1、題型1 基本不等式正用 a+b2Jab例1： (1)函數f(x) = x+(x0)值域為 x1函數f(x) = x + -(x C R)值域為 x1(2)函數f(x)=x x2 + 11 = 1,當且僅當 x=0時等號成立.+-的值域為x2+ 1解析：(1) . x 0 , x + -或 xx=2, , f(x)(x 0)值域為2 , 十0)； x11(2)x2+x7 =(x2+1)+xT7 -12(2)1 , +8)當 xCR 時，f(x)值域為(8, 2U2, +8)；解析：x+ - = x 1+ - + 12+1 = 5.當且僅當 x- 1 =4二;，即x= 3 4時等號成立.答案：5例

2、1 (1)已知x0, .,.f(x)= 2 +-+x= 2x4一十 -xx.- -+ ( x)2“=4,當且僅當一x=-,即x=-一x2時等號成立.f(x) = 2 一 +-xx0時,則f(x)=7的最大值為2x 22解析：(1),x0- -f (x) = 2 / x2+ 1-q=1,當且僅當1-I,即x=1時取等3 .函數y=(x1)的最小值是x-12+2 x-1+3x- 1解析：x1 ,，x10.，y=x- 1x-1x- 1x-143+2.當且僅當x-1 =x- 1，即x= 1時，取等號.答案：2410 .已知x0, a為大于2x的常數，求y =- x的最小值.a-2x解:y=一 + a

3、2x1_ a_2a-2x222 21 a口x=故y =-x的最小值為22題型2基本不等式反用例：函數f(x)=x(1 x)(0 x1)的值域為 (2)函數 f(x) = x(1 2x)10 x-的值域為2x+ 1 -x解析：(1) ,0 x0, x(1 -x)2 = _, .,.f(x)值域為 0,41(2) Pv x0.1 2x+1 -2xx(1 2x) = X2x(1 -2x)2 = -, .,.f(x)值域為8答案：(1) 0(2) 03.(教材習題改編)已知0v x1 ,則x(3 3x)取得最大值時x的值為解析：由 x(3-3x) = X3x(3 -3x)-x- =當且僅當3x = 3

4、-3x,即x =一時等號成立.答案:423 .函數y= x1 -x2的最大值為解析：xAy1 -x2 = Ajx21 x2x2 +1 x24 ,已知 0 x1,則x(33x)取得最大值時x的值為1A 31B23C42 D._3解析,0 x0.，x(3 3x)= 3x(1 -x)0a為大于2x的常數，求函數 y = x(a2x)的最大值;解：.x0, a2x,，y = x(a2x) = X2x(a 2x)12x+a 2xa22 =一,當且僅當8ax=一時取等號，故函數 4的最大值為a28題型三：利用基本不等式求最值t2 4t + 12 .已知t0 ,則函數y =的最小值為t解析,.t0 , .y

5、=t一土工=t+-42-4 = -2,且在t = 1時取等號.答案 2tt2x例：當x0時，則f(x)=-一的最大值為 x2+ 1解析：x0 , .f(x) = 3x- = -23)的最小值；(2)求函數f(x) =(x3)的最小值;x-3x-3a思維突破：“添項.，可通過減3再加3,利用基本不等式后可出現定值.(2) “拆項”把函數式變為y = M+M的形式.1(1) ,.x3, .-.x-30. .f(x) =+ (x-3)+ 3 2x-311- x-3 +3=5.當且僅當 = x3,即x=4時取等號，f(x)的最小值是5.(2)令 x-3 = t,則 x=t + 3,且 t0.，f(x)

6、 =1cx2 + dx + fy=(aw。， cw0)的函數,ax + b當且僅當t=；,即t = 1時取等號，此時x=4, .當x=4時，f(x)有最小值為5.技巧總結：當式子不具備“定值”條件時，常通過“添項”達到目的；形如p般可通過配湊或變量替換等價變形化為y = t + ,(p為常數)型函數，要注意t的取值范圍;例：設x 1,求函數y = x+ 6的最小值;4x+ 15=9,當且僅當x+1=-4一, x+ 1x+ 1解：.x - 1 ,，x+10.，y=x+6=x+1 +x+ 1即x=1時，取等號.，當x=1時，函數y的最小值是9.1 .若x0 , y0 ,且x+y = 18 ,貝U

7、xy的最大值是 解析 由于x0 , y0 ,則x + y 2Jxy,所以xy0 , y0且1=一+2、/上，xyW3.當且僅當一=時取等號.答案 33 4. 123 432， 時xy取得最大值3.答案：3y=26. （2013 大連期電已知x, y為正實數，且滿足 4x+3y=12,則xy的最大值為 j 4x= 3y ,解析：12 = 4x+3yW/4xX3y,，xyw3.當且僅當4x+3y=12,2 .已知 m0 , n0 ,且mn = 81 ,則 m + n的最小值為 解析：,m。，n0 ,，m + n 2ymn= 18.當且僅當 m = n = 9時，等號成立.答案：185 .已知 x0

8、, y0, lg x+lg y = 1,則 z = 一十一 的最小值為.解析：由已知條件2y =5x時取等x ylg x+lg y = 1 ,可得 *丫 = 10.則一十一行2x y號.又xy=10,即x = 2, y = 5時等號成立.答案：2 （2012 天津高考）已知log 2a+log 2b1 ,則3a+ 9b的最小值為 解析：由 log2a+log2b 1得 log 2（ab） 1,即 ab 2,，3a+9b= 3a+32b2 X32（當且僅當3a=32b,即 a = 2b時取等號）. .-a+2b2，2ab2（當且僅當a = 2b時取等號），3a +9bA2X32= 18.即當a

9、= 2b時，3a+9b有最小值18.3 .設 x, y R, a1b1，若 ax=by=3, a+b=,則 1+1 的最大值為（）1DI2x yA. 2 B.3 C. 1 2解析 由 ax= by = 3,得：x= log a3, y= log b3,由 a1 , b1 知 x0 , y0 , 一 十 一= log 3a+ log 3b = log 3ab w x ylog 3 2=1,當且僅當a=b = J3時“=”成立，則1+1的最大值為1.答案 C21x y6. （2011 湖南設x, yCR,且xy#0,則x2 + ,4y2的最小值為 111. 11解析 x2+q 1+ 4y2 =5+

10、行+4x2y25+2/行 4x2y2=9,當且僅當x2y2=;時=”成立.答案 9例：若正數x, y滿足x+3y=5xy,求xy的最小值.解：. x0, y0,則5xy = x + 3y2-Jx 3y,，xy3一,當且僅當x= 3y時取等號.，xy的最小值為 . 25254 .若正實數x, y滿足2x+y+6 = xy,則xy的最小值是 答案 18解析 由 x0 , y0,2 x+y+6 = xy,得xyR2、/2y+6(當且僅當 2x = y 時，取“=”)， 8P(Jxy)2-22/xy-60,.(635)血 0.又qxy0 , . .yA3y2,即 xy 18. xy的最小值為18.例：

11、已知x0 , y0 , x + 2y+2xy=8,則x+2y的最小值是A. 3B,4C.9D.22解析依題意，得(x+1)(2 y+1)=9,即x+ 2y2.2y + 1=6,x+ 1 = 2y+ 1 ,當且僅當x+ 2y+ 2xy= 8 ,x = 2,即時等號成立.y=1.x+2y的最小值是4.3.若 x, yC(0, 十0), x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范圍；(2)求x+y的取值范圍.解：由 x+2y + xy = 30, (2 + x)y = 30x,則 2 + xM, y = 0,0 x 30.2 + xx2 30 x.FT-x2-2x+ 32x+ 64 -64x+ 2

12、x + 32 x + 264=- x+2 +二3+34W18,當且僅當x = 6時取等號,因此xy的取值范圍是(0,18.30 -x 32(2)x+y= x+2+x-x+x+21=x+ 2+2- 3 /2-3,當且僅當VI 時，等號成立，又 x+y = x+2 + 2一一3b0,貝U a2 + -的最小值是 解析：aAb。，b(ab)w 2 = 土，24當且僅當a = 2b時等號成立.a2 +16a b1ka2a2a2二當 a = 22, b = d2時,16k取得最小值16.8.設x,v, z為正實數，滿足x-2y + 3z = 0,則匕的最小值是 xz解析：由已知條件可得 y = x-z,

13、2y2 x2+9z2+6xz所以一:xz4xz1 x 9z=- + +62 A /xC9 +6 =3, 4. z xy當且僅當x=y=3z時，- 取得最小值3. xz答案：3例：已知x0, y0, xy = x+2y,若xym2恒成立，則實數 m的最大值是解析：由 x0, y0, xy=x + 2y22xy ,得 xy 8 ,于是由 m2Wxy 恒成立，得 m - 28,即 m 7在xC(a, +8)上恒成立，則實數 a的最小值為x- a22解析：因為 xa,所以 2x+=2(x a)+ 2a2+ 2a=2a+4,即 2a+ 4汽，所以a1,即a的最小值為3答案：一25.圓 x2+y2+2x4

14、y+1 =0 關于直線 2axby+2=0 (a, b C R)對稱,ab的取值范圍是A. 8,1B. 0, 一 4C. 04D.答案解析由題可知直線2ax-by +2 = 0 過圓心(一1,2),故可得 a+b= 1a + b又因ab &21一(a=b時取等號). 4故ab的取值范圍是1OO -4典例：(121分)已知a、b均為正實數，且 a+b = 1,求y= a 十 一 a1b + b的最小值.易錯分析 在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導致最小值不能取到.審題視角 (1)求函數最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”而且還要符合已

15、知條件.(2)可以考慮利用函數的單調性，但要注意變量的取值范圍.規范解答解 方法一y=1a十 一 a=ab + + 一+- ab + 一 +2 ab a b ab4- 2 =空10 分24當且僅當 a=b = 2U, y= a + ；25了.12 分2又 f(t) = - + t 在 0,1一上是單調遞減的, 410 分1b+-取最小值，最小值為 b方法y= a+- b + ：=ab+L + a + b a b ab b a1a2+b21 a+b 2 2ab= ab + ab+ k= ab + ab2=+ ab 2.8 分ab令 t = abw a 2 = -,即 t e 0,-.24433一

16、,此時, 4a=b = 1. 21，當1=一時,f(t)min = 4當a = b=時，y有最小值 .12分溫馨提醒 (1)這類題目考生總感到比較容易下手.但是解這類題目卻又常常出錯.(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件：即一正、二定、三相等.否則求解時會出現等號成立、條件不具備而出錯.(3)本題出錯的原因前面已分析，關鍵是忽略了等號成立的條件方法與技巧1 .基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點.2 .恒等變形：為了利用基本不等式，有時

17、對給定的代數式要進行適當變形.比如：(1)當 x2 時，x + -(x-2)+-+2 2+ 2= 4. x2x- 2(2)0 x2jab3 3 ,即 ab -2/ab-3 0. iPf/ab -3)C/ab+ 1)0. Tab 0,，0b + 1 1.r/ab- 30,，ab9.當且僅當a=b = 3時取等號.又*y0或；b , .-.ab = a+ b + 30. a + b + 2 0 有 a+b 6 0 )即 a+b 6.a + b的取值范圍是6, +oo).a + 3方法二：由 ab = a + b + 3,則 b =a- 1ab = a+= a+4 +=a-1+5a-1a-1a-1當

18、且僅當a=b = 3時取等號. ab的取值范圍是9, +8).a + 3由 ab=a+b + 3,得 b =a- 1a + b = a += a + 1 += (a 1) + 2a-1a-1a-1當且僅當a=b = 3時取等號.a + b的取值范圍是6, +8).技巧總結：整體思想是分析這類題目的突破口，即a + b與ab分別是統一的整體， 把a + b轉換成ab或把ab轉換成a + b.例3：已知正數a, b滿足a +2b = 1,則1+1的最小值是 a b11 a+2b a+2b試解：a+丁丁十丁= 3 + 2b+a3+2A=3 + 2a ba b易錯點評：多次利用基本不等式解題，沒有考慮

19、等號能否同時成立。在解題過程中先后兩次用到了重要不等式，第一次等號成立的條件是“當且僅當a = 2b時”；而第二次等號成立的1 1條件是“當且僅當一=一時；這顯然不可能同時成立，因此等號取不到.a b3 .已知x0 , y0 ,且2x + y = 1 ,則2的最小值是 x y答案 8解析因為，+ 2=(2x+y) 1+2 x yx y= 4 + y+竺4+2、Q4x =8,等號當且僅當 y=, x = 1時成立. x yx y24例：已知x0, y0 ,且2x+y=1,則的最小值為 x y解析.0 , y0 ,且 2x+y=1 ,2x+ y 2x+ yx + y3 + y+絲 3+2x yy

20、2x當且僅當=一時，取等號x y9 1思維突破:“整體代換”例：已知x0, y0,且一 + -=1,求x+y的最小值.x+y=(x + y) 一 + 一 ,再化簡，用基本不等式求解. x y解析：1-1 _ + -= 1, x y.x+y=(x+y) 9+- =10 +9y+x10 +2A /9yx= 16.x y x y, x y9y x 9 1當且僅當一=一且一+-=1,即x=12, y= 4時取等號. x y x y當x=12, y=4時，x + y有最小值為16.總結：已知條件與“ 1”有關，常利用“1”進行整體代換，轉化為能使積為定值的形式.例：已知x, y為正實數，且一十=1,求x

21、+y的最小值. x y- x+y=(x+y)- + - =17+y x yy x；16xy- 17 + 2A/h =25.當且僅當 -=y且1+笆=1時，等號成立. y x x y- x= 5 , y = 20 時，x+y 有最小值 25.4. (2012 浙汀若正數x, y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(A.24B.28C. 5D. 655答案 C解析 .0 , y0 ,由 x+ 3y= 5xy 得一十 一 = 1.5 y x. 3x+4y= (3x +4y) - + - 5y x1 3x12y-% + 4 + 9 + 工13 1 3x 12y 13 13x12y55y x55

22、 M y x=5(當且僅當x=2y時取等號)，3x+4y的最小值為5.1911 . (2013 泉州模擬正數x, y滿足一 + - = 1.x y求xy的最小值;(2)求x+2y的最小值.解:(1)由 1 =一十一2x y一丁得xy36,當且僅當一=一，即x yx yy=9x=18時取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x + 2y=(x+2y) -+- =19+匕19+2 x y x y2y9x2yl= 19 + 6、/2 ,當且僅當一x yx9x一,即 9x2 y= 2y2時取等號，故x+2y的最小值為19+6/2.3 .函數y= log a(x+3) 1 (a0 ,且aw1)的圖

23、像恒過定點12大于0,則m+ ；的最小值為A,若點A在直線mx + ny+ 1 =0上，其中m , n均()A. 2B. 4C. 8D. 16答案 C解析點 A( 2, 1),所以 2m + n = 1.n = 2m,即m =4, n=2時等號所以 L+4=(2m + n) -+ - =4 + + -m8 ,當且僅當 m nm n m n成立.典例(2011 重慶高考)已知a0 , b0 , a+b = 2,則y = 一+的最小值是.a ba + b嘗試解題-a + b = 2,2 =1.1414a+babab 252a _b_2+ b + 2a92ab=一當且僅當一=一，即b=2a時，等號成

24、立2b 2a故丫 = 十一的最小值為 一.a a b29答案2易錯提醒解答本題易兩次利用基本不等式，如：2,(a+ b),.a0 , b0 , a+b = 2, .ab8 ; a b ab1思維突破：本題在考查均值定理等號何時成立的同時，也考查到形如“f(x) = x + 一”函數的單調性.x自主解答:12 .ab =,.a2+ b2.1 111 j/ 1方法一：一十=(a+b) -+- 2/ab 2A /一=4.a ba b ab1 11 1 b a b a方法二：一十=(a+b)=1 +- + -+ 1 2 + 2A _= 4.a bab a b/ a b11111(4) 1 +- 1 +

25、 - = + + 一+ 1 9.abab a b方法一 .a0 , b0 , a+ b= 1 ,1a+bb -1 + -= 1 += 2 + 一，a aa1a同理，1+=2+， bb11ba1 +_ 1 + - = 2 + - 2 + ababb a= 5 + 2 一+一 5 + 4 = 9.a b111 + J9(當且僅當a = b=時等號成立).111 1 11 + - 1+一=1 十 一十一十一. ab1 11由(5)知，一+J+二沌， a b ab111 1故 1 + - 1 + 廠=1 + + 一+ 9.aba b ab11 十一a方法a b ab11111 a+b(5) -十 一+

26、 = 一十 一+a b ab a b ab. a + b = 1 , a0 , b0 ,11a + ba+ bab.-+ =+= 2 + + -2+2=4,aba bba一+1+:8（當且僅當a = b = 一時等號成立）.a b ab2【例1】 已知x0 , y0 , z0.y z x z x y求證： 一+- -+- -+- 8.x x y y z z思維啟迪：由題意，先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質即可得證.證明. x0 , y0 , z0 ,JyzJxzJxy8=8.xyz當且僅當x=y = z時等號成立.探究提高利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是

27、從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題.變式訓壕1已知a0 , b0 , c0 ,且 a+ b+ c= 1.證明:a。, b0 , c0 ,且 a + b + c=1, 1 11 a + b+c a+b + c a+b + c b c a cab b a c a c ba+ b+ c a + b + c3 + a + a+b+b + c+c 3+ a + b + a + c+ b+c 3 + 2 +12 + 2 = 9,當且僅當a=b = c= 一時，取等號. 3題型六：基本不等式的實際應用3】某單位建造一間地面面積為12 m 2的背

28、面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m .房屋正面的造價為 400元/m 2,房屋側面的造價為150元/m 2,屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m ,且不計房屋背面的費用.當側面的長度為多少時，總造價最低？ 思維啟迪：用長度 x表示出造價，利用基本不等式求最值即可.還應注意定義域0xW5；函數取最小值時的 x是否在定義域內，若不在定義域內，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調性.解 由題意可得，造價 y = 3（2xX150 +烏X400） +5 800x= 900 x + +5 800（0900 X2Ayxx16- + 5 800 = 13

29、 000（元），當且僅當x=-,即x=4時取等號. x故當側面的長度為4米時，總造價最低.變式或練3（2011 北京某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元.若每批生產x件，則平均x倉儲時間為”且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品A. 60 件B. 80 件答案 B解析設每件產品的平均費用為()C. 100 件D.120y元，由題意得800當且僅當x800 x-20.x 8800 xy x +82x（x0）,即x=80時“=”成立，故選8B.（12分）為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為蓋長方體沉淀箱（如圖所示），

30、污水從A孔流入，經沉淀后從流出，設箱的底長為 a m,高度為bm .已知流出的水中該雜質 的質量分別與a, b的乘積成反比，現有制箱材料 60 m 2.問：當的無B孔a,B孔的面積忽略不計）?b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小解 方法一 設y為流出的水中該雜質的質量分數，(Ak則y =,其中k0為比例系數，依題意，求使 y值最小的a, b的值. ab根據題設，有 4b + 2ab + 2a=60 (a0 , b0), 解得 b = 30-a(0 a0 , b0）, 即 a+2b + ab = 30 （a0 , b0）.因為 a +2b 21/23b,所以 2 /ab + a

31、b W30 ,當且僅當a = 2b時，上式取等號.由 a0 , b0 ,解得 0 abp).已知船每小時的燃料費用(單位：元)與船在靜水中的速度 v(單位：千米/小時)的平方成正比，比例系數為k.(1)把全程燃料費用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數，并求出這個函數的定義域；(2)為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應為多少？s解(1)由題意，知船每小時的燃料費用是kv2,全程航行時間為 ，v p s于是全程燃料費用 y=kv2(p vp v pvpv- pks2、v-p 一+2p = 4ksp(當且僅當v p =,即v=2p時等號成立).Vv-pv-p當2pC(p, q,即2pwq時，ymin=4ksp,此時船的前進速度為2p p = p；sq2當2p?(p, q,即2pq時，函數y = kv2在(p , q內單調遞減，所以 ymin = ks ,此時船的前進v-pq-p速度為q - p.故為了使全程燃料費用最小，當2pwq時，船的實際前進速度應為p千米/小時；當2pq時，船的實際前進速度應為(q p)千米/小