1、實用電動力學答案第一章電磁現象的普遍規律B) (A )B1.根據算符 的微分性與向量性，推導下列公式:(A B) B ( A) (B )A A ( A ( A) 1 A2 (A )A文檔2.設u是空間坐標x,y,z的函數，證明:f(u)A(u)df 一 u dudA u duA(u)dA u du證明:(2 )求 r , r , (a )r , (ar), Eosin(k r)及E0sin(k r),其中a、k及E0均為常向量。3.設 r (x x')2 (y y')2 (z z')2 為源點 x'到場點 x的距離，r的方向規定為從源點指向場點。(1)證明下列結

2、果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關系： .3r 'r r/r ；(1/r)'(1/r) r/ r ；(r/r3) 0；33(r/r )'(r/r )0, (r 0)。4.應用高斯定理證明vdVf 口sdS f ,應用斯托克斯5. 已知一個電荷系統的偶極矩定義為p(t) (x',t)x'dV'，利用電荷守恒定律J 0Vt證明p的變化率為： J(x',t)dVdt VEkes）定理證明,#dl6 .若m是常向量，證明除R 0點以外，向量A (m R)/R33的旋度等于標量 m R/ R3的梯度的負值，即A ,其中R為坐標原點到場點的

3、距離，方向由原點指向場點。8.內外半徑分別為 恒定均勻自由電流 磁化電流。口和上的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有J f,導體的磁導率為 ，求磁感應強度和7 .有一內外半徑分別為 r1和r2的空心介質球，介質的電容率為,使介質球內均勻帶靜止自由電荷f ,求：（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。9.證明均勻介質內部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度 f的（1 o/ ）倍。10.證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反（但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）11.平行板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為li和12,電容率為i和2,今在兩板接

4、上電動勢為 E的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度fi和f 2 ；（2）介質分界面上的自由電荷面密度f3。（若介質是漏電的，電導率分別為1和2當電流達到恒定時，上述兩物體的結果如何？）12.證明：(1 )當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足tan 22tan ii其中1和2分別為兩種介質的介電常數，i和2分別為界面兩側電場線與法線的夾角。I3.試用邊值關系證明： 在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況 下，導體內電場線總是平行于導體表面。(2)當兩種導電介質內流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足tan 2

5、2tan ii其中I和2分別為兩種介質的電導率。14.內外半徑分別為 a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電 為f ,板間填充電導率為的非磁性物質。(1)證明在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內部無磁場。(2)求f隨時間的衰減規律。(3)求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。(4)求長度l的一段介質總的能量耗散功率，并證明它等于這 段的靜電能減少率。(3)計算球外和球內的電勢；(4)求該帶電介質球產生的靜電場總能量第二章靜電場1 . 一個半徑為R的電介質球，極化強度為 P Kr/r2,電容率 為。(1)計算束縛電荷的體密度和面密度：(2)計算自由電荷體密度；2 .在均勻外電場

6、中置入半徑為Ro的導體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：(1)導體球上接有電池，使球與地保 持電勢差。 ;(2)導體球上帶總電荷 Q3 .均勻介質球的中心置一點電荷 Qf,球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結果與使用高斯定理 所得結果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷 Qf的電勢Qf /4 R與球面上的極化電荷所產生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。球殼上帶電Q ,求空間各點的電勢和電荷分布。6.在均勻外電場Eo中置入一帶均勻自由電荷（電容率為 ），求空間各點的電勢。f的絕緣介質球4 .均勻介質球（電容率為1）的中心置一自由電偶極子pf ,球外充滿了另一種介質（電容

7、率為2）,求空間各點的電勢和極化電荷分布。5 .空心導體球殼的內外半徑為和R2，球中心置一偶極子p8.半徑為R。的導體球外充滿均勻絕緣介質，導體球接地，離球心為a處(a > R。)置一點電荷Qf ,試用分離變量法求 空間各點電勢，證明所得結果與電象法結果相同。(R Ro)7.在一很大的電解槽中充滿電導率為2的液體，使其中流著均勻的電流Jf。今在液體中置入一個電導率為i的小球，求穩恒時電流分布和面電荷分布，討論12及21兩種情況的電流分布的特點。9.接地的空心導體球的內外半徑為R1和&，在球內離球心為a處(a< R )置一點電荷Q。用鏡像法求電勢。導體球上的感應電荷有多少？分

8、布在內表面還是外表面？11.在接地的導體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球10.上題的導體球殼不接地，而是帶總電荷Q。，或使具有確定電勢°,試求這兩種情況的電勢。 又問°與Qo是何種關系時, 兩情況的解是相等的？Q (xo, a,b的球心在導體平面上， 點電荷Q位于系統的對稱軸上， 并與平 面相距為b (b> a),試用電象法求空間電勢。a-q(x0,a,b) )1b1Q (xo, a, b)Q(xo,a, b)12 .有一點電荷Q位于兩個互相垂直的接地導體平面所圍成的直角空間內，它到兩個平面的距離為a和b , 求空間電勢。實用zA(xo, yo,zo)B(X

9、o，y0, Zo)13 .設有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內充滿電導率為熱液體。取該兩平面為 xz面和yz面在(X0, y0,Z0)和(X0, y0, Z0) 兩點分別置正負電極并通以電流I,求導電液體中的電勢。zQ( x0, y0, z0)Q( X0, y0, z0) Q(X0, y0, z0) EQ(X0, y0, z0)文才飛(X0, y°, 4)Q(X0,y0, z。)14.畫出函數d (X)/dX的圖，說明(p ) (x)是一個位實用文檔于原點的偶極子的電荷密度。0,結果15.證明：(1) (ax) (x)/a (a 0),(若 a如何？)(2) x (x) 0'

10、P(x')P(x') dS'dV ,試證明以上兩表達V 4 0rS 40r式是等同的。16. 一塊極化介質的極化矢量為P(x'),根據偶極子靜電勢的公式，極化介質所產生的靜電勢為P(X') 3r dV',另外v 40r根據極化電荷公式p 'P(X')及p n P,極化介質所產生的電勢又可表為17. 證明下述結果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側電勢和電場的 變化。(1)在面電荷兩側，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續的。(2)在面偶極層兩側，電勢有躍變 2 i n P/ 0,而電 勢的法向微商是連續的。(各帶等量正負面電荷密度士加靠的很近

11、的兩個面，形成面E小偶極層，而偶極矩密度P lim l )l 0x18. 一個半徑為Ro的球面，在球坐標 0/ 2的半球面上電勢為0在/2的半球面上電勢為0,求空間各點電勢。11提示：；Pn(X)dX x尸生,Pn(1) 1,2n 100 , (n奇數)Pn(1)n/2135 (n 1) , (n 偶數)2 4 6 n第三章靜磁場1 .試用A表示一個沿z方向的均勻恒定磁場 Bo,寫出A的兩 種不同表示式，證明二者之差為無旋場。2 .均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數為n,電流強度I,試用唯一性定理求管內外磁感應強度B °4.設x< 0半空間充滿磁導率為的均勻介質，x&

12、gt;0空間為真空,今有線電流I沿z軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。3.設有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導率為 的均勻介質，z>0區域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度B ,然后求出磁化電流分布。5.某空間區域內有軸對稱磁場。在柱坐標原點附近已知22Bz Bo C(z /2),其中Bo為常量。試求該處的B 。提示：用B 0,并驗證所得結果滿足H 0。6.兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于z L面上。每個線圈上載有同方向的電流I。(1)求軸線上的磁感應強度。(2)求在中心區域產生最接近于均勻常常時的L和a的關系。22提示：用條件 2Bz/ z207.半徑為a的無限

13、長圓柱導體上有恒定電流J均勻分布于截面上，試解矢勢 A的微分方程。設導體的磁導率為0,導體外的磁導率為。9.將一磁導率為，半徑為 R的球體，放入均勻磁場 Ho內，求總磁感應強度 B和誘導磁矩 m。（對比P49靜電場的例子。）8. 假設存在磁單極子，其磁荷為Qm,它的磁場強度為H Qmr/4 °r3。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。10 .有一個內外半徑為 R,和R的空心球，位于均勻外磁場Ho內，球的磁導率為 ，求空腔內的場 B ,討論 0時的 磁屏蔽作用。11 .設理想鐵磁體的磁化規律為B H0M 0,其中M0是恒定的與H無關的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球

14、（M 0為常值）浸入磁導率為'的無限介質中，求磁感應強度和磁化電流分布。12 .將上題的永磁球置入均勻外磁場Ho中，結果如何?13 .有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為Ro,總電荷為Q,今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉動，求球內外的磁場 B。提示：本題通過解 A或m的方程都可以解決，也可以比較 本題與§5例2的電流分布得到結果。14.電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為 Q ,半徑為Ro , 它以角速度 繞自身某一直徑轉動，求（1）它的磁矩；（2） 它的磁矩與自轉角動量之比（設質量 Mo是均勻分布的）。15.有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導率非常大的實物 的平坦界面附近

15、的真空中，求作用在小永磁體上的力F。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d 和d 的線偏振平面波，它們都沿 z軸方向傳播。(1)求合成波，證明波的振幅不是常數，而是一個波。(2)求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。2 .一平面電磁波以45。從真空入射到2的介質，電場強3 .有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為時將會發生全反射，并求折射波沿表面傳播的相速度和透入空氣的深度。設該波在空氣中的波長為0 6.28 10水的折射率為n=1.33 。證明這5cm ,度垂直于入射面，求反射系數和折射系數。5.有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，

16、另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前 /2, 求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振？6.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內部的電4.頻率為 的電磁波在各向異性介質中傳播時，若E,D,B,H仍按ei(kx "變化，但D不再與E平行(即D E不成立)。(1)證明 kB k D B D B E 0,但一般 k E 0。_2 一一2(2)證明 D k E (k E)k/ o(3)證明能流S與波矢k 一般不在同一方向上。磁波能量全部變為焦耳熱。7.已知海水的r 1,1Sm-1,試計算頻率為50, 10 6和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。8 .平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質表面上，入射角為1 o求導電介質中電磁波的相速度和衰減長度。若導電介質為金屬， 結果如何？提示：導電介質中的波矢量 k B ia, a只有Z分量。（為 什么？）10.電磁波E(x, y,z,t)E(x,y)ei(kzz t)在波導管中沿 z方向傳播，試使用 E i 0H及 H ioE證明電磁場所有分量都可用 Ex(x, y)及H z(x, y)這兩個分量表示。9 .無限長的矩形波導管，在 z=0處被一塊垂直插入的理想