或；曲線（）上一點的從切平面：，或。單位向量，也稱為曲線（）的基本向量。由三個基本向量和密切平面，法平面，從切平面所構成的圖形為曲線（）的基本三棱形（如圖）。 對于曲線（）的一般參數表示：，有 ，。2.1.2 副法線曲面上曲線的曲率、

16、撓率和伏雷內（Frenet）公式 設副法線曲面上曲線（）的參數方程為：（其中和為參數）。根據空間曲線（）在點的曲率定義：，則空間曲線的副法線曲面上曲線（）在點的曲率： 。根據空間曲線（）在點的撓率定義：則空間曲線的副法線曲面上曲線（）在點的撓率為：空間曲線的副法線曲面上曲線（）的伏雷內（Frenet）公式：第3章 空間曲線的副法線曲面的幾何性質3.1 副法線曲面的第一基本形式 曲面上曲線的弧長設空間曲線的副法線曲面的參數方程為: （其中和為參數）；根據空間曲線的伏雷內（Frent）公式，即。有，。則第一基本量：，。故空間曲線的副法線曲面的第一基本形式為： = 。設曲線（）上兩點，；則弧長為 =

17、。3.2 副法線曲面的第二基本形式 設類副法線曲面的方程為：。即有連續的二階導函數，。有，；，。則第一基本量：，。有；，故副法線曲面的單位法向量為：。根據空間曲線的第二基本量類比有副法線曲面的第二基本量：，。 空間曲線的副法線曲面的第二基本形式為：=。3.3副法線曲面的法曲率類比空間曲面在給定點沿一方向的法曲率為： 即。3.4 副法線曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率曲面上一點處主方向上的法曲率稱為曲面在此點處的主曲率。有空間曲面的法曲率可知曲面上已知點（非臍點）的法曲率是一個隨著方向不斷變化的，而且主曲率是法曲率中的最大值和最小值。即記曲面的主曲率為和。根據空間曲面的主曲率的計算

18、公式：.即空間曲線的副法線曲面的主曲率計算公式為：解得 ,.高斯曲率 ，平均曲率 第4章 空間曲線的副法線曲面上的特殊曲線族4.1 空間曲線的副法線曲面的漸近方程類比空間曲面上漸進曲線的方程：，得空間曲線的副法線曲面上漸進線的微分方程為：，即。定理 1 如果空間曲線的副法線曲面上有直線，則它一定是此曲面的漸進曲線。 2 空間曲線的副法線曲面在漸進曲線上一點出的切平面一點是漸進曲線的密切平面。 3 空間曲線的副法線曲面的曲紋網是漸進網的充要條件是 。 4 空間曲線的副法線曲面的曲紋網是共軛網的充要條件是，即4.2 空間曲線的副法線曲面的主方向和曲率線 空間曲線的副法線曲面上一點的兩個方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在點的主方向。空間曲線的副法線曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱為曲率線。 類比空間曲面的曲率線方程可知，空間曲線的副法線曲面的曲率線方程為：，即 ，即。定理 : 空間曲線的副法線曲面上的曲紋坐標網是曲率線網的充要條件是,即。參考文獻1 梅向明，黃敬之.微分幾何(第四版).北京：高等教育出版社，2008.2 梅向明，王匯淳，微分幾何學習指導與習題選解【M，北京：高等教育出版社，2004.3吳大任微分幾何講義(第二版)【M】，北京：人民教育出版社，19