1、分類計數原理和分類計數原理和分步計數原理分步計數原理(1) 一、問題引入：一、問題引入： 問題問題1 1 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有汽車，一天中，火車有3 3班，汽車有班，汽車有2 2班，那么班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？多少種不同的走法？ 因為一天中乘火車有因為一天中乘火車有 3 3種走法，種走法，乘汽車有乘汽車有2 2種走法，每一種走法都種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有可以從甲地到乙地，所以共有 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5 種不

2、同的走法種不同的走法. . 甲甲 火車3 火車2 火車1 乙乙 汽車1 汽車2 問題問題2 2 一個書架共有三層，第一個書架共有三層，第1層放有層放有4本本不同的計算機書，第不同的計算機書，第2層放有層放有3本不同的文本不同的文藝書，第藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書本不同的體育書. 從書從書架上任取架上任取1本書本書，有多少種不同的取法？，有多少種不同的取法？ 分析分析: 分三類：分三類： 第一類：從第第一類：從第1層取，有層取，有4種方法種方法; 第二類：從第第二類：從第2層取，有層取，有3種方法種方法; 第三類：從第第三類：從第3層取，有層取，有2種方法種方法. 所以從書架上任取所

3、以從書架上任取1本書共有本書共有4+3+ 2 =9 種不同的取法種不同的取法. 一般地，有如下原理：一般地，有如下原理： 分類計數原理分類計數原理 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有 m1種不同方法，在第種不同方法，在第2類辦法中類辦法中m有有m 種不同方法，種不同方法，在第在第n類辦法中有類辦法中有 2n種種不同方法，那么完成這件事共有不同方法，那么完成這件事共有 N?m1?m2? ?mn種不同的方法種不同的方法. 問題問題3 3 從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地選乘汽車到乙地，一天中，地，再于次

4、日從丙地選乘汽車到乙地，一天中，火車有火車有3 3班，汽車有班，汽車有2 2班，那么兩天中，從甲地班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？到乙地共有多少種不同的走法？ 甲甲 火車2 火車1 汽車1 丙丙 火車3 汽車2 乙乙 具體走法：具體走法： 從甲地乘火車從甲地乘火車1到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車1到乙地；到乙地； 從甲地乘火車從甲地乘火車2到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車1到乙地；到乙地； 從甲地乘火車從甲地乘火車3到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車1到乙地；到乙地； 從甲地乘火車從甲地乘火車1到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車2到乙地；到乙地；

5、 從甲地乘火車從甲地乘火車2到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車2到乙地；到乙地； 從甲地乘火車從甲地乘火車3到丙地再于次日乘汽車到丙地再于次日乘汽車2到乙地到乙地 . 問題問題4 4 一個書架共有三層，第一個書架共有三層，第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放有層放有3本不同本不同的文藝書，第的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書本不同的體育書.從書架的第從書架的第1、2、3層各取層各取1本書本書，有多，有多少種不同的取法？少種不同的取法？ 分析：分三步：分析：分三步： 第一步：從第第一步：從第1層取，有層取，有4種方法；種方法； 第二步：從第第二步：從第2

6、層取，有層取，有3種方法；種方法； 第三步：從第第三步：從第3層取，有層取，有2種方法。種方法。 所以從書架的第所以從書架的第1、2、3層各取層各取1本本書，共有書，共有43 2 =24 種不同的取法種不同的取法 一般地，有如下原理：一般地，有如下原理： 分步計數原理分步計數原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n個步驟，個步驟，做第做第1步有步有 m1種不同方法，做第種不同方法，做第2步有步有m2種不同種不同mn種不同方法，那么完種不同方法，那么完方法，方法，做第做第n步有步有 成這件事共有成這件事共有 N?m1?m2? ?mn種不同的方法種不同的方法. 二、知識新授：二、知識新授： 分

7、類計數原理分類計數原理 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法，在第類辦法，在第1類類辦法中有辦法中有 m1種不同方法，在第種不同方法，在第2類辦法中有類辦法中有 m2種不同種不同方法，方法，在第在第n類辦法中有類辦法中有 mn種不同方法，那么完種不同方法，那么完成這件事共有：成這件事共有： N?m1?m2? ?mn種不同的種不同的方法方法. 對于分類計數原理，我們應注意以下幾點：對于分類計數原理，我們應注意以下幾點： （1 1）從分類計數原理中可以看出，各類之間相互獨立，都能）從分類計數原理中可以看出，各類之間相互獨立，都能完成這件事，且各類方法數相加，所以分類計數原理又稱加法原完成這件事，且

8、各類方法數相加，所以分類計數原理又稱加法原理；理； （2 2）分類時，首先要根據問題的特點確定一個分類的標準，）分類時，首先要根據問題的特點確定一個分類的標準，然后在確定的分類標準下進行分類；然后在確定的分類標準下進行分類； （3 3）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法于不同兩類的兩種方法都是不同的方法. . 分步計數原理分步計數原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n個步驟，做第個步驟，做第m1種不同方法，做第種不同方法，做第2步有步有 1步有步有 m2種不同方法，種不同方法，做第做第n步有

9、步有 mn種不同方法，那么完成這件事共有種不同方法，那么完成這件事共有 N?m1?m2? ?mn種不同的方法種不同的方法. 對于分步計數原理，我們也應注意以下幾點：對于分步計數原理，我們也應注意以下幾點： （1 1）分步計數原理與）分步計數原理與“分步分步”有關，各個步驟相互依存，有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟完成了，這件事才算完成，且各步驟方法數相乘只有各個步驟完成了，這件事才算完成，且各步驟方法數相乘，所以分步計數原理又稱乘法原理；，所以分步計數原理又稱乘法原理； （2 2）分步時首先要根據問題的特點確定一個分步的標準；）分步時首先要根據問題的特點確定一個分步的標準； （3 3）分步

10、時還要注意滿足完成一件事必須并且只需連續完）分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只需連續完成成n n個步驟后這件事才算完成個步驟后這件事才算完成. . 分類計數原理與分步計數原理有什么不同？分類計數原理與分步計數原理有什么不同？ 相同點：相同點：分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數的問題一件事的不同方法的種數的問題 . . 不同點：不同點：分類計數原理與分類計數原理與“分類分類”有關，各種方法相有關，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事，用加互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事，用加法計算；分步計數原理與法計算

11、；分步計數原理與“分步分步”有關，各個步驟相互有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，用乘依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，用乘法計算法計算. . 點評點評: : 我們可以把加法原理看成我們可以把加法原理看成“并聯電路并聯電路” ; ;乘法乘法原理看成原理看成“串聯電路串聯電路” . . 如圖如圖: : m1 A m2 mn B A m1 m2 . mn B 三、例題講解：三、例題講解： 例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放有層放有3本不同的本不同的文藝書，第文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書本不同的體育書

12、. 從書架上任取從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？ 從書架的第從書架的第1、2、3層各取層各取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？ 解：解： 從從書架上任取從從書架上任取1本書，有本書，有3類辦法：第類辦法：第1類辦法是從第類辦法是從第1層取層取1本計算機書，有本計算機書，有4種方法；第種方法；第2類辦法是從第類辦法是從第2層取層取1本文藝本文藝書，有書，有3種方法；第種方法；第3類辦法是從第類辦法是從第3層取層取1本體育書，有本體育書，有2種方法種方法 .根據分類計數原理，不同的取法種數是根據分類計數原理，不同的取法種數是 N?m1?m2?m

13、3?4?3?2?9 (種) 從書架的第從書架的第1、2、3層各取層各取1本書，可以分本書，可以分3個步驟：第個步驟：第1步從步從第第1層取層取1本計算機書，有本計算機書，有4種方法；第種方法；第2步從第步從第2層取層取1本文藝書，本文藝書，有有3種方法；第種方法；第3步從第步從第3層取層取1本體育書，有本體育書，有2種方法種方法 .根據分步計根據分步計數原理，不同的取法種數是數原理，不同的取法種數是 N?m1?m2?m3?4?3?2?24 (種)點評：點評：要正確分類，合理分步要正確分類，合理分步分類用加法，分類用加法，分步用乘法分步用乘法 例例2 一種號碼鎖有一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號

14、盤上有個撥號盤，每個撥號盤上有從從0到到9共共10個數字，這個數字，這4個撥號盤可以組成多少個撥號盤可以組成多少個四位數字的號碼？個四位數字的號碼？ 解：完成撥號需分解：完成撥號需分4個步驟：第一步從第個步驟：第一步從第1個撥號個撥號盤上撥一個數，共有盤上撥一個數，共有10種撥法；第二步從第種撥法；第二步從第2個撥號個撥號盤上撥一個數，共有盤上撥一個數，共有10種撥法；第三、第四步同第一、種撥法；第三、第四步同第一、第二步也各有第二步也各有10種撥法，由分步計數原理可知共有種撥法，由分步計數原理可知共有 N?m1?m2?m3?m4?10?10?10?10?10000(種)撥號方法撥號方法. 思

15、考： 如果一個密碼鎖有如果一個密碼鎖有5個、個、8個、個、10個撥號盤，個撥號盤，可分別組成多少個密碼數字？可分別組成多少個密碼數字？ 例3、如圖如圖, ,該電路該電路, ,從從A A到到B B共有多少共有多少條不同的線條不同的線路可通電？路可通電？ A B 解解: : 從總體上看由從總體上看由A A到到B B的通電線路可分三類的通電線路可分三類 第一類第一類, m, m1 1 = 3 = 3 條；條； 第二類第二類, m, m2 2 = 1 = 1 條；條； 第三類第三類, m, m3 3 = 2 = 22 = 4 2 = 4 條；條； 所以所以, , 根據加法原理根據加法原理, , 從從A

16、 A到到B B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電條不同的線路可通電. . 四、課堂練習：四、課堂練習： 1、課本、課本 P82 練習練習No.1、2、3、4； 2、某中學的一棟、某中學的一棟5層教學樓共有層教學樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？ N ?3?3?3?3?343、一個口袋內裝有、一個口袋內裝有5個小球，另一個口袋內裝有個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩個小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩9 種不同的取法種不同的取法. 個口袋

17、內任取一個小球，共有個口袋內任取一個小球，共有 60 個沒有重復數個沒有重復數4、由、由1至至5這這5個數字可以組成個數字可以組成 字的三位數字的三位數. 拓展性練習：拓展性練習： 1、用、用1，5，9，13中任意一個數作分子，中任意一個數作分子，4，8，10 個不個不12，16中任意一個數作分母，可構造中任意一個數作分母，可構造 同的真分數？同的真分數？ N=4+3+2+1=10. 2、從含、從含3個元素的集合到含個元素的集合到含4個元素的集合的映個元素的集合的映64 個個. N=444=64. 射有射有 3、有不同的中文書、有不同的中文書7本，不同的英文書本，不同的英文書5本，不本，不同的

18、日文書同的日文書4本，現要從中取不同文字的書兩本，本，現要從中取不同文字的書兩本，有有 83 種不同的取法種不同的取法. N=75+74+54=83. 五、課堂小結：五、課堂小結： 完成一件事有多少種不同的方法，完成一件事有多少種不同的方法，先看完成這件事情的一種方法是怎樣的，先看完成這件事情的一種方法是怎樣的，是要分幾類來完成，還是可以分幾步來完是要分幾類來完成，還是可以分幾步來完成，從而判斷是用分類計數原理還是用分成，從而判斷是用分類計數原理還是用分步計數原理也就不難了；步計數原理也就不難了； 有些較復雜的問題可能不是簡單有些較復雜的問題可能不是簡單的的“分類分類”或或“分步分步”就可以解決的，而就可以解決的，而要把兩者結合起來考慮要把兩者結