1、第6章 無限沖激響應(IIR） 濾波器設計 6.1 濾波器的基本概念； 6.2 模擬低通濾波器設計； 6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器設計； 6.4 沖激響應不變法； 6.5 雙線性Z變換法； 6.6 數字高通、帶通及帶阻濾波器設計； 6.1 濾波器的基本概念 1. 濾波原理 2. 濾波器的分類 x(n)?s(n)?u(n)加法性噪聲 x(n)中的有用成分 s(n)和希望去除的成分 若 u(n)各自占有不同的頻帶, 通過一個線性系 u(n)有效去除. 統可將 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS) 每一種又有模擬(AF)、數字(DF)兩種濾波器. 對數字濾波器,

2、從實現方法上, 有IIR濾波器和 FIR濾波器之分, 轉移函數分別為: FIR DF: IIR DF: x(n)?s(n)u(n)x(n)?s(n)*u(n)乘法性噪聲 卷積性噪聲 信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經典的濾波方法難以去除噪聲。目標：從含有噪聲的數據記錄(又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或信號本身。 種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預 測、自適應濾波器 3. 濾波器的技術要求 低通： ：通帶允許的最大衰減； ：阻帶內應達到的最小衰減 單位 (dB) 若幅度下降到 0.707, 則幅平方下降 0.5 （半功率點）： 若幅度下降到 0.01： 高通： ：通帶允許的最大衰減

3、； ：阻帶內應達到的最小衰減 帶通： ：通帶允許的最大衰減； ： 阻帶內應達到的最小衰減 帶阻： ：通帶允許的最大衰減； ：阻帶內應達到的最小衰減 1. 給定所設計的濾波器的技術指標： LP, HP BP, BS 2. 設計出一個 H(z)，使 j?H(e )滿足給定的技術要求 沒有考慮相位 ?p,?s,?p,?s（更多） 給定數字濾波器的技術指標 ?p,?s,?p,?（更多）轉換成模擬濾波器的技術指標 s轉換成模擬低通濾波器的技術指標 ?p,?s,?p,?s設計模擬低通濾波器 G(p)得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器 H(s)得到數字低通、高通、帶通、帶阻濾波器 H(z)6.2 模擬低通

4、濾波器的設計 一、概述 上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯系了起來。注意，由于衰減指標只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯系。 我們的目的是由幅平方特性 求出 模擬濾波器的轉移函數 ，如何將二者聯 系起來 因為 所以，由 注意，由于由于衰減指標只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯系，因此，幅平方特性的表達式必須簡化。 將 G(s)按不同的原則簡化，可得到不同 形式的濾波器，即不同的 表達式： 1. 巴特沃思(Butterworth)濾波器 2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器 3. 切比雪夫II型濾波器 4. 橢圓濾波器 Un(?)2：Jacob

5、ian 函數 本課程只討論 Butterworth 和 Chebyshev-I 濾波器的設計 二、Butterworth濾波器的設計 1. 將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性 NC和 2. 求 由： 有： 二式 相比 C?22N?10?(?)/10?1C ?102?p/10?1求出 C10?1N?lg/lg?s?p/1010?1?s/10?p? 3dB，所以 對Butterworth濾波器，通常 C ?102?p/10?1?10?1?10.3N ?lg 10?s/10?1 lg?s如何由上述的幅平方特性得到 系統的轉移函數 G(p)3. 確定 G(p)s?j?p?j? ? /?pp?j?j?

6、/?p?s/?p?p/ j11G(p)G(?p)?2NN2N1?(p/j)1?(?1) p1?(?1) pN2N?0G(p)G(?p)s(p)平面半徑為 1 即 2N個極點均勻分布在 N個予 的圓上，應取左半平面的 G(p) ， N個賦予 G(?p)右半平面的 則：則： G(s)?G(p)?p反映 p?s/?p了實際頻率 4.巴特沃思濾波器幅頻響應的特點: 例：給定 如下技術指標，設計模擬低通 Butterworth濾波器 fp?5000Hz, fs?10000Hz,?p?3dB,?s?30dB,Step1. ?p?1 ,?s?2,?p?3dB,?s?30dB,Step2. Step3. St

7、ep4. C?1 ;N?lg 1030/10?1lg2?5Step5. G(s)?G(p)sp?2?500010?4(s?10?)(s?)(s?)205三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設計 切比雪夫多項式的特點： cos? ?cos? ?Cn(?)?cos( n?)?1Cn?1(?)?cos( n?1)?cos( n?)cos(?)?sin( n?)sin(?)Cn?1(?)?cos( n?1)?cos( n?)cos(?)?sin( n?)sin(?)Cn?1(?)?2 Cn(?)?Cn?1(?)Cn(?)?2 Cn?1(?)? ?Cn?2(?) 的多項式 ?的確是 的多項式 首項系 2數是

8、n?1Cn(1)?1設計步驟： 注意： ? 12. 求 ?和 n為求濾波器的階次，還要利用另外的條件： 利用另外的條件： ?s,?sNote:?s?1必須不大于1 ? 1時，切比雪夫多項式要重新定義，因此：? 采用雙曲函數： coshx?e?e /2sinhx?e?e /2x?xx?x則 1G(p)G(?p)?221?Cn(p/j)求根 1?Cn(p/j)?0cosnarcosh(?jp)? ?j122?最后導出： 切比雪夫濾波器的極點分布 最后： ?p反映了實際頻率 6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設計 給定高通、帶通或帶阻的技術指標 頻率轉換頻率轉換 低通濾波器技術指標 ? ? ?p?

9、p,?s,?p,?sq?j?得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s) 頻率轉換頻率轉換 ?p,?s,?p,?s設計模擬低 通濾波器G(p) p?qs模擬高通, 帶通, 帶阻濾波器設計流程 一、模擬高通濾波器的設計 給定高通濾波器的技術指標： ?p,?s,?p,?s先作頻率歸一化： ? ? ?p,?p?1 ,?s?1想辦法實現高通到低通的轉換： 低通幅頻低通幅頻 高通幅頻高通幅頻 或 由： 實現： 如何： ? ? ?p,?1?設計出 （LP） （HP） 歸一化高通濾波器的復變量 歸一化低通濾波器的復變量 得： 于是可得到模擬高通濾波器的轉移函數 后面帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器的轉換過程大體相同。

10、二、模擬帶通濾波器的設計 對帶通濾波器，如何實現頻率的歸一化 定義： ?BW? ?3? ?1? ? ?BW有 ： 用帶寬歸一化 然后要實現帶通濾波定義 中心頻率： 器技術指標到低通的2?2? ?1?3轉換。關鍵問題是找到 對應關系： ?1 322?由 于 所以有 s? ?1?3p?s(?3? ?1)2N階低通濾波器轉換到帶通后, 階次變為2N. 三、模擬帶阻濾波器的設計 帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器 定義： 有 ： ?BW? ?3? ?1? ? ?BW?得到： 及帶阻濾波器的轉移函數： 以上討論的是模擬低通、高通、帶通及帶阻濾波器的設計，然而這并不是我們的目的。我們的目的是設計數字濾波

11、器。首要的問題是如何將數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標，最后再實現模擬濾波器到數字濾波器的轉換。 6.4 6.4 用沖激響應不變法設計用沖激響應不變法設計 IIR DF IIR DF ?p,?s,?p,?s（更多） 給定數字濾波器的技術指標 ?p,?s,?p,?（更多）轉換成模擬濾波器的技術指標 s轉換成模擬低通濾波器的技術指標 ?p,?s,?p,?s設計模擬低通濾波器 G(p)得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器 H(s)s?z得到數字高通、帶通、帶阻濾波器 H(z)最直接到方法，將： ?p,?s,?p,?s利用： 利用上一節的方法，可設計出模擬濾波器 G(p), G(s)?H(z)

12、H(z)?G(s)1s?lnzTsH(z)將不再是 z的有理多項式，給但這樣做， 極零分析帶來困難。 數字濾波器的單位抽樣響應 令： 模擬濾波器的沖激響應 沖激響應不變法 基本轉換單元： 線性轉換關系 6.5 用雙線性Z變換法設計 IIR DF 放棄上一節的線性轉換關系，找新的關系： ? ?s?z令： 雙線性z變換 ? ?非線性關系，但是一對一的轉換 非線性關系 又稱為頻率的預變形（Freq. Warping) 。例如 ： DF:fp?100 Hz,fs?300 Hz, Fs?1000 Hz?p?0.2?,?s?0.6?,2AF:?p?tan(?p/2)?685.8?2?109(Hz)Ts2?

13、s?tan(?s/2)?2452.76?2?438(Hz)Ts設計的 AF 并不是按給定的技術指標，但再z后，保證了 DF的技術要求。 s變回 由 數字低通濾波器的設計步驟： Step1. Step2. 頻率轉換： Step3. Step4. 所以： 這樣：系數 2 Ts可以省略，因此，雙線性Z變換可定義為 ： H(z)這一組定義和前面的定義，對最后的 DF 而言，結果是一樣的，差別是中間設計的 AF， 由于缺少了頻率定標，將無法給出符合要求的幅頻響應。 例： 設計 IIR LP DF ，給定 ?p?3dB,?s?20dBDF:fp?100Hz,及 fs?300Hz, Fs?1000H可求出：

14、 AF:?p?2?109(Hz),?s?2?438(Hz)求出： 由： 0.06745?0.1349z?0.06745zH(z)?1?21?1.143z?0.4128z幅頻響應曲線見書 P284 ?1?26.6 數字高通, 帶通及帶阻濾波器的設計 給出給出 數字高通數字高通 的技術要求的技術要求 得到得到 模擬高通模擬高通 的技術要求的技術要求 得到得到 模擬低通模擬低通 的技術要求的技術要求 最后得到最后得到 數字高通轉移數字高通轉移 函數函數 得到得到 模擬高通轉移模擬高通轉移 函數函數 設計出設計出 step3數字高通濾波器設計步驟 對 帶通（BP）、帶阻（BS）數字濾波器的設計，只需改

15、變圖中 Step2 和 Step4： ?BW? ?3? ?1? ? ?BW?BW? ?3? ?1帶通? ? ?BW帶阻 例： 設計一 IIR BP DF,要求： 通帶頻率范圍： 300Hz 400Hz ; 阻帶頻率范圍：200Hz、500Hz 要求： ?p?3dB,?s?18dB, Fs?2000Hz按上述轉換辦法，可以求出： 與本章內容有關的MATLAB文件 1buttord.m 確定 LP DF、或 LP AF的階次； （1） N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs) ； 對應 數字濾波器。其中 Wp, Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在 01 之間，1對應抽樣頻

16、率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp, Ws都是標量，對帶通和帶阻，Wp, Ws是12的向量。Rp, Rs 分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。 （2）N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs,s) ： 對應模擬濾波器，式中各個變量的含意和格式（1）相同，但Wp, Ws及Wn的單位為弧度/秒，因此，它們實際上是頻率。 2buttap.m 設計模擬低通(Butt)原型濾波器。 z, p, k=buttap(N): N是欲設計的低通原 型濾波器的階次，z, p, k是設計出的極點、 零點及增益。 3lp

17、2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m, lp2bs.m 將模擬低通原型轉換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器。 B, A=lp2lp(b, a, Wo), B, A=lp2hp(b, a, Wo) （1） （2） B, A=lp2bp(b, a, Wo, Bw), B, A=lp2bs(b, a, Wo, Bw) b, a 是AF LP 的分子、分母的系數向量，B, A是轉換后的的分子、分母的系數向量；在（1）中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；在（2）中，Wo是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，Bw是其帶寬。 4bilinear.m ：雙線性變換，由模擬濾波器 得到數字濾波器。 Bz,

18、Az=bilinear(B, A, Fs) 式中B, A分別是G（s）的分子、分母多項式 的系數向量，Bz, Az分別是H(z)的分子、分 母多項式的系數向量，Fs是抽樣頻率。 5butter.m 本文件可用來直接設計Butterworth數字濾波器，實際上它把 Buttord buttap、 lP2lp Bilinear 等文件都包含了進去，從而使設計過程更簡捷。 （1） B,A=butter(N,Wn); （2） B,A=butter(N,Wn,high); （3） B,A=butter(N,Wn,stop); （4）B,A=butter(N,Wn,s) 。 格式（1）（3）用來設計數字濾波器，B，A分別是H（z）的分子、分母多項式的系數向量，Wn是通帶截止頻率，范圍在01之間。若Wn是標量，（1）用來設計低通數字濾波器，若Wn是12的向量，則（1）用來設計數字帶通濾波器；（2）用來設計數字高通濾波器；（3）用來設計數字帶阻濾波器，顯然，這時的Wn是12的向量；格式（4）用來設計