1、高二數學高二數學拋物線的幾何性質拋物線的幾何性質人教版（文）人教版（文）【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容：拋物線的幾何性質二. 重點、難點：1. 重點： 拋物線的性質，焦半徑，焦點弦的應用，數形結合。2. 難點：注意拋物線與橢圓、雙曲線的聯系。【典型例題典型例題】例 1 給定拋物線x2y2，設 A（0 , a） （0a ） ，P 是拋物線上的一點，且dPA ，試求d的最小值。解：解：設P（00y,x） （0 x0） 則020 x2y PAd 2020y)ax(1a2)a1 (xx2)ax(20020 0a ，0 x0（1）當1a0時，0a1，此時當0 x0時，a1a2)a1 (d2最

2、小（2）當1a 時，0a1，此時當10 ax時，1a2d最小例 2 過拋物線)0p(px2y2的焦點作傾斜角為的直線l，設l交拋物線于 A、B 兩點，求AB。解：解：當 90時，直線 AB 的方程為2px 由222pxpxy得 A（pp,2） 、B（2p，p） pAB2當 90時，直線 AB 的方程為tan)2(pxy由pxypxy2tan)2(2得0tan4)tan2(tan22222pxppx設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，則2221tantan2ppxx 22221sin2tantan222pppppxpxAB例 3 過拋物線xy42的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于

3、 M、N 兩點，問直線的傾斜角多大時，以線段 MN 為直徑的圓經過拋物線的焦點？解：解：拋物線xy42的準線與對稱軸的交點為（0 , 1） ，設直線 MN 的方程為) 1( xky由xyxky4) 1(2 得0)2(22222kxkxk 直線與拋物線交于 M、N 兩點 04)2(4422kk即222 kk，12k，11k設 M（1x，1y） ，N（22, yx） ，拋物線焦點為 F（1，0） 以線段 MN 為直徑的圓經過拋物線的焦點 MFNF 1112211xyxy 即01)(212121xxxxyy又 2221)2(2kkxx，121xx，1616212221xxyy且1y、2y同號 6)2

4、(222kk 解得212k 22k即直線的傾斜角為22arctan或22arctan時，以線段 MN 為直徑的圓經過拋物線的焦點。例 4 過拋物線)0(22ppxy的焦點 F 的直線與拋物線交于 A、B 兩點，求BFAF11的值。解：解：如圖所示，設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，AB 的方程為2pkyx由222pkyxpxy得0222ppkyy 221pyy又 1212pxy ，2222pxy 21222214xxpyy 21244xxpp 4221pxx 又 21211121pxpxBFAF4)(244)(2)2)(2(22122122121212121pxxpppxxpxx

5、pxxpxxpxpxpxxpxxpppxx2)(22121例 5 如圖，已知直線l：42 xy交拋物線xy42于 A、B 兩點，試在拋物線 AOB 這段曲線上求一點 P，使APB的面積最大，并求這個最大面積。解：解：由xyxy4422解得 A（4，4） 、B（1，2） ，知53AB，所以直線 AB 的方程為042 yx設 P（00, yx）為拋物線 AOB 這條曲線上一點，d為 P 點到直線 AB 的距離9) 1(5215422000yyxd 420y 09) 1(20y 9) 1(52120yd從而當10y時，529maxd因此，當點 P 坐標為) 1 ,41(時，4275295321)(m

6、axAPBS例 6 已知直線)3( xky與曲線1)2(2xy在第一象限有公共點，求k的取值范圍。解：解：如圖，易知拋物線與y軸交于 A（0，1） 、B（0，3）直線)3( xky恒過 C（0 , 3） ，由圖象及拋物線的延伸趨勢可知當k大于零且小于 BC 的斜率BCk時滿足題意而1BCk，故10 k。例 7 設拋物線)0(22ppxy的焦點為 F，經過點 F 的直徑交拋物線于 A、B 兩點，點C 在拋物線的準線上，且 BC/x軸，證明：直線 AC 經過原點 O。證法一：證法一：因為拋物線)0(22ppxy的焦點坐標為 F（0 ,2p）所以經過點 F 的直線 AB 的方程為2pmyx代入拋物線

7、方程得222ppmyy0設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，則221pyy BC/x軸，且點 C 在準線2px上 點 C 的坐標為),2(2yp故直線 OC 的斜率為1111112222xyxypxyppyk即k也是 OA 的斜率，所以直線 AC 經過原點 O證法二：證法二：如圖所示，設x軸與拋物線準線l的交點為 E，過點 A 作 ADl，D 為垂足則BCEFAD/。連結 AC，與 EF 相交于 N，則DAENBABFCACNABAFBCNF，根據拋物線的幾何性質，得ADAF ，BCBF NFABBCAFABBFADEN 點 N 是線段 EF 的中點，與拋物線的頂點 O 重合 直線

8、 AC 經過點 O證法三：證法三：設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，由已知 C 得),2(2yp直線 AC 的方程為)2(21212pxpxyyyy，把原點的坐標代入，得21212pxyyy2p 利用221pyy得上面等式恒成立 直線 AC 經過點 O證法四：證法四：設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，由已知得 C（2,2yp） ，),(11yxOA ),2(2ypOC 0)(2)(222)2(212111221121pppyppyyyypypyypyx又 O 是公共點 A、O、C 共線，即 AC 過點 O例 8 如果拋物線12 axy上總有關于直線0 yx對稱的相異

9、兩點，試求a的范圍。方法一：方法一：設拋物線12 axy上關于0 yx對稱的相異兩點坐標為 A（00, yx） 、B（00, xy ） 兩點都在拋物線上 )2( 1) 1 ( 1200200ayxaxy（1）（2） ，得)(202000yxaxy 000 yx aayx100（3）（3）代入（2） ，得010202aayya Ry 0，且),(),(0000 xyyx相異 0)1 (422aaa 43a a的取值范圍是（,43）方法二：方法二：設拋物線上關于直線0 yx對稱的兩點所在直線方程為bxy，代入12 axy，得012bxax Rx，且兩點為相異兩點 0) 1(41ba即0144 aa

10、b （1） 設兩對稱點為 A（11, yx） 、B（22, yx）則axx121，bayy2121 又 0222121yyxx 02121baa，即ab1 （2）（2）代入（1） ，得43a a的取值范圍是（,43）【模擬試題模擬試題】 （答題時間：60 分鐘）一. 選擇題：1. 等腰直角三角形 AOB 內接于拋物線)0(22ppxy，O 為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是（ ） A. 28p B. 24p C. 22p D. 2p2. 已知點（yx,）在拋物線xy42上，則32122yxz的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 03. 已知 A、B 是拋物線)0(22p

11、pxy上兩點，O 為坐標原點，若OBOA 且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點 F，則直線 AB 的方程是（ ） A. px B. px3 C. px23 D. px254. 已知點 A（1 , 2） ，xy42的焦點是 F，P 是xy42上的點，為使PFPA 取得最小值，P 點的坐標是（ ） A. ) 1 ,41( B. )22 , 2( C. ) 1,41( D. )22, 2(5. 拋物線pxy22與直線04 yax的一個交點是（1，2） ，則拋物線的焦點到直線的距離為（ ） A. 323 B. 552 C. 5107 D. 2176. 拋物線xy82的焦點 F，點 P 在拋物線上，若5PF

12、，則 P 點的坐標為（ ） A. )62 , 3( B. )62, 3( C. )62 , 3(或)62, 3( D. )62, 3(7. 過拋物線xy42的焦點作直線交拋物線于 A（11, yx） 、B（22, yx）兩點，如果621 xx，那么AB（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 48. 過拋物線2axy （0a）的焦點 F 作一直線交拋物線于 P、Q 兩點，若線段 PF 與FQ 的長分別是p、q，則qp11的值為（ ）A. a2 B. a21 C. a4 D. a4二. 填空：1. 過拋物線xy82的焦點，傾斜角為45的直線被拋物線截得的弦長為 。2. 拋物線xy42的焦點為

13、 F，準線l交x軸于點 R，過拋物線上一點 P（4，4）作PQl于點 Q，則梯形 PQRF 的面積是 。3. 線段 AB 是拋物線xy 2的一條焦點弦，且4AB，則線段 AB 的中點 C 到直線021x的距離是 。4. 拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，拋物線上點 A（3,a）到焦點的距離為 5，則拋物線方程為 。三. 解答題：1. 已知拋物線px2y2上有三點 A（11y,x） 、B（22y,x） 、C（33y,x）且321xxx，若線段 AB、BC 在x軸上射影之長相等，求證：A、B、C 三點到焦點的距離順次成等差數列。2. 過拋物線x6y2的頂點作互相垂直的兩條直線，交拋物線于 A、B

14、兩點，求線段 AB中點的軌跡方程3. 設拋物線)0p(px2y2的焦點為 F，經過點 F 的直線交拋物線于 A、B 兩點，點 C在拋物線的準線上，且 BCx軸。證明：直線 AC 經過原點 O【試題答案試題答案】一.1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C二. 1. 16 2. 14 3. 49 4. x2y2或x18y2或y8x2三.1. 證明：根據題意，得2312xxxx，即1x、2x、3x成等差數列又由拋物線的定義得2pxAF1，2pxBF2，2pxCF3 px2)2p2p(x2BF222BF2px2pxxBFAF231 AF、BF、CF成等差數列2. 解：設線段 AB 的中點為 P（y, x） ，OA 的斜率為k，則直線OA的方程為kxy 由x6ykxy2得0y0 x或k6yk6x2依題意得 A 點的坐標為 A（2k6，k6） OAOB OB 的斜率為k1，直線 OB 的方程為xk1y由x6yxk1y2得0y0 x或k6yk6x2 B 點的坐標為)k6,k6(2線段 AB 的中點 P（y, x）滿足)k6k6(21y)k6k6(21x22即)2)(kk1