1、 本 科 畢 業 設 計（論文） 第 53 頁 共 53 頁1 引言1.1 本課題的目的和意義電力系統潮流計算是對復雜電力系統正常和故障條件下穩態運行狀態的計算。其目的是求取電力系統在給定運行方式下的節點電壓和功率分布，用以檢查系統各元件是否過負荷、各點電壓是否滿足要求、功率分布和分配是否合理以及功率損耗等，是電力系統計算分析中的一種最基本的計算1。潮流計算是電力系統的各種計算的基礎，同時它又是研究電力系統的一項重要分析功能，是進行故障計算，繼電保護鑒定，安全分析的工具。電力系統潮流計算是計算系統動態穩定和靜態穩定的基礎。在電力系統規劃設計和現有電力系統運行方式的研究中，都需要利用電力系統潮流

2、計算來定量的比較供電方案或運行方式的合理性、可靠性和經濟性1。對于正在規劃的電力系統，通過潮流計算，可以為選擇電網供電方案和電氣設備提供依據。潮流計算還可以為繼電保護和自動裝置整定計算、電力系統故障計算和穩定計算等提供原始數據。潮流計算的目的在于:確定是電力系統的運行方式；檢查系統中的各元件是否過壓或過載；為電力系統繼電保護的整定提供依據；為電力系統的穩定計算提供初值，為電力系統規劃和經濟運行提供分析的基礎。因此，電力系統潮流計算是電力系統中一項最基本的計算，既具有一定的獨立性，又是研究其他問題的基礎1。1.2 國內外發展現狀利用電子計算機進行潮流計算從20世紀50年代中期就已經開始。此后，潮

3、流計算曾采用了各種不同的方法，這些方法的發展主要是圍繞著對潮流計算的一些基本要求進行的。對潮流計算的要求可以歸納為下面幾點： （1）算法的可靠性或收斂性 （2）計算速度和內存占用量 （3）計算的方便性和靈活性 電力系統潮流計算屬于穩態分析范疇，不涉及系統元件的動態特性和過渡過程。因此其數學模型不包含微分方程，是一組高階非線性方程。非線性代數方程組的解法離不開迭代，因此，潮流計算方法首先要求它是能可靠的收斂，并給出正確答案。隨著電力系統規模的不斷擴大，潮流問題的方程式階數越來越高，目前已達到幾千階甚至上萬階，對這樣規模的方程式并不是采用任何數學方法都能保證給出正確答案的。這種情況促使電力系統的研

4、究人員不斷尋求新的更可靠的計算方法2。 1.2.1 高斯-賽德爾迭代法在用數字計算機求解電力系統潮流問題的開始階段，人們普遍采用以節點導納矩陣為基礎的高斯-賽德爾迭代法（一下簡稱導納法）。這個方法的原理比較簡單，要求的數字計算機的內存量也比較小，適應當時的電子數字計算機制作水平和電力系統理論水平，于是電力系統計算人員轉向以阻抗矩陣為主的逐次代入法（以下簡稱阻抗法）。 20世紀60年代初，數字計算機已經發展到第二代，計算機的內存和計算速度發生了很大的飛躍，從而為阻抗法的采用創造了條件。阻抗矩陣是滿矩陣，阻抗法要求計算機儲存表征系統接線和參數的阻抗矩陣。這就需要較大的內存量。而且阻抗法每迭代一次都

5、要求順次取阻抗矩陣中的每一個元素進行計算，因此，每次迭代的計算量很大3。 阻抗法改善了電力系統潮流計算問題的收斂性，解決了導納法無法解決的一些系統的潮流計算，在當時獲得了廣泛的應用，曾為我國電力系統設計、運行和研究作出了很大的貢獻。但是，阻抗法的主要缺點就是占用計算機的內存很大，每次迭代的計算量很大。當系統不斷擴大時，這些缺點就更加突出。為了克服阻抗法在內存和速度方面的缺點，后來發展了以阻抗矩陣為基礎的分塊阻抗法。這個方法把一個大系統分割為幾個小的地區系統，在計算機內只需存儲各個地區系統的阻抗矩陣及它們之間的聯絡線的阻抗，這樣不僅大幅度的節省了內存容量，同時也提高了計算速度4。1.2.2 牛頓

6、-拉夫遜法和P-Q分解法克服阻抗法缺點的另一途徑是采用牛頓-拉夫遜法（以下簡稱牛拉法）。牛拉法是數學中求解非線性方程式的典型方法，有較好的收斂性。解決電力系統潮流計算問題是以導納矩陣為基礎的，因此，只要在迭代過程中盡可能保持方程式系數矩陣的稀疏性，就可以大大提高牛頓潮流程序的計算效率。自從20世紀60年代中期采用了最佳順序消去法以后，牛拉法在收斂性、內存要求、計算速度方面都超過了阻抗法，成為直到目前仍被廣泛采用的方法。 在牛拉法的基礎上，根據電力系統的特點，抓住主要矛盾，對純數學的牛拉法進行了改造，得到了P-Q分解法。P-Q分解法在計算速度方面有顯著的提高，迅速得到了推廣5。 牛拉法的特點是將

7、非線性方程線性化。20世紀70年代后期，有人提出采用更精確的模型，即將泰勒級數的高階項也包括進來，希望以此提高算法的性能，這便產生了保留非線性的潮流算法。另外，為了解決病態潮流計算，出現了將潮流計算表示為一個無約束非線性規劃問題的模型，即非線性規劃潮流算法6。 近20多年來，潮流算法的研究仍然非常活躍，但是大多數研究都是圍繞改進牛拉法和P-Q分解法進行的。此外，隨著人工智能理論的發展，遺傳算法、人工神經網絡、模糊算法也逐漸被引入潮流計算。但是，到目前為止這些新的模型和算法還不能取代牛拉法和P-Q分解法的地位。由于電力系統規模的不斷擴大，對計算速度的要求不斷提高，計算機的并行計算技術也將在潮流計

8、算中得到廣泛的應用，成為重要的研究領域7。通過幾十年的發展，潮流算法日趨成熟。近幾年，對潮流算法的研究仍然是如何改善傳統的潮流算法，即高斯-塞德爾法、牛拉法和快速解耦法。牛拉法，由于其在求解非線性潮流方程時采用的是逐次線性化的方法，為了進一步提高算法的收斂性和計算速度，人們考慮采用將泰勒級數的高階項或非線性項也考慮進來，于是產生了二階潮流算法。后來又提出了根據直角坐標形式的潮流方程是一個二次代數方程的特點，提出了采用直角坐標的保留非線性快速潮流算法8。1.2.3 基于MATLAB 的電力系統潮流計算發展前景MATLAB 自1980 年問世以來，以其學習簡單、使用方便以及其它高級語言所無可比擬的

9、強大的矩陣處理功能越來越受到世人的關注。目前，它已成為國際控制界最流行、使用最廣泛的語言了。它的強大的矩陣處理功能給電力系統的分析、計算帶來許多方便。在處理潮流計算時，其計算機軟件的速度已無法滿足大電網模擬和實時控制的仿真要求，而高效的潮流問題相關軟件的研究已成為大規模電力系統仿真計算的關鍵。隨著計算機技術的不斷發展和成熟,對MATLAB 潮流計算的研究為快速、詳細地解決大電網的計算問題開辟了新思路。MATLAB 語言允許用戶以數學形式的語言編寫程序, 其比BASIC 語言和FORTRAN 等更為接近書寫的數學表達格式, 且程序易于調試。在計算要求相同的情況下, 使用MATLAB 編程, 工作

10、量將會大為減少9。基于MATLAB 的電力系統潮流計算使計算機在計算、分析、研究復雜的電力系統潮流分布問題上又前進了一步。矩陣輸入、輸出格式簡單, 與數學書寫格式相似; 以雙精度類型進行數據的存儲和運算, 數據精確度高，能進行潮流計算中的各種矩陣運算, 包括求逆、求積和矩陣L R 分解等, 其程序的編寫也因MATLAB 提供了許多功能函數而變得簡單易行。另外, MATLAB稀疏矩陣技術的引入, 使電力系統潮流計算由傳統方法轉變為優化算法成為可能10。2 簡單電力系統潮流計算的手工方法2.1 簡單輻射網絡的潮流計算大約半個多世紀以前，數字計算機還沒有出現的時候，潮流計算都是采用手工的計算方法。雖

11、然潮流計算的本質是解電力系統的節點功率方程，然而手工的計算方法是不可能用解上述節點功率方程的方法來進行潮流計算的。手工潮流計算是根據一個簡單支路的電壓和功率傳輸關系，將較為復雜的電力系統分解為若干個簡單支路來進行潮流計算的。因此任何復雜的潮流計算都是從一個簡單支路的潮流分布和電壓降落的計算開始的。2.1.1 簡單支路的潮流分布和電壓降落如圖1所示的簡單支路，節點1和2之間的阻抗為已知；兩端的電壓分別為和，從節點1注入該支路的復功率為，從節點2流出的功率為，阻抗消耗的功率為。根據電路理論，、和、這四個變量，任何兩個變量已知都可以求出另外兩個變量。圖2.1簡單支路示意圖（1）已知一側的電壓和功率求

12、另一側的電壓和功率假設已知節點2的電壓和流出的功率，可知道流過該支路的電流為： 式（2.1）如果以作為參考相量，阻抗Z引起的電壓降落和功率損耗分別為： 式（2.2） 式（2.3）因此另一端節點1的電壓為： 式（2.4）流過節點1的復功率為： 式（2.5）兩端電壓的關系還可以從如圖2所示的相量圖中得到（以為參考相量），為末端電壓和電流的夾角，稱為功率因數角。從相量圖中，不難得到阻抗Z引起的電壓降落的橫分量和縱分量分別為： 式（2.6）可得到首端的電壓幅值和相角分別為： 式（2.7） 式（2.8）jdjjj如果已知首端（節點1）的電壓和功率，求末端的電壓和功率，其基本原理同上，讀者可以自行推導分析

13、。圖 2.2 兩端電壓相量示意圖（2）已知一端的電壓和流過另一端的復功率假如已知首端電壓和末端的功率，要求首端的功率和末端的電壓，我們可以利用兩端電壓的關系以及兩端功率的關系列出如下方程組（以為參考相量）： 式（2.9） 式（2.10）直接求解上面這個相量方程組是很麻煩的，可以通過迭代法來求解：先給定一個末端電壓的初值，這個初值可以設定為該節點的平均額定電壓，然后將之代入2.9，得到，然后再利用根據2.10得到，重復上面的過程，直到誤差滿足要求為止。由于潮流計算通常是在電力系統的穩態運行條件下，此時節點電壓與平均額定電壓差別不大，因此，在手工近似計算中，將上述的迭代過程只進行一次。即先設定未知

14、的電壓為平均額定電壓，利用2.3式，根據末端的功率計算支路的功率損耗，然后利用2.5式計算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的電壓計算系統的電壓損耗，最后計算出末端的電壓。2.1.2 輻射型網絡的手工潮流計算方法所謂輻射型網絡就是單電源供電的非環形網絡，系統中所有的負荷都由一個電源供電，輻射型網絡是由若干個簡單支路樹枝狀串級聯接而成的。對于輻射型網絡中的接地支路可以做如下處理：（1）將對電力系統中的接地支路等效為該支路消耗的功率，對地支路的電壓用額定電壓來替代，例如，對地支路的導納為，那么這個對地支路的消耗的功率；（2）將同一節點消耗的功率進行合并。通過這樣處理，輻射型網絡就化減為若干簡單支

15、路的級聯，可以利用簡單支路的潮流和電壓計算方法逐級進行潮流計算。輻射型網絡的手工潮流計算一般從系統末端開始，因為通常輻射型網絡的末端的負荷為已知，首先計算潮流的近似分布，然后再從電源端開始根據潮流分布計算出各個節點的電壓。因此，輻射型網絡的手動潮流估算僅包含三步：第一步，根據電力系統各個元件的電機參數，建立電力系統的等值計算電路；然后將對地支路等效為支路消耗的功率，并將各個節點消耗的功率進行合并。第二步，首先將系統中各個節點的未知電壓設為系統平均額定電壓，然后從輻射型網絡的末端開始，依次計算各個支路的功率損耗，最后得到潮流在輻射型網絡中的近似分布。第三步，根據估算出的潮流分布，從電源端開始，根

16、據前面簡單支路的電壓計算公式依次計算各個節點的電壓。通過一個實例來說明潮流計算的過程，如圖3所示的輻射型單電源的簡單電力系統，已知節點1（發電機節點）的電壓和各個節點的負荷、，求該系統的功率和電壓的分布。圖 2.3 單電源輻射型電力系統已知電力系統的各個元件的參數如下所示：變壓器T1：額定容量，額定變比，空載損耗，空載電流百分數，短路損耗，短路電壓百分數；輸電線路L：每公里長的正序阻抗，每公里長的對地電納，線路長度；變壓器T2：額定容量，額定變比，空載損耗，空載電流百分數，短路損耗，短路電壓百分數。第一步作出等效電路及其參數：首先做電力系統的等值電路，根據上述各個元件的參數，我們可以得到各個元

17、件的等效電路及其電路參數，等效電路如圖2.4所示。在計算等值電路中各個元件參數之前，先選擇功率和電壓的基準值，。變壓器T1（根據等值電路，變壓器參數都歸算到高壓側）：； ； 式（2.11）輸電線路：； 式（2.12）變壓器T2（根據等值電路，變壓器參數都歸算到高壓側）：； 式（2.13）圖 2.4 等值電路I第二步，將對地支路簡化為對地功率損耗：如果電壓基準值的選取與變壓器的實際變比相匹配，那么，如果不匹配，則需要將變壓器的變比的標么值等效到電路中，把變壓器的阻抗支路，變為PI型等效電路。為了說明問題，我們假設電壓基準值選取與變壓器實際變比匹配，或者忽略非標準變比的影響。對地支路假設為對地損耗

18、功率，其對地支路的損耗用該點的額定電壓來計算，等效電路變為如圖2.5所示。圖 2.5 等值電路II其中：；第三步，節點功率合并：然后，將1、2、3、4各個節點上的所有功率合并，如圖2.6所示：圖 2.6 等值電路III其中：； ； 。第四步，從末端開始，根據末端功率計算功率分布：先用各個節點的額定電壓以及流出支路的功率來計算各個支路損耗以及功率分布：；這樣，就求得了功率的分布和節點1的注入功率。第五步，從首端開始，根據首端電壓計算電壓損耗和各個節點的電壓：；2.2 簡單環形網絡的潮流計算環形網可以等效成兩端供電網，兩端供電網也可以等效成環形網。2.2.1兩端電壓相等如圖下圖所示、可將（a）圖等

19、效成（b）圖。S2Z12Z13Z13S3SaSb(a)SaS2S3SbZ12Z23Z31123 （b）1U1U1= U1圖2.7簡單環形網等效兩端供電網（a）環形網（b）兩端供電網12 3 式(2.14) 2.2.2兩端電壓不相等兩端電壓不相等的網絡，可以等效成回路電壓不為零的單一環網。Z34S2S3Z12SaUduZ23ScU1U4(b)SaS2S3Z12Z23Z311234U1U4U1 (a)圖2.8兩端電壓不等的網與環網等值(a)兩端供電網(b)環形網 式(2.15)其中 式（2.16）稱為循環功率。對環形網的潮流分布，首先求出、，然后求各支路上的流動功率，即初步的潮流分布，沒有計及網絡

20、各段的電壓降落、功率損耗。初步潮流分布的目的，在于找出功率分點，以便在功率分點把閉環網打開成兩個輻射網。然后，以功率分點為末端，對這兩個輻射網分別用逐段推算法進行潮流分布計算。從中要計及各段的電壓降落和功率損耗，所運用的公式與計算輻射網時完全相同。在兩端供電網中，當兩端電壓相量不等，不論是模值還是相位不等都將產生循環功率。在環網中，循環功率是由于環網中有多臺變壓器，而變壓器的變比不匹配引起的。所謂變比不匹配則是指環網中有兩臺及以上變壓器時，由于變壓器變比的不同使得網絡空載且開環時開口兩側有電壓差，即開口兩側感應電勢不同，因而閉環后，即使空載也有環路電流，產生循環功率。應該特別注意正確地確定環網

21、中循環功率的方向。循環功率的正方向取決于電壓降落的正方向。環網和兩端供電網中的循環功率可改變網絡中功率的分布。2.3 手工計算算例2.3.1 網絡結構圖10kV配電網絡的電網結構如圖所示。已知各節點的負荷功率及線路參數如下：Z12=1.2+j2.4，Z23 =1.0+j2.0，Z24=1.5+j3.0。S2=0.3+j0.2MVA， S3=0.5+j0.3MVA，S4=0.2+j0.15MVA。設母線1的電壓為10.5kV，線路始端功率容許誤差為0.3%。圖2.9 10kv配電網絡2.3.2計算各支路的功率損耗和功率分布。假設各節點電壓均為額定電壓，功率損耗計算的支路順序為3-2、4-2、2-

22、1，第一輪計算依上列支路順序計算各支路的功率損耗和功率分布。則 MVAMVAMVA又 MVA2.2.3求出線路各點電壓，計算中忽略電壓降落橫分量。第二步用已知的線路始端電壓U1=10.5kV及上述求得的線路始端功率S12，按上列相反的順序求出線路各點電壓，計算中忽略電壓降落橫分量。 2.2.4根據上述求得的線路各點電壓，重新計算各線路的功率損耗和線路始端功率 故 MVA 則 MVA又 從而可得線路始端功率 經過兩輪迭代計算，結果與第一步所得的計算結果比較相差小于0.3%，計算到此結束。最后一次迭代結果可作為最終計算結果。3 復雜電力系統潮流計算的計算機方法3.1 潮流計算的計算機算法簡介潮流計

23、算的計算機算法是以電網絡理論為基礎的，應用數值計算方法求解一組描述電力系統穩態特性的方程。從數學上講是一組多元的非線性方程式的求解問題，這類方程的求解過程都離不開迭代。由于電力系統結構及參數的一些特點，同時隨著電力系統不斷擴大，潮流問題的方程式的階數也越來越高，這樣的非線性方程式并不是任何數學方法都能保證給出正確答案的。這種情況就成為促使電力系統計算人員不斷尋求新的且更可靠方法的一個重要因素。電網潮流計算的性能優劣一般依據的是能否可靠收斂，計算速度的快慢，內存占有多少，使用是否方便靈活，調整和修改是否容易，是否滿足工程需要等來判別，其中以是否可靠收斂作為評價的主要標準。常用的分析法包括高斯-塞

24、德爾法、牛頓-拉夫遜潮流算法、快速解耦算法（PQ 分解法）等。3.2 潮流計算的約束條件電力系統運行必須滿足一定技術和經濟上的要求。這些要求夠成了潮流問題中某些變量的約束條件，常用的約束條件如下：3.2.1節點電壓應滿足: 式（3.1）從保證電能質量和供電安全的要求來看，電力系統的所有電氣設備都必須運行在額定電壓附近。PU節點電壓幅值必須按上述條件給定。因此，這一約束條件對PQ節點而言。3.2.2節點的有功功率和無功功率應滿足： 式（3.2）PQ節點的有功功率和無功功率，以及PU節點的有功功率，在給定是就必須滿足上述條件，因此，對平衡節點的P和Q以及PU節點的Q應按上述條件進行檢驗。3.2.3

25、節點之間電壓的相位差應滿足： 式（3.3）為了保證系統運行的穩定性，要求某些輸電線路兩端的電壓相位不超過一定的數值。這一約束的主要意義就在于此。 因此，潮流計算可以歸結為求解一組非線性方程組，并使其解答滿足一定的約束條件。在計算過程中，或得出結果之后用約束條件進行檢驗。如果不能滿足要求，則應修改某些變量的給定值，甚至修改系統的運行方式，重新進行計算。3.3 節點導納矩陣的形成與修改3.3.1 節點電壓方程 （1）自、互導納的物理意義自導納在數值上等于與該節點I直接連接的所有支路導納的總和。如。互導納在數值上等于連接節點、支路導納的負值，即。如。（2）節點導納矩陣YB為對稱方陣。（3）節點導納矩

26、陣YB為稀疏矩陣。（4）節點導納矩陣具有對角優勢。3.3.2 節點導納矩陣的形成 用直接形成法形成節點導納矩陣YB。節點導納矩陣即可根據自導納和互導納的定義直接形成，也可用支路節點關聯矩陣計算。 3.3.3 節點導納矩陣的修改（1）從原有網絡引出一支路，同時增加一節點，節點導納矩陣將增加一階。新增的對角元，；新增的非對角元，；原有矩陣中的對角元將增加 ，。（2）在原有網絡的節點、之間增加一支路。 ，（3）在原有網絡的節點，之間切除一支路，（4）原有網絡的節點、之間的導納由改變為：，（5）原有網絡節點i、j之間變壓器的變比由改變為 ；3.4 高斯-賽德爾法3.4.1 高斯-賽德爾迭代法的基本原理

27、為了方便理解這個n維方程組的疊代求解方法，先從一元非線性方程的求解開始。假設有一維方程，高斯法的基本原理是，先將方程轉化為： 那么給定一個初值，代入就可以得到一個新值，第k次疊代的值為： 一直疊代到誤差滿足要求為止，即 其中為事先設定的允許誤差。其計算流程如圖3.1所示。圖3.1 高斯迭代法的計算流程這個解方程的方法稱為高斯疊代法。這個疊代求解的過程可以這樣來理解：的解可以認為是兩個曲線和的交點的橫坐標，首先給定一個初值，與斜線的交點的橫坐標即為疊代后的新解，與斜線的交點的橫坐標即為疊代后的新解，如此圍繞交點往復循環，不斷地逼近方程的解，如圖所示。圖3.2 高斯迭代法的幾何解釋高斯迭代法可以推

28、廣到n維非線性代數方程組，假設n為方程組為： 首先將方程組轉化為： 給定一組初始值，帶入上式，得到一組新值，不斷疊代，循環往復，第k次疊代為： 其中第j個方程為 直到疊代前后的解的最大誤差不超過允許的誤差為止，即 為了提高高斯疊代法的收斂速度，賽德爾提出將已經疊代出的新值代替舊值參與疊代計算，如在第k次疊代中，第j個方程為 第1至j-1個元素已經疊代出k+1次的值，因此代替第k次的值參與第j個元素的疊代，就可以提高收斂速度。3.4.2 高斯-賽德爾迭代法的計算步驟電力系統潮流計算需要求解節點功率方程，其中第m(m=1,2,n)個節點功率方程為 如上式變換為的形式，可以得到如下的方程： 根據高斯

29、賽德爾迭代法，首先給定電壓相量的初值，對于PQ節點，不僅需要給定電壓幅值的初值，還要給出相角的初值（設為零）。假如第m號節點為PQ節點，第k次疊代公式為（第m個節點以前的節點第k次疊代已經完畢，因此用k+1次的值取代k次的值，而在第m個節點以后的節點尚未進行第k次疊代）： 對于PV節點，給定的初值的電壓幅值為給定的電壓，相角初值設為零。可是對于PV節點來說，注入該節點的無功功率未知，因此第k次疊代時，首先按照下式計算注入PV節點（假設第m個節點是PV節點）的無功功率： 如果在疊代計算過程中，任意節點的電壓和無功功率必須滿足不等約束條件：如果在疊代過程中，PQ節點的電壓幅值超出允許的范圍，則該節

30、點的電壓幅值就固定為允許電壓的上限（如果超出上限）或下限（如果越過下限），PQ節點就變為PV節點繼續進行疊代。同樣，對于PV節點來說，如果在疊代過程中，無功功率Q超出了允許的范圍，則PV節點就變為PQ節點繼續參與疊代。高斯賽德爾疊代法的計算過程如下：（1）第一步：設置初始值，對于PQ節點，由于其電壓相量的幅值和相角都未知，因此初始的電壓相量的幅值可以設定為各個點的額定電壓，相角選擇為零；對于PV節點，由于其電壓相量的幅值已知，因此幅值用已知的設定電壓，初始相角設定為零。（2）第二步：對于PQ節點，直接將設定的初始值代入，求得下一次迭代的電壓值，然后判斷是否電壓越限，如果越限，則用其限值（越過上

31、限用上限值，越過下限則用下限值），該節點在下一次迭代過程中轉化為PV節點；對于PV節點，則首先求出注入的無功功率，然后校驗無功功率是否越限，如果越限則采用上限值或者下限值，下一次迭代時該節點轉化為PQ節點，將求得的注入無功功率和已知的有功功率代入求解下一次迭代的電壓相量值。（3）第三步：判斷誤差是否滿足要求，用第k次迭代的結果和k-1次迭代的結果進行比較，如果其最大的誤差滿足事先設定的誤差要求，則輸出計算結果，如果不滿足要求，則返回第二步繼續迭代。其計算流程圖如圖所示。圖3.3 高斯賽德爾迭代法計算流程圖3.5 牛頓-拉夫遜法（直角坐標）3.5.1概述1. 牛頓-拉夫遜法的意義和推導過程把按泰

32、勒級數在點展開 式（3.4）修正方程 2牛頓拉夫遜法的特點(1)牛頓-拉夫遜法是迭代法，逐漸逼近的方法；(2)修正方程是線性化方程，它的線性化過程體現在把非線性方程在按泰勒級數展開，并略去高階小量；(3)用牛頓拉夫遜法解題時，其初始值要求嚴格(較接近真解)，否則迭代不收斂。3多變量非線性方程的解牛頓-拉夫遜法的修正方程 縮寫為 式（3.5）3.5.2潮流計算時的修正方程（直角坐標）PQ節點 式（3.6）PV節點 式（3.7）平衡節點平衡節點只設一個,電壓為已知,不參見迭代,其電壓為 式（3.8）修正方程 式（3.9） 式（3.10） 式（3.11）3.5.3雅可比矩陣各元素當時, 雅可比矩陣中

33、非對角元素為 式（3.12）當時,雅可比矩陣中對角元素為 式（3.13）3.5.4雅可比矩陣的特點:1.矩陣中各元素是節點電壓的函數,在迭代過程中,這些元素隨著節點電壓的變化而變化。2.導納矩陣中的某些非對角元素為零時,雅可比矩陣中對應的元素也是為零.若,則必有。3.雅可比矩陣不是對稱矩陣;。3.5.5直角坐標形式的牛頓-拉夫遜法計算步驟圖3.4 牛頓-拉夫遜法計算步驟3.6 P-Q分解法潮流計算通過上面的分析和論述，可以發現，牛頓拉夫遜法的收斂速度很快，但計算量很大，因為每一次迭代都必須重新計算雅克比矩陣，并求解修正方程。因此，為了減少計算量，根據基于極坐標的牛頓拉夫遜法的特點，建立了PQ分

34、解法的潮流計算方法。首先，我們來觀察一下基于極坐標下的牛頓拉夫遜法潮流計算過程中的電壓修正方程中的雅克比矩陣的情況。根據電力系統在穩態運行時的實際情況，可知，因此，我們可以近似的認為：；這就是說，各個節點電壓相角的變化主要與注入凈有功功率的變化有關，各個節點電壓幅值的變化主要與注入的凈無功功率的變化有關：；，將這兩個修正方程可以表示為： 式（3.14）上面的方程可以進一步表示為： 式（3.15）可以簡單的表示為： 其中，矩陣為全系統除了平衡節點以外的節點電納矩陣。注：和表示不是很嚴謹，它們僅代表由和組成的列向量。同理可得： 其中，矩陣為所有PQ節點以外的節點電納矩陣。注：僅代表由組成的列向量。

35、這樣，我們在求解修正方程的時候，只需要提前將節點電納矩陣和利用高斯消去法變換成上（或下）三角矩陣，并記錄變換過程就可以了。與牛頓拉夫遜法相比，每一步的迭代過程都大大減少了工作量。PQ 分解法的潮流計算步驟如下：（1）準備工作，形成全系統（平衡節點除外）的節點電納矩陣，以及其子矩陣全部PQ節點的節點電納矩陣，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩陣并記錄變換過程。（2）賦初值和；將全系統的PQ節點的電壓V設置為額定電壓，全系統的節點的相角（平衡節點除外）設置為0。令迭代次數k=0。（3）根據設置的電壓和相角值計算以及，并根據節點導納矩陣的上/下三角矩陣求解修正方程，得到和。并根據修正值修正設定

36、的電壓初始值。（4）判斷誤差是否滿足要求，即、。如果滿足要求，則輸出計算結果，否則就令，轉入第二步繼續迭代。PQ分解法簡化了每一步的迭代的計算量，每一步的迭代出的修正值與牛頓拉夫遜法的修正值相比誤差要大，因此，PQ分解法雖然每一步的迭代計算量減少了，但換來的代價是增加了迭代次數。但其最終的計算精確度是不受影響的，因為計算的精度取決于最終的誤差要求和，如果誤差要求和牛頓拉夫遜法是一樣的，那么PQ分解法最終的計算結果和牛頓拉夫遜法的計算結果的精度就是一樣的。4 用MATLAB進行編程 牛頓-拉夫遜法（直角坐標）4.1 MATLAB的基本功能MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laborator

37、y）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，主要包括MATLAB和Stimulink 兩大部分。MATLAB是由美國mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟

38、件的先進水平。 MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件。它在數學類科技應用軟件中在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。 MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優點，使MATLAB成為一個強大的數學軟件。在新的版本中也加入了對C，F

39、ORTRAN，C+，JAVA的支持。可以直接調用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數庫中方便自己以后調用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用。4.2 MATLAB應用在潮流計算中的優勢MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標準界面，人機交互性

40、更強，操作更簡單。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯機查詢、幫助系統，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環境提供了比較完備的調試系統，程序不必經過編譯就可以直接運行，而且能夠及時地報告出現的錯誤及進行出錯原因分析。MATLAB是一個高級的矩陣/陣列語言，它包含控制語句、函數、數據結構、輸入和輸出和面向對象編程特點。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復雜的應用程序（M文件）后再一起運行。新版本的MATLAB語言是基于最為流行的C+語言基礎上的，因此語法特征與C+語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數學表達式的書寫格式。使之更利于非計算機專業的科技

41、人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強，這也是MATLAB能夠深入到科學研究及工程計算各個領域的重要原因。MATLAB是一個包含大量計算算法的集合。其擁有600多個工程中要用到的數學運算函數，可以方便的實現用戶所需的各種計算功能。函數中所使用的算法都是科研和工程計算中的最新研究成果，而前經過了各種優化和容錯處理。在通常情況下，可以用它來代替底層編程語言，如C和C+ 。在計算要求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會大大減少。基于MATLAB 的電力系統潮流計算使計算機在計算、分析、研究復雜的電力系統潮流分布問題上又前進了一步。不管采用什么算法,所有的潮流計算都是基于矩陣的迭代運算

42、。而MATLAB 語言正是以處理矩陣見長, 實踐證明，MATLAB 語言在電力系統潮流計算仿真研究中的應用是可行的,而且由于其強大的矩陣處理功能,完全可以應用于電力系統的其它分析計算中；用MATLAB語言編程效率高, 程序調試十分方便,可大大縮減軟件開發周期，如果像控制界一樣開發出電力系統自己的專用工具箱,將系統分析用的一些基本計算以函數的形式直接調用,那么更高層次的系統軟件也可以很容易地實現。4.3 某電網接線圖及給定的參數GG其中，1,2,3,4為PQ節點，5為平衡節點各支路阻抗：Z12=Z21=0.06+j0.18 Z13=Z31=0.06+j0.18 Z14=Z41=0.04+j0.1

43、2Z15=Z51=0.02+j0.06 Z23=Z32=0.01+j0.03 Z25=Z52=0.08+j0.24 Z34=Z43=0.08+j0.24 各節點輸出功率1：-0.2-j0.22: 0.45+0.153: 0.4+j0.054: 0.6+j0.15: 04.4 潮流計算計算機算法流程圖開始形成節點導納矩陣輸入原始數據設節點電壓，i=1,2,n,is置迭代次數置節點號i=1按式（3.12），（3.13）計算雅克比矩陣元素按式（3.6）計算節點的，節點的，求解修正方程式，得，雅克比矩陣是否已全部形成？計算平衡節點及PV節點功率求，迭代次數 k=k+1i=i+1？潮流計算完成計算各節點

44、電壓的新值：4.5 運算結果4.5.1 節點導納矩陣及迭代過程4.5.2迭代過程中誤差精度及各節點電壓值4.5.3平衡節點注入功率及電流：5 電力系統潮流計算的前沿算法及發展前景5.1 保留非線性算法通過幾十年的發展，潮流算法日趨成熟。近幾年，對潮流算法的研究仍然是如何改善傳統的潮流算法，即高斯-塞德爾法、牛頓法和快速解耦法。牛頓法，由于其在求解非線性潮流方程時采用的是逐次線性化的方法，為了進一步提高算法的收斂性和計算速度，人們考慮采用將泰勒級數的高階項或非線性項也考慮進來，于是產生了二階潮流算法。后來又提出了根據直角坐標形式的潮流方程是一個二次代數方程的特點，提出了采用直角坐標的保留非線性快

45、速潮流算法。 在保留非線性的電力系統概率潮流計算中12提出了它在電力系統概率潮流計算中的應用。該文獻提出了一種新的概率潮流計算方法，它保留了潮流方程的非線性，又利用了PQ解耦方法，因而數學模型精度較高，且保留了PQ解耦的優點，有利于大電網的隨機潮流計算，用提出的方法對一個典型的系統進行了計算，其數值用MonteCarlo隨機模擬作了驗證，得到了滿意的結果。 在基于系統分割的保留非線性的快速P-Q解耦潮流計算法中13分析研究了保留非線性的P-Q解耦快速潮流計算法。該文獻提出了一種新的狀態估計算法,既保留了量測方程非線性又利用了快速P-Q分解方法,因此數學模型精度高且保留了快速P-Q分解的優點,提

46、高了狀態估計的計算精度和速度.采用系統分割方法將大系統分割為多個小系統,分別對每個小系統進行狀態估計,然后對各小系統的狀態估計結果進行協調,得到整個系統具有同一參考節點的狀態估計結果,這樣可大大提高狀態估計的計算速度,有利于進行大電網的狀態估計.在18節點系統上進行的數字仿真實驗驗證了該方法的有效性。巖本伸一等提出了一種保留非線性的快速潮流計算法,但用的是直角坐標系,因而沒法利用P-Q解耦。為了更有利于大電網的潮流計算,將此原理推廣用于P-Q解耦。這樣,既利用了保留非線性的快速算法,在迭代中使用常數雅可比矩陣,又保留了P-Q解耦的優點。 5.2 最優潮流分析法對于一些病態系統，應用非線性潮流計

47、算方法往往會造成計算過程的振蕩或者不收斂，從數學上講，非線性的潮流計算方程組本來就是無解的。這樣，人們提出來了將潮流方程構造成一個函數，求此函數的最小值問題，稱之為非線性規劃潮流的計算方法。優點是原理上保證了計算過程永遠不會發散。如果將數學規劃原理和牛頓潮流算法有機結合一起就是最優乘子法。另外，為了優化系統的運行，從所有以上的可行潮流解中挑選出滿足一定指標要求的一個最佳方案就是最優潮流問題。最優潮流是一種同時考慮經濟性和安全性的電力網絡分析優化問題。OPF 在電力系統的安全運行、經濟調度、可靠性分析、能量管理以及電力定價等方面得到了廣泛的應用。 在電力系統最優潮流新算法的研究中14以NCP 方

48、法為基礎,提出了一種新的求解最優潮流算法投影漸近半光滑牛頓型算法。該文獻以NCP方法為基礎，提出了一種新的求解OPF算法投影漸近半光滑牛頓型算法。針對電力系統的特點，本文的研究工作如下： 1.建立了與OPF問題的KKT系統等價的帶界約束的半光滑方程系統。與已有的NCP方法相比，新的模型由于無需考慮界約束對應的對偶變量(乘子變量)，降低了問題的維數，從而適用于解大規模的電力系統問題。 2.基于建立的新模型，本文提出了一類新的Newton型算法，該算法一方面保持界約束的相容性，另一方面有較好的全局與局部超線性收斂性，同時，算法結構簡單，易于實現。 3.考慮到電力系統固有的弱耦合特性，受傳統解耦最優

49、潮流方法的啟示，在所提出的新Newton型方法的基礎上，本文又設計了一類分解方法。新方法基于解耦校正的策略實現算法，不僅充分利用了系統的弱耦合特性，同時保證分解算法在理論上的收斂性。 4.根據所提出的兩種算法，用標準的IEEE電力測試系統進行數值實驗，并與已有的其他方法進行比較。結果顯示新算法具有良好的收斂性和計算效果，在電力系統的規劃與運行方面將有廣闊的應用前景。 在基于可信域內點法的最優潮流問題研究中15介紹了OPF內點法具有收斂性強、多項式時間復雜性等優點，是極具潛力的優秀算法之一。 5.3 OPF分析法電力系統不斷發展，使得OPF算法躋身于極其困難、非凸的大規模非線性規劃行列。可信域和線性搜索方法是保證最優化算法全局收斂性能的兩類技術，將內點法和可信域、線性搜索方法有機結合，構造新的優化算法，是數學規劃領域的研究熱點。 在電力市場環境下基于最優潮流的輸電容量充裕度研究中16首先以最優潮流為工具,選取系統中的關鍵線路作為系統輸電容量充裕度的研究對象,從電網運行的安全性、可靠性的角度系統地研究了輸電線路穩定限額對輸電容量充裕度的影響,指出穩定限額因子與影子價格的乘積可直接反應出穩定限額水平的經濟價值,同時也可以較好的指示出系統運行相對安全、經濟的穩定限額水平區間。在電力系統動態最優潮流的模型與算法研究中17指出電力系統動態最優潮流是對調度周期內的系統狀態進行統一優化的有效工具