1、2021/8/51二、旋轉體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積三、小結三、小結2021/8/52一、已知平行截面面積的立體的體積一、已知平行截面面積的立體的體積 設一立體在x軸上的投影區間為a, b ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續函數，求此立體的體積。 (1) 在a, b內插入分點： a=x0 x1x2 xn-1xn=b，xOax1xi-1xixnb2021/8/53 V =ni 1S(i)xi。 (3) 立體體積為 (2)過xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積的近似值S(xi)xi。 將n個小薄片體積的近似值相加

2、得立體體積的近似值=baniiTdxxSxSV)()(lim102021/8/54RR- -xyo解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx= = 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA- -= =立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122- -= = - -.tan323 R= =2021/8/55解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx= = xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA- -= = = =立體體積立

3、體體積dxxRhVRR - - -= =22.212hR = =2021/8/56 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、旋轉體的體積2021/8/57Oxba y旋轉體：旋轉體： 由連續曲線 y=f (x)、直線 x=a 、a=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉一周而成的立體。 y=f (x)討論：討論： 旋轉體的體積怎樣求？2021/8/58一一般般地地，如如果果旋旋轉轉體體是是由由連連續續曲曲線線)(xfy = =、直直線線ax = =、b

4、x = =及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區上任取小區間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( = =xdxx xyo旋轉體的體積為旋轉體的體積為dxxfVba2)( = =)(xfy = =2021/8/59曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉而成的立體體積：V =baf(x)2dx。 解：橢圓繞 x 軸旋轉產生的旋轉體的體積： Vx =2a0y2dx =2

5、axxaab03222)3(2-=234ab=x yOab22xaaby-=下頁繞x軸旋轉產生的旋轉體的體積。y2dx =2dxxaaba)(20222- axxaab03222)3(2-=234ab=。 例 3 求橢圓12222=byax 2021/8/510yr解解hPxhry = =取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區間上任取小區間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP2021/8/511以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉而成的薄片的軸旋轉而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 = =圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 = = hx

6、hr03223 = =.32hr = =yrhPxo2021/8/512a- -aoyx解解,323232xay- -= =332322 - -= =xay,aax- - 旋旋轉轉體體的的體體積積dxxaVaa33232 - - = = - -.105323a = =2021/8/513 類類似似 地地， 如如果果 旋旋 轉轉體體 是是由由 連連 續續曲曲 線線)( yx = =、直直線線cy = =、dy = =及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx = =cddyy2)( = =dcV2021/8/514解解繞繞

7、x軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉體體體體積積dxxyVax)(220 = = - - - - = =2022)cos1()cos1(dttata - - - - = =20323)coscos3cos31(dtttta.532a = =a 2a )(xy2021/8/515繞繞y軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉構成旋轉體的體積之差軸旋轉構成旋轉體的體積之差.dyyxVay)(2202 = = dyyxa)(2201 - - oyxa 2ABCa2)(2yxx = =)(1yxx = = - - = =222sin)sin(tdtatta - - - -022sin)sin(tdtatta - - = =2023sin)sin(tdttta.633a = =2021/8/516解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 - - = =dyyy)43()43(22- - - - - - = =,412dyy- - = =dyyV - - = =40412.64 =