1、高中新課標數學基礎知識匯整合第一部分 集合1理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？ ；2數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想方法解決；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3（1）含n個元素的集合的子集數為2n,真子集數為2n1；非空真子集的數為2n-2；（2） 注意：討論的時候不要遺忘了的情況；（3）。第二部分 函數與導數1映射：注意 第一個集合中的元素必須有象；一對一，或多對一。2函數值域的求法：分析法 ；配方

2、法 ；判別式法 ；利用函數單調性 ；換元法 ；利用均值不等式 ； 利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；利用函數有界性（、等）；導數法3復合函數的有關問題（1）復合函數定義域求法： 若f(x)的定義域為a，b,則復合函數fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定義域為a,b,求 f(x)的定義域，相當于xa,b時，求g(x)的值域。（2）復合函數單調性的判定：首先將原函數分解為基本函數：內函數與外函數；分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性。注意：外函數的定義域是內函數的值域。4分段函數：值域（最值

3、）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。5函數的奇偶性函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；是奇函數；是偶函數 ；奇函數在原點有定義，則；在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；（6）若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；6函數的單調性單調性的定義：在區間上是增（減）函數當時；單調性的判定定義法：注意：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；導數法（見導數部分）；復合函數法（見2 （2）；圖像法。注：證明單調性主要用定義法和導數法。7函數的周期性(1)周期性的定義：對定義域內的任意，若有 （其中為非零常數

4、），則稱函數為周期函數，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數的周期 ； ； ；函數周期的判定：定義法（試值） 圖像法 公式法（利用（2）中結論）與周期有關的結論：或 的周期為；的圖象關于點中心對稱周期2；的圖象關于直線軸對稱周期為2；的圖象關于點中心對稱，直線軸對稱周期4；8基本初等函數的圖像與性質冪函數： （ ；指數函數：；對數函數:；正弦函數:；余弦函數： ；（6）正切函數：；一元二次函數：；其它常用函數：正比例函數：；反比例函數：；特別的，函數；9二次函數：解析式：一般式：；頂點式：，為頂點；零點式： 。二次函數

5、問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與坐標軸交點；判別式；兩根符號。二次函數問題解決方法：數形結合；分類討論。10函數圖象圖象作法 ：描點法（注意三角函數的五點作圖）圖象變換法導數法圖象變換： 平移變換：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸縮變換：， （縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍；， （橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的倍； 對稱變換：； ； ； 翻轉變換：右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；上不動，下向上翻（|在下面無圖象）；11函數圖象（曲線）對稱性的證明(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明函數與圖象的對稱

6、性，即證明圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；注：曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2ax, y)=0;曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(或y=x+a)的對稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)圖像關于直線x=對稱；特別地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；函數y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關于直線x=對稱；12函數

7、零點的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.13導數 導數定義：f(x)在點x0處的導數記作；常見函數的導數公式: ； 。導數的四則運算法則：（理科）復合函數的導數：導數的應用：利用導數求切線：注意：所給點是切點嗎？所求的是“在”還是“過”該點的切線？利用導數判斷函數單調性： 是增函數； 為減函數； 為常數； 利用導數求極值：求導數；求方程的根；列表得極值。利用導數最大值與最小值：求的極值；求區間端點值（如果有）；得最值。14（理科）定積分 定積分的定義：定積分的性質： （常數）； （其中。微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：定積分的應用：求曲邊梯形的面積：； 求變速直線運動的路程：；求變力

8、做功：。第三部分 三角函數、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧長公式：；扇形面積公式：。2三角函數定義：角中邊上任意一點為，設則：3三角函數符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”；5對稱軸：；對稱中心：； 對稱軸：；對稱中心：； 6同角三角函數的基本關系：；7兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。9正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個；注：等三個。10。幾個公式:三角形面積公式：；內切圓半徑r=；外接圓直徑2R=11已知時三角形解的個數的判定： AbaCh其中h=bsinA

9、,A為銳角時：a<h時，無解；a=h時，一解（直角）；h<a<b時，兩解（一銳角，一鈍角）；ab時，一解（一銳角）。A為直角或鈍角時：ab時，無解；a>b時，一解（銳角）。第四部分 立體幾何1三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。2表（側）面積與體積公式：柱體：表面積：S=S側+2S底；側面積：S側=；體積：V=S底h 錐體：表面積：S=S側+S底；側面積：S側=；體積：V=S底h：臺體：表面積：S=S側+S上底S下底；側面積：S側=；體積：V=（S+）h；球體：表面積：S=；體積：V= 。3位置關系的證明（主要方法）：直線與直線平行：公理4；線面平行的性質定理

10、；面面平行的性質定理。直線與平面平行：線面平行的判定定理；面面平行線面平行。平面與平面平行：面面平行的判定定理及推論；垂直于同一直線的兩平面平行。直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理；面面垂直的性質定理。平面與平面垂直：定義-兩平面所成二面角為直角；面面垂直的判定定理。注：理科還可用向量法。4.求角：（步驟：。找或作角；。求角）異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構造三角形；補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發現兩條異面直線間的關系。注：理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。直線與平面所成的角：直接法（利用線面角定義）；先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得s

11、in。注：理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。二面角的求法：定義法：在二面角的棱上取一點（特殊點），作出平面角，再求解；三垂線法：由一個半面內一點作（或找）到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大小； 注：對于沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然后再選用上述方法；理科還可用向量法，轉化為兩個班平面法向量的夾角。5.求距離：（步驟：。找或作垂線段；。求距離）兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算；點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；點到平面的距離：垂面法：借助面面垂直的性質作

12、垂線段（確定已知面的垂面是關鍵），再求解；等體積法；理科還可用向量法：。球面距離：（步驟）（）求線段AB的長；（）求球心角AOB的弧度數；()求劣弧AB的長。6結論：從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A立平斜公式(最小角定理公式)：正棱錐的各側面與底面所成的角相等記為，則S側cos=S底；長方體的性質長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+

13、sin2=1 。正四面體的性質：設棱長為，則正四面體的： 高：；對棱間距離：；相鄰兩面所成角余弦值：；內切球半徑：；外接球半徑：；第五部分 直線與圓1直線方程點斜式： ；斜截式： ；截距式： ；兩點式： ；一般式：，（A，B不全為0）。（直線的方向向量：（，法向量（2求解線性規劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數；（3）確定目標函數的最優解。3兩條直線的位置關系：直線方程 平行的充要條件 垂直的充要條件 備注 有斜率 且 不可寫成 （驗證） 分式4直線系直線方程 平行直線系 垂直直線系 相交直線系 5幾個公式設A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC

14、的重心G：（）；點P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；6圓的方程：標準方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C0且B=0且D2+E24AF>0；7圓的方程的求法：待定系數法；幾何法；圓系法。8圓系：； 注：當時表示兩圓交線。 。9點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）點與圓的位置關系：（表示點到圓心的距離）點在圓上；點在圓內；點在圓外。直線與圓的位置關系：（表示圓心到直線的距離）相切；相交；相離。圓與圓的位置關系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交

15、；內切；內含。10與圓有關的結論：過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圓錐曲線1定義：橢圓：；雙曲線：；拋物線：略2結論 焦半徑：橢圓：（e為離心率）； （左“+”右“-”）；拋物線：弦長公式：；注：（）焦點弦長：橢圓：；拋物線：x1+x2+p=；（）通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：2p。過兩點的橢圓、雙曲線標

16、準方程可設為： （同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線）；橢圓中的結論：內接矩形最大面積 ：2ab；P，Q為橢圓上任意兩點，且OP0Q，則 ；橢圓焦點三角形：<>，（）；<>點 是內心，交于點，則 ；當點與橢圓短軸頂點重合時最大； 雙曲線中的結論：雙曲線（a>0,b>0）的漸近線：； 共漸進線的雙曲線標準方程為為參數，0）；雙曲線焦點三角形：<>，（）；<>P是雙曲線=1(a0，b0)的左（右）支上一點，F1、F2分別為左、右焦點，則PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為；雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；（6）拋物線中的結論：拋物線

17、y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質：<> x1x2=；y1y2=p2；<> ；<>以AB為直徑的圓與準線相切；<>以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；<>。 拋物線y2=2px(p>0)內結直角三角形OAB的性質：<> ； <>恒過定點；<>中點軌跡方程：；<>，則軌跡方程為：；<> 。拋物線y2=2px(p>0)，對稱軸上一定點，則：<>當時，頂點到點A距離最小，最小值為；<>當時，拋物線上有關于軸對稱的兩點到點A距離最小，最小

18、值為。3直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。注意以下問題：聯立的關于“”還是關于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時考慮了嗎？判別式驗證了嗎？設而不求（代點相減法）：-處理弦中點問題步驟如下：設點A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解決問題。4求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關點法或轉移法）；待定系數法；（5）參數法；（6）交軌法。第七部分 平面向量設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0； ab(a、b0)a·b=

19、0x1x2+y1y2=0 .a·b=|a|b|cos<a,b>=x2+y1y2； 注：|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。cos<a,b>=；三點共線的充要條件P，A，B三點共線；附：（理科）P，A，B，C四點共面。 第八部分 數列1定義：等差數列 ；等比數列 ；2等差、等比數列性質 等差數列 等比數列通項公式 前n項和 性質 an=am+ (nm)d, an=a

20、mqn-m; m+n=p+q時am+an=ap+aq m+n=p+q時aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,等差數列特有性質：項數為2n時：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ；項數為2n-1時：S2n-1=(2n-1)； ；若；若；若。S1 (n=1)SnSn-1 (n2)3數列通項的求法：an=分析法；定義法（利用AP,GP的定義）；公式法：累加法（；疊乘法（型）；構造法（型）；（6）迭代法；間接法（例如：）；作商法（型）；待定系數法；（理科）數學歸納法。注：當遇到時，要分奇數項偶數項討論，結果是分段形式。4前項和的求法：拆、并、裂項法；倒序相加法；錯位相減

21、法。5等差數列前n項和最值的求法： ；利用二次函數的圖象與性質。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；變形，。2絕對值不等式：3不等式的性質：；（6）。4不等式等證明（主要）方法：比較法：作差或作比；綜合法；分析法。 第十部分 復數1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虛數b0(a,bR)；z=a+bi是純虛數a=0且b0(a,bR)z0（z0）z2<0；a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2復數的代數形式及其運算：設z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，則：（1） z 1± z

22、2 = (a + b) ± (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)·(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i；z1÷z2 = (z20) ;3幾個重要的結論：；性質：T=4；（6） 以3為周期，且；=0；（7）。4運算律：（1）5共軛的性質： ； ； ； 。6模的性質：；第十一部分 概率1事件的關系：事件B包含事件A：事件A發生，事件B一定發生，記作；事件A與事件B相等：若，則事件A與B相等，記作A=B；并（和）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生或B發生，記作（或）；并（積）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生且B發生，記作（或） ；事件A與事件

23、B互斥：若為不可能事件（），則事件A與互斥；6對立事件：為不可能事件，為必然事件，則A與B互為對立事件。2概率公式：互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；古典概型：；幾何概型： ；第十二部分 統計與統計案例1抽樣方法簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。注：每個個體被抽到的概率為；常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數法。系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系

24、統抽樣。注：步驟：編號；分段；在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號；按預先制定的規則抽取樣本。分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數2總體特征數的估計：樣本平均數；樣本方差 ；樣本標準差= ；3相關系數（判定兩個變量線性相關性）：注：>0時，變量正相關； <0時，變量負相關； 越接近于1，兩個變量的線性相關性越強； 接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。4回歸分析中回歸效果的判定：總偏差平方和：殘差：；殘

25、差平方和： ；回歸平方和：；相關指數 。注：得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；越接近于1，則回歸效果越好。5獨立性檢驗（分類變量關系）：隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。 第十三部分 算法初步1程序框圖：圖形符號： 終端框（起止況）； 輸入、輸出框； 連接點。 處理框（執行框）； 判斷框； 流程線 ；程序框圖分類:順序結構： 條件結構： 循環結構： r=0? 否 求n除以i的余數 輸入n 是 n不是質素 n是質數 i=i+1 i=2 in或r=0?否 是注：循環結構分為：當型（while型）先判斷條件，再執行循環體；直到型（until型）先執行一次循環體，再

26、判斷條件。2基本算法語句：輸入語句： INPUT “提示內容”；變量 ；輸出語句：PRINT “提示內容”；表達式 賦值語句： 變量=表達式條件語句： IF 條件 THEN IF 條件 THEN 語句體 語句體1 END IF ELSE 語句體2 END IF循環語句：當型： 直到型: WHILE 條件 DO 循環體 循環體 WEND LOOP UNTIL 條件3算法案例：輾轉相除法與更相減損法-求兩個正整數的最大公約數；秦九韶算法-求多項式的值；進位制-各進制數之間的互化。 第十四部分 常用邏輯用語與推理證明1 四種命題：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q

27、則p注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。2充要條件的判斷：（1）定義法-正、反方向推理；（2）利用集合間的包含關系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；3邏輯連接詞：且(and) ：命題形式 pq； p q pq pq p或（or）：命題形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命題形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全稱量詞與存在量詞全稱量詞-“所有的”、“任意一個”等，用表示； 全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。存在量詞-“存在一個”、“至少有一個”等，用表示； 特稱命題p：； 特稱命題p的否定

28、p：；第十五部分 推理與證明1推理：合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。演繹推理：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。注：演繹

29、推理是由一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般結論；小前提-所研究的特殊情況；結 論-根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。二證明直接證明綜合法一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。分析法一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。2間接證明-反證法一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。附：數